MODELOWANIE MATEMATYCZNE
W PRZYRODZIE I TECHNICE
Modelowanie populacji jednego gatunku zwierząt
Zadanie 1.
W zamkniętym zbiorniku wodnym hodowane są ryby. Zakładając, że wskaźnik reprodukcji jest
stały i wynosi a, zaś wskaźnik zgonu jest proporcjonalny do liczby ryb i wynosi b
.
x(t) (x(t) – liczba
ryb w chwili t) równanie logistyczne opisujące wzrost populacji ryb ma postać
2
d x
a x
b x
d t
(1)
Wyznaczyć:
1. Postać analityczną rozwiązania za pomocą komendy dsolve.
2. Liczbę ryb po upływie 1 roku, przyjmując następujące dane: a = 5, b = 0.001 oraz
a) x
0
= 100
b) x
0
= 6000
3. Liczbę ryb po upływie długiego czasu przy użyciu komendy limit.
4. Wykres pola kierunkowego dla równania (1) za pomocą komendy dfieldplot z pakietu
DEtools.
5. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego za pomocą komendy phaseportrait
z pakietu DEtools dla x
0
= 100.
Zadanie 2.
Równanie różniczkowe opisujące populację ryb w zamkniętym zbiorniku z uwzględnieniem
odławiania ma postać
2
d x
a x
b x
c
d t
(2)
gdzie c oznacza liczbę ryb odławianych w skali roku.
Wyznaczyć:
1. Postać analityczną rozwiązania za pomocą komendy dsolve.
2. Liczbę ryb po upływie 1 roku, przyjmując dane: a = 5, b = 0.001, c = 1000 oraz
a) x
0
= 500
b) x
0
= 6000
3. Wykres pola kierunkowego dla równania (2) za pomocą komendy dfieldplot.
4. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego za pomocą komendy phaseportrait
dla x
0
= 500.
5. Punkty stacjonarne równania (2) z warunku
0
d x
d t
dla a = 5, b = 0.001, c = 1000.
6. Rozwój populacji ryb dla następujących danych: a = 5, b = 0.001, c = 6250, x
0
= 2500.
7. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego dla ww. danych za pomocą komendy
phaseportrait.
8. Punkty stacjonarne równania (2) z warunku
0
d x
d t
dla a = 5, b = 0.001, c = 6250.
Ogólny sposób wywołania komend: dfieldplot i phaseportrait:
dfieldplot(równanie, poszukiwana_funkcja, zakres_t, zakres_x, opcje);
phaseportrait(równanie, poszukiwana_funkcja, zakres_t, [war_początkowy], zakres_x, opcje);