ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
1
Pojęcia całki
- jest to działanie odwrotne do pochodnej.
′
=
+
=
= ⋅
+
+
f
x
x
x
F x
F x
x
x
C
( )
( )
?
( )
5 2
6
5
3
3
6
2
Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.
gdzie stała C moŜe byc dowolną liczbą
f x dx
F x
C
F x
f x
( )
( )
( )
( )
∫
=
+
′
=
Wzory:
1.
x
n
dx
xn
n
C
n
=
+
+
+
≠ −
∫
1
1
1
dla
2.
gdy x = -1 to
1
x
dx
x C
=
∫
+
ln| |
3.
Cf x dx
C f x dx
( )
( )
=
∫
∫
4.
(
)
f x
g x dx
f x dx
g x dx
( )
( )
( )
( )
±
=
±
∫
∫
∫
5.
1
1
1
x
dx
x
dx
C
−
∫
=
−
+
ln(
)
Przykład:
1
5 2
1
5
2
5
3
3
1
1
2
1
1
2
5
3
3
3
2
3
2
x
x
x dx
x
dx
x dx
xdx
x
x
x
C
x
x
x
C
+
+
=
∫
+
∫
+
∫
=
+ ⋅
+
+ =
∫
=
+
+
+
ln| |
ln| |
Przykład:
(
)
x
dx
xdx
dx
x
x
C
x
x
C
+
=
+
=
+
+
+
+ =
+ +
∫
∫
∫
1
1
2
2
0 1
0
1
2
2
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
2
Przykład:
3 5
5
2
1
3
1
5
5
2
1
2
+
+
+
∫
=
∫
+
+
− +
−
∫
∫
∫
=
x
x
x
dx
dx
x dx
x
x
=
+
+
+
+
+
+
− +
− +
+
− +
− +
+ =
+
+ −
− +
+ =
3
0 1
0 1
1
5
1
1
1
5
5
2 1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
5
6
6
5
5
1
1
2
1
2
x
x
x
x
C
x
x
x
x
C
(
)
=
+
− − +
+
3
5
6
6
5
5
1
2
1
2
x
x
x
x
C
Przykład:
1
1
1
1
1
x
dx
x
t
x
dx
dx
dt
−
∫
=
− =
− ′ =
=
podstawiamy
liczymy pochodn
ą
stronami:
(
)
(
)
1
1
1
x
dx
dt
t C
x
dx
C
−
∫
=
=
+ =
−
+
∫
1
t
ln| |
ln(
)
Przykład:
1
3
2
3
2
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodn
ą
stronami:
(
)
1
3
1
3
1
1
3
1
3
3
2
t
dt
t
dt
t C
x
C
=
=
+ =
∫
∫
=
+ +
ln| |
ln|
|
Przykład:
(
)
3
5
3
5
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
3
(
)
(
)
3
5
1
3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
2
3
3
2
2
9
3
2
2
9
3
5
3
2
x
dx
dx
t dt
t dt
t
C
t
C
t
C
x
C
+
∫
=
∫
=
∫
=
∫
= ⋅
+
+
+ = ⋅ ⋅
+ =
+ =
=
+
+
t
Przykład:
x
x
dx
x
t
x dx
dt
dx
dt
2
3
5
3
5
3
2
3
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
x2
(
)
=
∫
=
∫
= ⋅
+
+
+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅
+
+
t
dt
t
t dt
t
C
t
C
x
C
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
2
3
2
3
2
9
3
5
3
2
Uproszczenia moŜliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
RozwiąŜmy poniŜszy przykład:
1
2
1
2
1
2
2
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+ =
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
=
=
∫
+ +
1
2
1
2
2
1
t
dt
x
C
ln|
|
Uproszczenie 1.
Końcowy wzór:
JeŜeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
ln| ( )|
f x
C
+
Przykład1:
(
)
(
)
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
dx
x
dx
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
=
+
=
∫
+ +
ln|
|
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
4
Przykład2:
1
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
5
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
=
∫
+
=
+ +
ln|
|
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
RozwiąŜmy następujący przykład:
dx
x
x
2
5
6
+
+
∫
Nie moŜemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na
ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłoŜonej.
∆ =
−
=
−
=
b
ac
2
4
25
24
1
∆ =
1
x1
5 1
2
3
= − − = −
x1
5 1
2
2
= − + = −
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
2
5
6
1
2
3
2
+
+
∫
=
−
−
∫
=
+
+
∫
(
)(
)
(
)(
)
Gdyby wyraŜenie:
1
3
2
(
)(
)
x
x
+
+
moŜna było przedstawić jako sumę dwu wyraŜeń
A
x
B
x
(
)
(
)
+
+
+
3
2
to moŜna by było zastosować znane juŜ wzory.
