1
PR
ĄD ELEKTRYCZNY
ŁADUNEK ELEKTRYCZNY W
RUCHU
Pr
ąd elektryczny
E=0
a) Ramka miedziana w równowadze
elektrostatycznej. Ka
żdy punkt ramki
ma taki sam potencja
ł. W każdym punkcie
ramki nat
ężenie pola jest równe zeru
b) Bateria (
źródło) wprowadza różnicę
potencja
łów między biegunami.
Powstaje pole elektryczne w ramce.
Obserwujemy uporz
ądkowany ruch
ładunków – prąd elektryczny
E
≠0
2
Definicja nat
ężenia prądu
• Nat
ężenie prądu jest skalarem
• Jednostk
ą natężenia prądu jest 1A=1C/s
(ale to nie jest definicja tej jednostki!)
• Umownie przyjmuje si
ę, że prąd płynie tak jakby był to
ruch
ładunków dodatnich. W rzeczywistości prąd w
metalu stanowi
ą elektrony przewodnictwa
dt
dq
i
=
a - węzeł
2
1
o
i
i
i
+
=
I prawo Kirchhoffa
Zadanie domowe-1
Jaka jest wartość prądu I i kierunek
przepływu prądu w dolnym
przewodniku z prawej strony?
3
G
ęstość prądu
• G
ęstość prądu jest to wektor, którego wartość
równa jest nat
ężeniu prądu przepływającemu
przez element pola przekroju powierzchni na
jednostk
ę pola tej powierzchni
S
d
i
d
j
=
S
1
j
1
∫
=
S
j
r
o
r
d
i
Warto
ść natężenia prądu
pozostaje sta
ła, zmienia się
g
ęstość prądu – prawo ciągłości
przep
ływu, zasada zachowania
ładunku
j
2
S
2
strumie
ń
Mechanizm przewodnictwa w
metalach
• Gdy pr
ąd nie płynie, elektrony przewodnictwa poruszają
si
ę chaotycznie z prędkościami ok. 10
6
m/s
• Elektrony w przewodniku poruszaj
ą się w sposób
uporz
ądkowany z prędkością unoszenia v
d
po
przy
łożeniu pola elektrycznego (v
d
=10
-5
-10
-4
m/s)
e
)
nSL
(
q
=
ca
łkowity
ładunek
no
śników
liczba
no
śników
ładunek
elektronu
n – koncentracja no
śników ładunku
(elektronów) czyli ich liczba na jednostk
ę
obj
ętości
4
Mechanizm przewodnictwa w
metalach
d
v
L
t
=
czas, w jakim
ładunek przepływa
przez dowolny przekrój
przewodnika
g
ęstość
pr
ądu
pr
ędkość
unoszenia
d
d
nSev
v
/
L
nSLe
t
q
=
=
=
i
nat
ężenie prądu
pr
ędkość
unoszenia
ne
j
nSe
v
d
=
=
i
d
v
j
r
r
)
ne
(
=
Przyk
ład-1
R/2
R
j
r
G
ęstość prądu w przewodniku o kształcie
walca o promieniu R =2 mm jest
jednakowa na ca
łym przekroju
przewodnika i równa j=2·10
5
A/m
2
. Ile
wynosi nat
ężenie prądu,
przep
ływającego przez zewnętrzną
warstw
ę przewodnika, w obszarze
pomi
ędzy R/2 i R?
Rozwi
ązanie:
'
jS
=
i
bo j=const na ca
łym przekroju walca
2
2
2
R
4
3
2
R
R
'
S
π
=
π
−
π
=
A
9
,
1
=
i
Odpowied
ź:
5
Przyk
ład-2
R/2
R
j
r
Za
łóżmy, że gęstość prądu w przewodniku o
kszta
łcie walca o promieniu R =2 mm nie
jest jednakowa na ca
łym przekroju
przewodnika i zmienia si
ę z odległością r od
środka walca zgodnie ze wzorem j = αr
2
,
gdzie
α= 3·10
11
A/m
4
. Ile wynosi nat
ężenie
pr
ądu, przepływającego przez zewnętrzną
warstw
ę przewodnika, w obszarze pomiędzy
R/2 i R?
Rozwi
ązanie:
A
1
,
7
=
i
Odpowied
ź:
∫
∫
∫
α
=
=
=
R
2
/
R
2
rdr
π
2
r
jdS
dS
j
r
o
r
i
4
R
πα
32
15
=
i
Zadanie domowe-1
Ile wynosi pr
ędkość unoszenia elektronów przewodnictwa w
przewodniku miedzianym o promieniu r = 900
μm, w którym
p
łynie prąd o natężeniu i=17 mA? Przyjąć, że każdy atom
miedzi dostarcza jednego elektronu przewodnictwa, a
g
ęstość prądu jest stała na całym przekroju przewodnika.
