Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
1
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
B A D A N I A O P E R A C Y J N E
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO
SYSTEMU OBS
àUGI
M/M/1/
Materiaáy pomocnicze do wykáadu
adam.kadzinski@put.poznan.pl
POJ
ĉCIE SYSTEMU M/M/1/
f
PRZYK
àADY
Stanowisko diagnostyczne;
Ma
áy warsztat samochodowy;
Myjnia samochodowa;
Automat telefoniczny;
Gabinet lekarski specjalistyczny;
Kiosk.
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
f
2
1
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
2
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ZA
àOĩENIA M/M/1/
f
Strumie
Ĕ zgáoszeĔ jest strumieniem Poissona o intensywnoĞci O , czyli odstĊpy miĊdzy
zg
áoszeniami opisuje rozkáad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa:
t
e
t
f
O
O
Stanowisko obs
áugowe ma jeden kanaá obsáugi;
Czas obs
áugi zgáoszeĔ opisuje rozkáad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa:
W
P
P
W
e
f
Kolejka posiada nieograniczon
ą liczbĊ miejsc przeznaczonych na oczekiwanie zgáoszeĔ
(obiektów).
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
f
2
1
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
3
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
POSZUKIWANE
ż Stany systemu;
ż Graf stanów systemu;
ż Stacjonarne prawdopodobieĔstwa stanów systemu;
ż ĝrednia liczba zgáoszeĔ w systemie;
ż ĝrednia liczba zgáoszeĔ oczekujących w kolejce;
ż ĝrednia liczba obsáugiwanych zgáoszeĔ w systemie.
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
f
2
1
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
P
O
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
4
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ROZWI
ĄZANIA
ż
Stany systemu
S
0
w systemie nie ma zgáoszeĔ,
S
1
jedno zgáoszenie znajduje siĊ w systemie i nastĊpuje jego obsáuga na pierwszym
i jedynym kanale obs
áugowym, kolejka nie wystĊpuje,
S
2
dwa zgáoszenia znajdują siĊ w systemie, pierwsze jest obsáugiwane, drugie czeka
w kolejce,
S
k
k zgáoszeĔ znajduje siĊ w systemie, pierwsze jest obsáugiwane, pozostaáe k 1
zg
áoszeĔ oczekuje w kolejce.
ż
Graf stanów systemu
P
. . .
P
P
P
P
S
2
S
1
S
0
. . .
P
P
S
k+1
S
k
S
k-1
O
O
O
O
O
O
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
Rys. 1. Graf stanów
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
5
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ż
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu
1.
P
O
. . .
O
P
S
0
S
1
t
o
t
t
p
t
t
p
t
t
p
'
'
'
'
P
O
1
0
0
1
gdzie: o(
't) prawdopodobieĔstwo, Īe w przedziale 't nastąpi co najmniej dwukrotna zmiana stanu
systemu; jest bardzo ma
áe i dalej bĊdzie pomijane.
P
O
'
'
t
p
t
p
t
t
p
t
t
p
1
0
0
0
lim
0
o
't
P
O
'
'
o
'
t
p
t
p
t
t
p
t
t
p
t
1
0
0
0
0
lim
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
6
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Wykorzystuj
ąc definicjĊ pochodnej
t
t
p
t
t
p
dt
t
dp
t
'
'
o
'
0
0
0
0
lim
otrzymuje si
Ċ
P
O
t
p
t
p
dt
t
dp
1
0
0
Dla warunków ustalonych:
0
0
dt
t
dp
;
0
0
p
t
p
;
1
1
p
t
p
;
st
ąd
P
O
1
0
0
p
p
oraz
P
O
0
1
p
p
, a gdy przyjmie si
Ċ, Īe
P
O
U , to
U
0
1
p
p
(1)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
7
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
2.
P
. . .
O
O
P
P
S
0
S
1
S
2
O
>
@
t
t
p
t
t
p
t
t
p
t
t
p
'
'
'
'
P
O
P
O
2
0
1
1
1
P
O
P
O
'
'
t
p
t
p
t
p
t
t
p
t
t
p
2
0
1
1
1
Dla warunków ustalonych:
P
O
P
O
2
0
1
0
p
p
p
Wykorzystuj
ąc równanie (1)
P
O
P
O
U
2
0
0
0
p
p
p
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
8
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
St
ąd
P
O
P
O
U
P
0
0
2
1
p
p
p
a gdy
P
O
U
mamy
»
¼
º
«
¬
ª
1
0
2
P
P
O
U
p
p
a dalej
»
¼
º
«
¬
ª
1
1
0
2
P
O
U
p
p
St
ąd zaleĪnoĞü na prawdopodobieĔstwo stacjonarne przedstawia zaleĪnoĞü
:
2
p
2
0
2
U
p
p
(2)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
9
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
3.
P
P
. . .
O
O
O
O
P
P
S
1
S
2
S
3
. . .