Zakładamy, Ŝe są takie wartości A i B które spełniają te wyraŜenia. Dokonajmy więc
przekształcenia takiej sumy wyraŜeń:
1
3
2
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
x
x
A
x
B
x
A x
B( x
x
x
Ax
A
Bx
B
x
x
x A
B
A
B
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
czyli:
1
3
2
2
3
3
2
(
)(
)
(
)
(
)(
)
x
x
x A
B
A
B
x
x
+
+
=
+
+
+
+
+
JeŜeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są teŜ równe.
MoŜemy więc napisać:
1
2
3
=
+
+
+
x A
B
A
B
(
)
Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu
na wyraŜenie musi być spełniony warunek :
x(A+B) = 0
będzie to zawsze spełnione gdy:
A + B = 0
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
5
Przy takim warunku całe wyraŜenie
1
2
3
=
+
+
+
x A
B
A
B
(
)
będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1
MoŜemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :
A
B
A
B
+ =
⋅
+
=
0
2
3
1
| (-2)
−
− =
+
=
+ =
=
2
2
0
2
3
1
0
1
1
A
A
B
B
B
A
B
A
A
+ =
+ =
= −
0
1
0
1
Całe nasze wyraŜenie przybierze postać:
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
C
(
)(
)
ln|
| ln|
|
+
+
∫
=
−
+
+
∫
+
=
∫
−
+
+
∫
+
=
∫
−
+ +
+ +
3
2
1
3
1
2
1
3
1
2
3
2
Uproszczenie 2.
Końcowy wzór:
dx
x
x
dx
x
x
C
(
)(
)
ln|
| ln|
|
+
+
∫
= −
+ +
+ +
3
2
3
2
Temat:
Pojęcia całki
- część dalsza
Wzory:
e xdx
e x
C
∫
=
+
sin
cos
xdx
x
C
= −
+
∫
cos
sin
xdx
x
C
=
+
∫
tgxdx
x
x
dx
=
∫
∫
=
sin
cos
a
cos
sin
sin
x
t
xdx
dt
xdx
dt
=
−
=
= −
obl. pochodn
ą
z obu stron
a
= −
∫
= −
+
= −
+
∫
dt
t
x C
tgxdx
x C
ln|cos |
ln|cos |
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
6
f x g x dx
g x F x
F x g x dx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−
′
∫
∫
Przykład:
x e
x
dx
f x
e x
F x
e x
g x
x
g x
x
x e x dx
x e x
xe x dx
2
2
2
2
2
2
∫
=
→
=
=
→
′
=
∫
=
−
∫
- mamy tu całk
ę
z mno
Ŝ
enia
- mamy tu nast
ę
pn
ą
całk
ę
z mno
Ŝ
enia, post
ę
pujemy podobnie
( )
( )
( )
( )
f x
e x
F x
e x
g x
x
g x
( )
( )
( )
( )
=
→
=
=
→
′
=
1
=
−
∫
=
−
−
∫
=
=
−
−
+
x e x
xe x dx
x e x
xe x
e xdx
x e
x
xe
x
e
x
C
2
2
2
2
2
2
Przykład:
x
x dx
f x
x
F x
x
g x
x
g x
x
3
3
4
4
1
ln
( )
( )
( )
ln
( )
- mamy tu całkę z mnoŜenia
∫
=
→
=
=
→
′
=
=
−
⋅
∫
−
∫
=
=
− ⋅
+
x
x
x
x
dx
x
x
x dx
x
x
x
C
4
4
4
4
1
4
4
1
4
3
4
4
1
4
4
4
ln
ln
ln
=
Przykład:
ln
ln
ln
x dx
x dx
x dx
- nie mamy wzoru na taką całkę, ale moŜemy ją zapisać jako:
=
∫
∫
⋅
∫ 1
mamy więc całkę z mnoŜenia :
Rozwiązujemy ją w znany sposób:
1
1
1
1
⋅
∫
⋅
∫
=
→
=
=
→
′
=
ln
ln
( )
( )
( )
ln
( )
x dx
x dx
f x
F x
x
g x
x
g x
x
= ⋅
−
⋅
∫
−
∫
=
=
− +
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
C
ln
ln
ln
1
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
7
= ⋅
−
⋅
∫
−
∫
=
∫
=
− +
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x dx
x
x
x
C
ln
ln
ln
ln
1
=
Przykład:
x
x dx
f x
x
F x
x
g x
x
g x
sin
( )
sin
( )
cos
( )
( )
- mamy tu całkę z mnoŜenia
∫
=
→
= −
=
→
′
=
1
= − ⋅
−
−
∫
− ⋅
+
∫
=
= − ⋅
+
+
x
x
x dx
x
x
xdx
x
x
x
C
cos
( cos )
cos
cos
cos
sin
1
=
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
Wzór do zapamiętania!