Wskazówka:
W pierwszym etapie zadania nale
ży znaleźć koncentrację
elektronów przewodnictwa n stosuj
ąc wzór:
M
N
A
ρ
=
n
liczba Avogadro=liczba atomów w
jednym molu równa 6,02·10
23
mol
-1
g
ęstość, dla Cu równa
8,96 ·10
3
kg/m
3
masa molowa, dla Cu
równa 63,54 ·10
-3
kg/mol
6
Co to jest rezystancja?
Model mechaniczny rezystancji
R
Model mikroskopowy ruchu elektronu od zderzenia do
zderzenia (linia
łamana od A do B). Ta sama linia AB’
po przy
łożeniu pola elektrycznego (v
d
oko
ło 2 mm/h)
Prawo Ohma – obraz mikroskopowy
Klasyczna teoria elektronowa przewodnictwa w metalu
– model elektronów swobodnych
Za
łożenia:
•elektrony przewodnictwa poruszaj
ą się
swobodnie w ca
łej objętości – „gaz
elektronów swobodnych”
•elektrony zderzaj
ą się tylko z dodatnimi
jonami metalu, a nie z elektronami
•jony metalu w w
ęzłach sieci, drgają wokół
po
łożeń równowagi
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
E
7
Prawo Ohma – obraz mikroskopowy
Ruch elektronów przewodnictwa w polu
elektrycznym jest z
łożeniem ruchów:
•chaotycznego wynikaj
ącego z
przypadkowych zderze
ń (z jednakową
pr
ędkością „efektywną” pomiędzy
zderzeniami v
eff
≈ 10
6
m/s)
•uporz
ądkowanego, wywołanego polem
Pr
ędkość unoszenia v
d
jest wynikiem oddzia
ływania
pola elektrycznego na elektrony.
E
a
e
e
m
eE
m
F
a
=
=
przyspieszenie jakie uzyskuje
elektron pomi
ędzy zderzeniami
Prawo Ohma – obraz mikroskopowy
ale:
E
a
ne
j
v
d
=
Natura zderze
ń elektronów przewodnictwa jest
taka,
że po kolejnym zderzeniu elektron „traci
pami
ęć” o poprzedniej prędkości unoszenia.
W
średnim czasie między zderzeniami, elektron
uzyska
średnio prędkość unoszenia:
τ
e
d
m
eEτ
τ
a
v
=
=
j
τ
n
e
m
E
2
e
=
j
E
r
r
ρ
=
Prawo Ohma w postaci
mikroskopowej
τ
n
e
m
2
e
=
ρ
rezystywno
ść
lub opór
w
łaściwy
8
Rezystywno
ść a przewodność
• rezystywno
ść ρ jest to stała materiałowa,
zale
ży od rodzaju materiału ale także od
temperatury
• przewodno
ść właściwa (konduktywność) σ
jest odwrotno
ścią rezystywności
)
T
T
(
ρ
ρ
ρ
o
o
o
−
∝
−
μ
en
m
τ
n
e
ρ
1
σ
e
2
=
=
=
ruchliwo
ść nośników ładunku
e
d
m
τ
e
E
v
μ
=
=
T
ρ
ρ
TWR
o
∆
∆
=
temperaturowy wspó
łczynnik oporu
dla metalu
Metale i pó
łprzewodniki
μ
en
σ
=
Wzór
pozwala przeanalizowa
ć zależności
temperaturowe przewodnictwa
W metalu: koncentracja elektronów jest du
ża lecz nie
zale
ży od temperatury, ruchliwość maleje gdy rośnie
temperatura, st
ąd przewodnictwo elektryczne maleje z
temperatur
ą
W pó
łprzewodniku: koncentracja elektronów silnie
zale
ży od temperatury – rośnie ze wzrostem
temperatury, ruchliwo
ść słabo zależy temperatury, stąd
przewodnictwo elektryczne ro
śnie z temperaturą
9
Rezystywno
ść metali,
pó
łprzewodników i izolatorów
10
10
-10
14
Szk
ło
8,7 ·10
-4
Krzem typu n
-70 ·10
-3
2,5 ·10
3
Krzem
0,002 ·10
-3
4,82 ·10
-8
Manganin
4,3 ·10
-3
1,69 ·10
-8
Mied
ź
4,1 ·10
-3
1,62 ·10
-8
Srebro
TWR [K
-1
]
ρ [Ω·m]
Materia
ł
temperatura pokojowa
Zadanie domowe-2
Poszuka
ć danych dotyczących koncentracji i
ruchliwo
ści nośników w typowych metalach i
pó
łprzewodnikach. Na tej podstawie wykonać
tabel
ę podobną do podanej.