>
@
t
t
p
t
t
p
t
t
p
t
t
p
'
'
'
'
P
O
P
O
3
1
2
2
1
P
O
P
O
'
'
t
p
t
p
t
p
t
t
p
t
t
p
3
1
2
2
2
Dla warunków ustalonych:
P
O
P
O
3
1
2
0
p
p
p
st
ąd:
P
O
P
P
O
1
2
3
p
p
p
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
10
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Wykorzystuj
ąc równania
(1)
i
(2)
P
O
U
P
P
O
U
0
2
0
3
p
p
p
,
a gdy
P
O
U , mamy:
1
1
1
1
2
0
2
0
3
¸
¹
·
¨
©
§
U
U
P
O
U
p
p
p
St
ąd zaleĪnoĞü na prawdopodobieĔstwo stacjonarne przedstawia zaleĪnoĞü:
3
p
3
0
3
U
p
p
(3)
Na podstawie zale
ĪnoĞci (1),(2) i (3), moĪna zauwaĪyü, Īe obowiązuje zaleĪnoĞü rekurencyjna:
U
k
k
p
p
1
a st
ąd
U
U
k
k
p
p
0
1
(4)
i
1
0
1
k
k
p
p
U
(5)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
11
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Porz
ądkując wykonane obliczenia moĪna zapisaü, Īe:
°
°
°
°
°
¿
°
°
°
°
°
¾
½
1
0
1
0
1
0
1
3
0
3
2
0
2
0
1
k
k
k
k
k
k
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
U
U
U
U
U
U
(6)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
12
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Oczywi
Ğcie obowiązuje tu równieĪ warunek, Īe:
1
0
¦
f
i
i
p
(7)
Wykorzystuj
ąc równania (6) i (7) moĪna zapisaü, Īe:
1
0
2
0
0
0
k
p
p
p
p
U
U
U
a st
ąd
1
geometr.
ciagu
nieskoncz.
suma
1
2
0
0
1
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
q
a
k
p
U
U
U
gdzie: a
0
pierwszy wyraz niesko
Ĕczonego ciągu geometrycznego,
q
iloraz niesko
Ĕczonego ciągu geometrycznego.
Dalej mo
Īna wiĊc zapisaü, Īe:
1
1
0
1
1
1
1
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
U
U
U
p
co daje ostatecznie zale
ĪnoĞü postaci:
U
1
0
p
(8)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
13
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Wykorzystuj
ąc równania
(6)
i
(8)
mo
Īna napisaü równania
(9)
wyra
Īające prawdopodobieĔstwa
stacjonarne stanów systemu M/M/1/
f postaci:
°
°
°
°
°
¿
°
°
°
°
°
¾
½
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
p
p
p
p
p
p
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
(9)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
14
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ż
ĝrednia liczba zgáoszeĔ w systemie M/M/1/f
Korzystaj
ąc z zaleĪnoĞci na wartoĞü oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, Ğrednią
liczb
Ċ zgáoszeĔ w systemie moĪna obliczyü wg formuáy:
¦
f
0
sys
i
i
p
i
L
Rozpiszmy powy
Īszą formuáĊ bardziej szczegóáowo do postaci:
,
,
,
U
U
U
U
U
U
1
1
2
1
1
0
sys
2
2
1
0
k
k
p
k
p
p
p
L
oraz uwzgl
Ċdnijmy zaleĪnoĞü (9):
1
1
2
1
1
2
sys
U
U
U
U
U
U
k
k
L
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
15
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
Mo
Īna zauwaĪyü, Īe powyĪszą zaleĪnoĞü moĪna zapisaü w postaci:
i
i
d
d
L
U
U
U
U 1
1
sys
¦
f
lub
U
U
U
U
U
U
f
¦
1
1
1
sys
0
1
q
a
i
i
d
d
L
co prowadzi w efekcie ko
Ĕcowym do zaleĪnoĞci (10):
¸
¹
·
¨
©
§
U
U
U
U
U
1
)
1
(
sys
d
d
L
po obliczeniu pochodnej:
2
sys
1
1
1
U
U
U
L
U
U
1
sys
L
(10)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
16
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ż
ĝrednia liczba zgáoszeĔ oczekujących w kolejce systemu M/M/1/f
ĝrednia liczba zgáoszeĔ w kolejce zostanie obliczona jako róĪnica Ğredniej liczby zgáoszeĔ w
systemie i
Ğredniej liczby zgáoszeĔ obsáugiwanych, wg zaleĪnoĞci:
obs
sys
oczek
L
L
L
(11)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
17
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ż
ĝrednia liczba zgáoszeĔ obsáugiwanych w systemie M/M/1/f
Korzystaj
ąc z zaleĪnoĞci na wartoĞü oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, Ğrednią
liczb
Ċ zgáoszeĔ obsáugiwanych w systemie dysponującym jednym kanaáem obsáugowym, moĪna
obliczy
ü wg formuáy:
¦
1
0
obs
obs
i
i
p
i
L
Po rozpisaniu powy
Īszej zaleĪnoĞci otrzymuje siĊ:
obs
obs
1
0
obs
1
0
p
p
L
ale
¦
f
1
1
obs
k
k
p
p
co skutkuje w nast
Ċpującym zapisie:
U
U
U
-
1
-
1
nego
geometrycz
ciagu
nego
nieskonczo
suma
1
0
obs
obs
0
f
¦
k
k
p
p
L
i zale
ĪnoĞcią koĔcową (12)
U
obs.
L
(12)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
18
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/
ż
ĝrednia liczba zgáoszeĔ oczekujących w kolejce systemu M/M/1/f cd.
Teraz mo
Īna powróciü do wyznaczenia Ğredniej liczby zgáoszeĔ oczekujących w kolejce. Korzysta
si
Ċ przy tym z zaleĪnoĞci (10), (11) i (12):
,
U
U
U
U
U
U
U
1
1
2
(12)
zal.
(10)
zal.
oczek
L
otrzymuj
ąc w koĔcu formuáĊ (13) postaci:
U
U
1
2
oczek.
L
(13)
Plik:
BO_PP_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc
19
/
19
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/1/