Co to jest arctg?
tg
arctg
30
0
3
3
3
3
30
0
=
→
=
tg
arctg
450
1
1
450
=
→
=
Przykład:
dx
x
2
4
+
∫
dx - wykorzystamy powy
Ŝ
szy wzór:
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x= t
dx= dt
2
4
4
2
4
1
1
4
2
2
1
2
2
2
+
∫
=
+
∫
=
+
∫
=
=
∗
dx
dx
dx
| 2
=
+
∫
=
+
∫
=
+
1
4
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
dx
dx
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
8
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
dx
dt
dt
dt
t
arctg
x
C
2
2
5
2
2
5
1
2
5
2
1
2
5
2
5
5
2
5
2
2
1
5
2
2
5
+
∫
⋅
+
∫
⋅
⋅
+
∫
=
⋅ =
=
= ⋅
⋅
+
∫
= ⋅
⋅
+
dx =
1
5
dx =
1
5
dx
dx =
1
5
dx
1
5
Matematyka.
Ćwiczenia - Rozwiązywanie całek..
Przykład:
3
2
5
7
1
3
2
5
7
1
1
x
x
x
x dx
x
xdx
dx
x
dx
x x dx
−
+ − +
=
−
−
∫
−
+
∫
∫
∫
∫
=
∫
=
−
−
−
−
+ =
−
−
−
−
+
3
3
3
5
2
2
7
3
2
3
2
3
5
2
2
7
2
3
3
2
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
C
ln| |
ln| |
Przykład:
7
3
21
5
1
2
5
7
3
21
1
5
2
5
1
2
7 4
4
21
2
2
x
x
x
x
x
dx
x dx
xdx
x dx
x
x
x
x
C
−
+
−
+
=
∫
−
∫
+
∫
−
−
∫
+
∫
=
−
+
∫
Przykład:
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
t
dt
dt
t
t C
x
C
+
=
+ =
=
=
=
⋅
=
=
+ =
=
+ +
∫
∫
∫
.
(
)
ln| |
ln|
|
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
9
6
5
7
6
6
5
7
5
7
5
6
1
5
6
5
1
6
5
6
5
5
7
x
dx
x
dx
x
t
dx
dt
t
dt
t
dt
t
C
x
C
−
=
−
=
− =
=
=
⋅
=
=
+ =
=
− +
∫
∫
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
5dx = dt
ln
ln|
|
Przykład:
(
)
7
9
7
9
7
7
1
7
1
2
1
7
3
2
3
2
1
7
2
3
3
2
2
21
7
9
3
2
x
x
t
dx
dt
dx
dt
t dx
t
C
t
C
x
C
+ =
+ =
=
=
=
= ⋅
+ = ⋅ ⋅
+ =
=
+
+
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami
Przykład:
(
)
1
2 3
9
1
2
1
3
9
1
2
3
9
3
3
x
dx
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
=
+
=
+ =
=
=
∫
∫
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
=
=
−
= ⋅ ⋅
− +
− +
+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅ ⋅ ⋅
+ =
= ⋅
+
+
∫
∫
1
2
1
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
3
3
9
1
2
t
dt
t
dt
t
C
t
C
t
C
x
C
Przykład:
1
1
2
(
)(
)
..............................
x
x
dx
−
+
=
∫
??????????????????????????????????
=
−
−
+
=
∫
∫
1
3
1
1
1
3
1
2
(
)
(
)
x
dx
x
dx
=
− −
+ +
1
3
1
1
3
2
ln|
|
ln|
|
x
x
C
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
10
Przykład:
2
1
2
6
5
36
20
16
4
1
6
4
2
1
2
6
4
2
5
2
1
2
6
5
2
1
1
5
2
1
1
5
2
1
5
2
5
1
1
5
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
A
x
x
dx
B
x
Ax
x
dx
B
x
Ax x
B x
x
x
dx
−
−
+
∫
=
=
−
=
=
= − =
= + =
−
−
+
∫
=
−
−
−
∫
=
−
+
⋅
−
∫
= ⋅
−
+
−
∫
∫
=
− +
−
−
−
∫
=
∫
x
∆
∆
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
=
−
+
−
−
−
∫
+ =
−
− = −
−
=
= −
=
=
∫
+
−
∫
=
∫
+
−
∫
=
A x
Ax
Bx
B
x
x
B
A
B
A
A
dx
x
dx
dx
x
dx
2 2
10
1
5
2
5
1
4
1
1
4
2
1
4
2
1
4
5
2
1
4
1
5
(
)(
)
??????????????????
............................................