10
PRAWO OHMA-cd
• Prawo Ohma wyra
żone w innej postaci (nadal
mikroskopowo)
j
E
r
r
ρ
=
E
j
r
r
σ
=
• Prawo Ohma wyra
żone w postaci makroskopowej
(przy u
życiu wielkości mierzonych)
I
R
U
=
GU
U
R
1
I
=
=
R - rezystancja (opór)
G - konduktancja
jednostk
ą rezystancji jest
1V/A czyli 1
Ω (om)
jednostk
ą konduktancji jest
1S=1
Ω
-1
(simens)
Prawo Ohma brzmi: nat
ężenie prądu,
p
łynącego przez przewodnik jest wprost
proporcjonalne do ró
żnicy potencjałów,
przy
łożonej do przewodnika.
Element obwodu spe
łnia prawo Ohma, gdy jego opór
(rezystancja) nie zale
ży od wartości i polaryzacji przyłożonej
ró
żnicy potencjałów.
Materia
ł przewodzący spełnia prawo Ohma, gdy jego opór
w
łaściwy (rezystywność) materiału nie zależy od wartości i
kierunku przy
łożonego pola elektrycznego.
11
Czy jest spe
łnione prawo Ohma
?
I(mA)
I(mA)
U(V)
U(V)
Od postaci mikroskopowej do makroskopowej
j
E
r
r
ρ
=
I
R
U
=
EL
V
U
=
∆
=
L
S
I
ρ
jL
ρ
U
=
=
S
L
ρ
R
=
S
L
U
I
I
12
Zadanie domowe-3
(a) Ile wynosi
średni czas między zderzeniami dla
elektronów przewodnictwa miedzi?
(b)
Średnia droga swobodna λ elektronów przewodnictwa
jest
średnią odległością, przebywaną przez elektron
mi
ędzy zderzeniami. Jaka jest wartość λ dla miedzi?
Przyj
ąć wartość prędkości efektywnej v
eff
=1,6·10
6
m/s.
τ
Zadanie domowe-4
W przewodniku chromonikielinowym (czyli ze stopu Ni-Cr-
Fe, u
żywanego powszechnie w elementach grzejnych) o
d
ługości 1 m i przekroju poprzecznym 1 mm
2
p
łynie prąd o
nat
ężeniu 4 A przy różnicy potencjałów 2 V, przyłożonej do
jego ko
ńców. Obliczyć konduktywność chromonikieliny.
Zadanie domowe-5
Przeczyta
ć rozdziały 27.8 oraz 27.9 podręcznika HRW, tom 3.
Na tej podstawie przygotuj si
ę do odpowiedzi na pytania
dotycz
ące:
• Pó
łprzewodników (semiconductors)
• Nadprzewodników (superconductors)
Co rozumiesz pod poj
ęciem nadprzewodniki
wysokotemperaturowe? Czy wiesz,
że z tym odkryciem wiąże
si
ę nagroda Nobla? Poszukaj kto i kiedy ją zdobył.
13
OBWODY ELEKTRYCZNE
Energia i moc w obwodzie
elektrycznym
źródło prądu lub
napi
ęcia, siła
elektromotoryczna
Energia potencjalna tracona w obwodzie:
U
Idt
U
dq
dE
p
=
=
Rdt
I
dQ
2
=
Moc zwi
ązania z przekazem energii
UI
dt
dE
P
p
=
=
a gdy spe
łnione jest prawo Ohma
R
U
R
I
P
2
2
=
=
zamienia si
ę w inny rodzaj energii (np. na elemencie rezystancyjnym na
ciep
ło Joule’a)
14
Si
ła elektromotoryczna SEM
• Aby wytworzy
ć stały przepływ ładunku, potrzebne
jest urz
ądzenie, które wykonywałoby pracę nad
no
śnikami ładunku, utrzymując stałą różnicę
potencja
łów
• Urz
ądzenie takie nazywamy źródłem siły
elektromotorycznej (
źródłem SEM)
• Si
ła elektromotoryczna nie jest siłą!!!
• Stosowane
źródła SEM to: ogniwa elektryczne
(baterie), pr
ądnice elektryczne, ogniwa
s
łoneczne, ogniwa paliwowe, termoogniwa
Zadanie domowe-6
Przygotowa
ć materiały dotyczące różnych rodzajów ogniw:
w tym tradycyjnych i niekonwencjonalnych (s
łonecznych,
paliwowych, etc.) Zagadnienie to mie
ści się w bardziej
ogólnym temacie: Fotowoltaika i niekonwencjonalne
źródła
energii, który jest obecnie szczególnie rozwijany w
o
środkach naukowych w Polsce i na świecie.