A
dodajemy stronami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
B
-
1
4
x - 1
-
1
4
1
x - 1
= -
1
4
ln|
|
ln|
|
x
x
C
− +
− +
1 2
1
4
5
Przykład:
dx
x
x
x
x
x
x
A
x
B
x
C
x
A x
x
B( x
x
C x
x
x
x
x
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
)(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
−
+
+
=
∫
−
+
+
=
−
+
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
=
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
=
+
+ +
+
+
− −
+
−
−
+
+
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
=
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
=
+ +
+
+
+
−
−
−
+
+
=
A(x
x
x
B( x
x
x
C x
(x
)(x
)(x
)
(Ax
Ax
A
Bx
Bx
B
Cx
C
(x
)(x
)(x
)
Ax
Ax
A
Bx
Bx
B
Cx
C
(x
)(x
)(x
)
x
A
B
C
x
A
B
A
B
C
(x
)(x
)(x
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
1
1
2
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
JeŜeli ułamki:
1
1
1
2
2
3
2
2
1
1
2
(
)(
)(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
A
B
C
x A
B
A
B
C
(x
)(x
)(x
)
−
+
+
=
+ +
+
+
+
−
−
−
+
+
są równe to i liczniki tych ułamków są równe. MoŜemy więc napisać:
x
A
B
C
x A
B
A
B
C
2
3
2
2
1
(
)
(
)
+ +
+
+
+
−
− =
Obliczamy wartość A, B, C
A + B + C = 0
3A + B + 0 = 0
2A - 2B - C = 1
______________
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
11
Z drugiego równania obliczamy B:
B = -3A
A - 3A + C = 0
2A - 2(-3A) - C = 1
__________________
-2A +C = 0
8A - C = 1
_______________
6A = 1
A = 1/6
B = -3A = - 3(1/6) = - 1/2
B = - 1/2
A + B + C = 0
A + B = - C
1
6
1
2
1 3
6
+ − = −
− = −
C
C
− = −
=
1
3
1
3
C
C
A
=
= −
=
1
6
1
2
1
3
B
C
Nasze równanie przybierze więc postać:
dx
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
C
(
)(
)(
)
(
)
(
)
(
)
ln|
|
ln|
|
ln|
|
−
+
+
∫
=
−
+
∫
−
+
+
∫
+
=
∫
=
−
−
+
+
+ +
1
1
2
1
6
1
1
2
1
1
3
2
1
6
1
1
2
1
1
3
2
Przykład:
(
)(
)
5
7
4
256
5
7
2
16
2
16
5
7
4
4
2
16
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
−
−
∫
=
−
−
+
∫
=
−
−
+
+
∫
=
(
)
(
)(
)
(
)(
)
=
−
+
+
+
+
+
∫
=
+
+
+
−
+
+
+
−
+
−
+
+
∫
=
A
x
B
x
Cx
D
x
dx
A x
x
B x
x
Cx
D x
x
x
x
x
dx
4
4
2
16
4
2
16
4
2
16
4
4
4
4
2
16
(
)(
)
(
)
(
)(
)
=
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
∫
=
4
2
16
64
3
4
2
16
64
3
16
2
16
4
4
2
16
Ax
A
A
Bx
Bx
Bx
B
Cx
Cx
Cx
D
x
x
x
dx
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
12
(
)(
)
=
+ +
+
−
+
+
+
−
+
−
−
−
+
+
∫
=
x
A
B
C
x
A
B
D
x
A
B
C
A
B
D
x
x
x
dx
3
2
4
4
16
16
16
64
64
16
4
4
2
16
(
)
(
)
(
)
Aby obliczyć wartości A, B, C, D, piszemy układy równań:
A
B
C
A
B
D
A
B
C
A
B
D
+ + =
∗
−
+ =
∗
+
−
=
−
−
= −
0
4
4
0
16
16
16
5
64
64
16
7
16
16
Dodajemy pierwsze i trzecie równanie :
16
16
16
0
16
16
16
5
32
32
5
A
B
C
A
B
C
A
B
+
+
=
+
−
=
+
=
Dodajemy drugie i czwarte równanie :
64
64
16
0
64
64
16
7
128
128
7
A
B
D
A
B
D
A
B
−
+
=
−
−
= −
−
= −
W wyniku tych działań otrzymujemy dwa równania:
32
32
5
128
128
7
128
128
20
128
128
7
256
13
13
256
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
+
=
∗
−
= −
+
=
−
= −
=
=
4
Z równania
32
32
5
A
B
+
=
obliczamy B
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
13
32
13
256
32
5
13
8
32
5
5
13
8
32
40 13
8
32
27
8 32
27
256
27
256
⋅
+
=
+
=
=
−
=
−
=
⋅
=
=
B
B
B
B
Z równania A + B + C = 0 obliczamy C
C
A
B
C
= − − = − −
= − −
= −
= −
13
256
27
256
13
27
276
40
256
40
256
Z równania 4A - 4B + D = 0 obliczamy D
4
13
256
4
27
256
0
13
64
27
64
0
13
64
27
64
14
64
7
32
7
32
−
+ =
−
+ =
= −
+
=
=
=
D
D
D
D
Podstawiamy obliczone wartości A, B, C, D do równania:
A
x
B
x
Cx
D
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
−
+
+
+
+
+
∫
=
−
∫
+
+
∫
+
−
+
+
∫
=
=
−
∫
+
+
∫
+
−
+
+
∫
=
4
4
2
16
13
256
4
27
256
4
40
256
7
32
2
16
13
256
1
4
27
256
1
4
40
256
7
32
2
16
13
256
4
27
256
4
40
256
7
32
2
16
ln|
|
ln|
|
x
x
x
x
dx
−
+
+
+
−
+
+
∫
( )
( )
= + +
−
+
+
∫
= + +
−
⋅
+
+
∫
= + +
−
+
+
+
∫
=
= + +
−
+
∫
+
+
a
b
x
x
dx
a
b
x
x
dx
a
b
x
x
x
dx
a
b
x
x
dx
x
40
256
7
32
2
16
40
256
1
2
2
7
32
2
16
40
512
2
2
16
7
32
2
16
40
512
2
2
16
7
32
2
16
∫
= + + −
+
∫
+
+
∫
=
dx
a
b
x
x
dx
x
dx
40
512
2
2
16
7
32
1
2
16
c
a
b
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
14
= + + −
+
+
+
∫
= + + +
+
∫
=
= + + +
⋅
+
∫
=
=
=
=
= + + +
⋅
+
a
b
x
x
dx
a
b
c
x
dx
a
b
c
dx
x
x
t x
t dx
dt
a
b
c
dt
t
40
512
2
16
7
32
1
2
16
7
32
1
16
2
16
1
7
32
1
16
4
2
1
4
4
4
7
32
1
16
4
2
1
ln|
|
podstawiamy
∫
= + + +
⋅
+
∫
= + + +
⋅
= + + +
⋅
=
= + + +
a
b
c
dt
t
a
b
c
arctgt
a
b
c
arctg
x
a
b
c
arctg
x
7
32
4
16
2
1
7
32
1
4
7
32
1
4
4
7
128
4
Przykład:
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x
t
dx
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
2
7
7
2
7
1
1
7
7
2
1
7
7
7
7
1
7
7
2
1
7
7
2
1
7
7
7
7
7
+
∫
=
+
∫
= ⋅
+
∫
=
=
∗
=
⋅
=
= ⋅
⋅
+
∫
=
⋅
+
∫
=
=
+ =
+
Przykład:
( )
dx
x
dx
x
x
t
x
t
dx
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
+
∫
=
+
∫
=
⋅ =
=
=
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
=
+ =
⋅
+
|
|
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
15
dx
x
dx
x
dx
x
x
t x
t
dt
dt
dt
t
dt
t
arctgt
C
arctg
x
C
3
2
5
5
3
5
2
1
1
5
3
5
2
1
3
5
3
5
3
5
5
3
1
5
5
3
2
1
1
5
5
3
2
1
1
5
5
3
1
5
5
3
5
3
+
∫
=
+
∫
=
+
∫
⋅ =
=
=
=
=
+
∫
= ⋅
+
∫
=
=
+ =
⋅
+
dx
dx
|
|
Przykład:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dx
x
x
a
ab
b
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
t
x
t
x
2
6
24
2
2
2
2
2
6
24
2
6
9
15
2
6
9
15
3 2
15
2
6
24
3 2
15
15
3
15
2
1
1
15
3
15
2
1
3
15
3
15
3
15
15
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+ =
+ =
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
a + b
( )
t
x
dt
dt
t
arctg t
C
arctg
x
C
arctg
x
C
d
+
=
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+ =
⋅
+
+
=
+
∫
15
15
1
15
15
15
2
1
1
15
15
15
1
15
15
15
3
15
15
15
3
15
.........................
| |
|
|
|
|
Temat:
cd całki.
Powtórka:
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
Przykład:
dx
x
x
2
3
7
9
28
19
+
+
∫
= −
= −
∆
delta ujemna, do rozwiązania naleŜy wykorzystać inną
metodę.