15
Definicja SEM: si
ła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą,
przypadaj
ącą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło,
przenosz
ąc ładunek z bieguna na mniejszym potencjale do
bieguna o wy
ższym potencjale
dq
dW
ε
=
Rzeczywiste
źródło SEM zawiera
zawsze opór wewn
ętrzny r. Gdy
ogniwo jest otwarte, tj. pr
ąd nie
p
łynie, to różnica potencjałów
mi
ędzy biegunami ogniwa V
ab
=
ε
Gdy pr
ąd płynie to:
ab
V
Ir
-
ε
=
IR
V
ab
=
r
R
I
+
ε
=
Ir
U
−
=
ε
R
r)
(R
ε
R
I
P
2
2
2
+
=
=
moc rozproszona w
źródle
Wypadkowa szybko
ść przekazywania energii ze źródła SEM (moc):
UI
P
w
=
ale:
r
I
εI
I
Ir)
(ε
P
2
w
−
=
−
=
czyli:
r
SEM
w
P
P
P
−
=
moc
źródła SEM
Z drugiej strony, moc
wydzielana na obci
ążeniu R
Moc i SEM
16
Dopasowanie mocy
0
dR
dP
=
Maksymalna moc wydzielana na obci
ążeniu wystąpi gdy:
warunek dopasowania mocy dla obci
ążenia R
r
R
=
0
R
r)
(R
ε
dR
d
2
2
=
+
tj., gdy
Ale
źródło zużywa się najszybciej!!
II Prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma zmian potencja
łów przy pełnym
obiegu dowolnego oczka musi by
ć równa zeru.
0
)
i
U
i
(ε
=
+
∑
+
Ir
1
Ir
2
IR
I
0
IR
Ir
ε
Ir
ε
2
2
1
1
=
−
−
+
−
2
1
2
1
r
r
R
I
+
+
ε
+
ε
=
17
Po
łączenie szeregowe rezystancji
bc
ab
ac
V
V
V
+
=
)
R
R
(
I
IR
IR
V
2
1
2
1
ac
+
=
+
=
2
1
z
R
R
R
+
=
Rezystancja zast
ępcza
po
łączenia szeregowego
Po
łączenie równoległe rezystancji
Rezystancja zast
ępcza
po
łączenia równoległego
2
1
z
R
1
R
1
R
1
+
=
2
1
I
I
I
+
=
2
ab
1
ab
z
ab
R
V
R
V
R
V
+
=
18
Zadanie domowe-7
Zapisa
ć równania Kirchhoffa dla wszystkich oczek
w obwodzie. Wyznaczy
ć wartości natężeń prądu w
poszczególnych ga
łęziach obwodu oraz spadki
napi
ęć na poszczególnych rezystorach w obwodzie.
Za
łożyć, że:
ε
1
=11 V,
ε
2
=12 V, R
1
=R
2
=10
Ω, R
3
=1
Ω
Obwody RC
Roz
ładowanie kondensatora
0
C
Q
dt
dQ
R
=
+
o
o
CU
Q
)
0
t
(
Q
=
=
=
/τ
t
o
e
Q
)
t
(
Q
−
=
RC
τ
=
sta
ła czasowa rozładowania kondensatora
19
Krzywe roz
ładowania kondensatora
/τ
t
o
e
Q
)
t
(
Q
−
=
/τ
t
o
e
τ
Q
dt
)
t
(
dQ
I
−
−
=
=
Zadanie domowe-8
Zapisz równanie obwodu dla
ładowania
kondensatora. Podaj rozwi
ązanie i sprawdź czy
odpowiada ono przedstawionym poni
żej wykresom
20
Zadanie domowe-9
Kondensator o pojemno
ści 6μF jest początkowo nie
na
ładowany. Znaleźć natężenie prądu płynącego przez
rezystor 4
Ω i rezystor 8 Ω:
(a) natychmiast po zamkni
ęciu klucza S,
(b) po bardzo d
ługim czasie od zamknięcia klucza S.
(c) Znale
źć ładunek na kondensatorze po bardzo długim
czasie od zamkni
ęcia klucza
Podsumowanie
• Pr
ąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem
no
śników ładunku, wywołanym polem elektrycznym w
przewodniku pod wp
ływem różnicy potencjałów.
• No
śnikami ładunku są elektrony w metalach ale
elektrony i dziury w pó
łprzewodnikach. W przewodnikach
jonowych (NaCl) mog
ą to być dodatnie i ujemne jony.
• Rozpraszanie no
śników ładunku na defektach sieci, np.
drgaj
ących wokół położeń równowagi jonach, powoduje
pojawienie si
ę oporu elektrycznego (rezystancja,
rezystywno
ść) zależnego od temperatury.
• Prawo Ohma podaje zale
żność liniową pomiędzy polem
elektrycznym i g
ęstością prądu (mikroskopowo) lub
napi
ęciem i natężeniem (makroskopowo). Prawo to nie
zawsze jest spe
łnione.
• Do rozwi
ązywania obwodów elektrycznych konieczna
jest znajomo
ść praw Kirchhoffa.