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
16
Wykorzystać moŜna wzór:
(
)
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
2
2
2
2
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
t
x
2
3
7
2
2
3
2
9
4
9
4
7
3
2
2
19
4
4
19
3
2
2
19
4
19
4
4
19
3
2
2
19
4
1
4
19
3
2
19
2
2
1
3
2
19
2
3
2
19
2
+
+
∫
+ ⋅
+ − +
∫
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
=
+
+
∫
+
=
+ =
⋅
=
podstawiamy za
t
dx
dt
=
⋅
19
2
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
+
+
4
19
19
2
2
1
4
19
19
2
2
1
2 19
19
2
3
2
19
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
Przykład:
5
7
2
7
20
x
x
x
dx
+
+
+
=
∫
Przypomnienie wzoru:
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
pochodna z mianownika naszego przykładu była by:
x
x
x
2
7
20
2
7
+
+
′
=
+
licznik z naszego przykładu jest :
5
7
x
+
aby doprowadzić go do postaci:
2
7
x
+
naleŜy dokonać przekształcenia:
(
)
(
)
(
)
(
)
5
7
5
1
2
2
7
7
2
7
5
2
2
7
5 7
2
7
5
2
2
7
35
2
14
2
5
2
2
7
21
2
x
x
x
x
x
x
+ =
+ −
+ =
+ −
⋅
+ =
+ −
+
=
=
+ −
6
7
44
8
44
Wracamy do naszej całki:
(
)
5
7
2
7
20
5
2
2
7
21
2
2
7
20
5
2
2
7
2
7
20
21
2
2
7
20
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
+
+
+
=
∫
+ −
+
+
=
∫
+
+
+
∫
−
+
+
∫
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
17
=
+
+
−
+ ⋅
+
−
+
∫
= −
+
+
∫
5
2
2
7
20
21
2
2
2
7
2
49
4
49
4
80
4
21
2
7
2
2
31
4
ln|
|
x
x
K
dx
x
x
B
K
dx
x
B
1
2
44
4
3
444
1
2
44444
3
44444
1
2
44
3
44
B
dx
x
x
dx
dx
x
dx
x
=
+
+
∫
=
+
+
∫
=
⋅
+
+
∫
=
⋅
+
+
∫
=
7
2
2
31
4
4
31
7
2
2
31
4
31
4
4
31
7
2
2
31
4
1
4
31
7
2
31
2
2
1
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+ =
⋅
=
⋅
7
2
31
2
7
2
31
2
31
2
| całkujemy stronami
B
dx
x
dt
t
arctg
x
C
=
⋅
+
+
∫
=
⋅
+
∫
=
+
+
4
31
7
2
31
2
2
1
4
31
31
2
2
1
2 31
31
7
2
31
2
|
|
Przykład:
(
)
dx
x
x
dx
x
x
t
dx
dt
2
2
1
1
2
1
+
+
∫
=
+
∫
=
+ =
=
=
∫
= −
∫
=
−
−
+ =
+
+
dt
t
t
dt
t
C
x
C
2
2
1
1
1
1
Temat2: Całki oznaczone.
Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.
Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być róŜniczkowalna.
f x dx
a
b
F b
F a
( )
( )
( )
∫
=
−
Przykład:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
18
xdx
x
1
3
2
2 1
3
32
2
12
2
9
2
1
2
8
2
4
∫
=
=
−
= − = =
|
Przykład:
1
1
5
10
x
dx
−
∫
=
podstawiamy:
x
t
dx
dt
− =
=
1
dla
x
x
=
=
5
10
t
t
( )
(
)
5
4
10
9
=
=
Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.
Wracamy do przykładu:
1
1
5
10
1
4
9
4
9
9
4
9
4
x
dx
t
dt
−
∫
=
∫
=
=
=
−
=
ln
|
ln
ln
ln
| t |
Twierdzenia:
f x dx
f f dx
a
c
f f dx
c
b
a
b
c
a b
( )
(
)
(
)
( , )
=
+
∫
∫
∫
∈
f x dx
a
a
( )
=
∫
0
f x
a b
( )
( , )
>
0
P
a b
| |
( )
P
f x dx
a
b
=
∫
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
19
Przykład:
Mamy dwie funkcje:
f x
x
g x
x
( )
( )
=
=
2
4
x
2
4x
Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami
się tych wykresów.
Wykresy przecinają się dla x który jest równy:
x
x
2
4
=
x
x
x x
x
x
2
4
0
4
0
0
4
−
=
−
=
=
=
(
)
Pole będzie równe róŜnicy :
Pole
xdx
x dx
x
x
=
−
∫
∫
=
=
−
=
−
−
−
=
−
⋅
=
−
=
4
4
2
3
4 8
0
64
3
0
32
32 2
3
32 1
2
3
32
3
2
0
4
0
4
2
0
4
3
0
4
|
|
(
)
25.04.98 ćwiczenia
Przykład:
f x
g x
g x
F x
F x
g x dx
C
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⋅
=
⋅
−
⋅ ′
+
∫
∫
Miejsce przecięcia się obu
wykresów
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
20
x
xdx
f
x
F
x
g
x
g
x
x
x
x
x
dx
x
x
x dx
x
x
x
C
x
x
C
2
2
3
3
1
3
3
1
3
3
3
3
1
3
2
3
3
1
3
3
3
3
3
1
3
ln
ln
ln
ln
ln
ln
=
=
=
∫
=
′ =
=
−
⋅
∫
=
−
∫
=
− ⋅
+ =
−
+
Przykład:
x
xdx
f
x
F
x
g
x
g
x
x
xdx
x
x
x
C
sin
sin
cos
cos
cos
cos
sin
=
=
= −
∫
=
′ =
= −
+
∫
= −
+
+
1
Przykład:
1
1
1
1
1
x
x
dx
x
t
x
dx
dt
dt
x
x
dx
dx
x
x
dx
x
t
dt
t
dt
t
t
C
x
C
ln
ln
ln
ln
ln
ln(ln )
∫
=
=
=
=
=
∫
=
∫
=
⋅ =
⋅ =
∫
=
∫
+ =
+
∫
dx
x
Przykład:
1
2
2
2
1
1
1
1
x
x
dx
x
t
dx
dx
dt
t
t
dt
t
C
t
C
x
C
ln
ln
ln
∫
=
=
=
=
∫
= −
∫
=
−
−
+ = − + = −
+
1
x
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
21
Przykład:
dx
x
x
x
x
A
x
B
x
A x
B( x
x
x
Ax
A
Bx
x
x
x A
B
A
B
x
x
x
t
x
z
x
dt
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
−
+
∫
=
−
+
=
−
+
+
=
+ +
−
−
+
=
=
+ +
−
−
+
=
+
+ −
−
+
=
− =
+ =
=
5
1
1
5
1
5
1
1
5
5
1
5
5
1
5
5
1
5
1
d
dx
dz
=
A
B
A
B
+ =
−
=
0
5
1
(-1)
− − =
−
=
A
B
A
B
0
5
1
−
=
= −
6
1
1
6
B
B
A
A
− =
=
1
6
0
1
6
=
−
∫
−
+
∫
=
∫
−
∫
=
1
6
1
5
1
6
1
1
1
6
1
1
6
1
x
dx
x
dx
t
dt
z
dz
=
−
+ =
− −
+ +
1
6
1
6
1
6
5
1
6
1
ln
ln
ln
ln
t
z
C
x
x
C
Przykład:
(
)
(
)
(
)
1
2
11
1
2
1 10
1
1
10
1
10
1
10
1
1
10
1
10
1
2
2
2
2
2
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
+
+
∫
=
+
+ +
∫
=
+
+
∫
=
∫
⋅
+
+
=
+
+
∫
=
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+ =
⋅
=
⋅
1
10
1
10
10
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+
+
1
10
10
1
10
10
1
10
10
1
10
2
2
dt
t
dt
t
arctg
x
C
Przykład:
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
7
2 2
7
2
2
2
2
2
7
2
2
2
2
4
1
16
1
16
7
2
+ +
∫
=
+ + =
+
⋅ +
=
+ ⋅ +
−
+
=
wyciągnijmy przed mianownik 2 i przedstawmy go w postaci:
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
22
=
+ ⋅ +
−
+
=
+
−
+ ⋅
=
+
+
=
2
2
2
4
1
16
1
16
7
2
2
1
4
2
1
16
8 7
16
2
1
4
2
55
16
x
x
x
x
Podstawiamy do naszego przykładu:
dx
x
x
2
2
7
2
55
16
1
2
2
55
16
1
2
16
55
2
55
16
55
16
55
16
+ +
∫
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+
∫
=
dx
2
x +
1
4
dx
x +
1
4
dx
x +
1
4
= ⋅
+
∫
=
+
∫
=
=
=
⋅
=
⋅
1
2
16
55
2
55
16
2
1
8
55
55
4
2
1
55
4
55
4
55
4
dx
x +
1
4
x +
1
4
podstawiamy:
x +
1
4
x +
1
4
róŜniczkujemy:
dx
t
t
dx
dt
=
+
∫
=
⋅
+
∫
=
⋅
+ =
⋅
+
+
8
55
55
4
2
1
8
55
55
4
2
1
2 55
55
2 55
55
1
4
55
4
dt
t
dt
t
arctg t
C
arctg
x
C
Przykład:
3
7
6
2
4
x
x
x
+
+ +
∫
=
zastosujemy wzór
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
Obliczamy pochodną mianownika:
(
)
(
)
(
)
6
2
4
12
1
3
7
3
1
12
12
1
1
12
7
1
4
12
1
1
4
7
1
4
12
1
27
4
x
x
x
x
x
x
x
+ +
′
=
+
+ =
+ −
+ =
+ − + =
+ +
aby licznik doprowadzić do takiej wartości,
naleŜy dokonać w nim następujących przekształceń:
Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:
(
)
(
)
(
)
=
+ +
+ +
=
+
+ +
+
+ +
=
+
+ +
+
+ +
=
∫
∫
∫
∫
∫
1
4
12
1
27
4
6 2
4
1
4
12
1
6 2
4
27
4
6 2
4
1
4
12
1
6 2
4
27
4
6 2
4
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
dx
=
+ + +
+ +
=
+ +
∫
1
4
6
2
4
27
4
6 2
4
1
4
6
2
4
ln
ln
x
x
dx
x
x
dx
x
x
oznaczmy A =
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
23
= +
+ +
∫
A
dx
x
x
dx
27
4
6 2
4
Rozpisujemy mianownik aby moŜna było zastosować wzór:
1
1
2
+
∫
=
+
x
dx
arctgx
C
6 2
4
6
2
2
2 6
4
6
6
2
2
12
1
144
1
144
2
3
6
1
12
2
1
144
2
3
6
1
12
2
95
144
x
x
x
x
x
x
x
x
+ + =
+
⋅
+
=
+
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
Wracamy do obliczeń całki:
= +
+ +
= +
+
+
= +
⋅
⋅
+
+
=
= +
⋅
+
+
=
∫
∫
∫
∫
A
dx
x
x
dx
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
27
4
6
2
4
27
4
6
1
12
2
95
144
27
4
1
6
144
95
1
12
2
95
144
1
162
95
1
12
2
95
12
2
1
Podstawiamy:
x
t
x
t
dx
dt
+
=
+
=
⋅
=
1
12
95
12
1
12
95
12
95
12
Wstawiamy to do przykładu:
= +
⋅
+
+
= +
⋅
+
= +
⋅
⋅
+
= +
⋅
+ =
= +
⋅
+
+
∫
∫
∫
A
dx
x
A
dt
t
A
dt
t
A
arctg t
C
A
arctg
x
C
162
95
1
12
95
12
2
1
162
95
95
12
2
1
162
95
95
12
2
1
81 95
6 95
81 95
6 95
1
12
95
12
A =
1
4
6
2
4
ln x
x
+ +
Rozwiązaniem
3
7
6 2
4
x
x
x
+
+ +
∫
jest:
=
1
4
6
2
4
ln x
x
+ +
+
⋅
+
+
81 95
6 95
1
12
95
12
arctg
x
C
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
24
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji:
y
x
=
2
y
x
=
7
7
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x
x
x
x
x x
2
7
2
7
0
7
0
=
−
=
−
=
(
)
Dla
x1 0
=
oraz
x2
7
=
wykresy tych funkcji przecinają się.
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe róŜnicy całek oznaczonych tych funkcji
dla przedziału 0,7
P
xdx
x dx
x
x
P
=
−
=
−
=
−
−
−
= ⋅
−
=
=
∫
∫
7
0
7
2
0
7
7
2
2 0
7
3
3 0
7
7
7
2
2
7
0
2
2
7
3
3
0
3
3
7 49
2
343
3
343
6
343
6
|
|
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji:
y
x
=
y
x
=
2
1/4
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
− =
− =
2
4 2
4
2
0
4
1
0
(
)
Dla wartości:
wykresy przecinają się.
x
x
1
0
2
1
4
=
=
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
25
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe róŜnicy całek oznaczonych tych funkcji
dla przedziału
0
1
4
,
P
xdx
xdx
x dx
xdx
x
=
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
0
1
4
2
0
1
4
1
2
0
1
4
2
0
1
4
2
3
2
3
0
1
4
0
1
4
|
|
2
x
2
2
= ⋅
−
= ⋅ −
=
−
= − =
=
2
3
1
64
1
16
2
3
1
8
1
16
1
12
1
16
4
3
48
1
48
1
48
P
ANALIZA MATEMATYCZNA: Całki – pojęcia i przykłady
26
Wzory na obliczanie całek:
1.
x
n
dx
xn
n
C
n
=
+
+
+
≠ −
∫
1
1
1
dla
gdy x = -1 to
1
x
dx
x C
=
∫
+
ln| |
2.
Cf x dx
C f x dx
( )
( )
=
∫
∫
3.
(
)
f x
g x dx
f x dx
g x dx
( )
( )
( )
( )
±
=
±
∫
∫
∫
4.
1
1
1
x
dx
x
dx
C
−
∫
=
−
+
ln(
)
5.
JeŜeli
w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest
równa:
′
∫
=
+
f
x
f x
f x
C
( )
( )
ln| ( )|
6.
1
3
2
3
2
(
)(
)
ln|
| ln|
|
x
x
dx
x
x
C
+
+
= −
+ +
+ +
∫
7.
e xdx
e x
C
∫
=
+
8.
sin
cos
xdx
x
C
= −
+
∫
9.
cos
sin
xdx
x
C
=
+
∫
10.
tgxdx
x C
= −
+
∫
ln|cos |
11.
f x g x dx
g x F x
F x g x dx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−
′
∫
∫
12.
ln
ln
x dx
x
x
x
C
∫
=
− +
13.
1
2
1
x
dx
arctgx
C
+
=
+
∫
14.
f x dx
a
b
F b
F a
( )
( )
( )
∫
=
−
15.
Twierdzenia: 1.
f x dx
f f dx
a
c
f f dx
c
b
a
b
c
a b
( )
(
)
(
)
( , )
=
+
∫
∫
∫
∈
2.
f x dx
a
a
( )
=
∫
0