N
AZWISKO
I
MIĘ
..............................
egz+zal AM
20.06. 2011/12
Zad.1
Zad.2
Zad.3
Zad.4
Zad.5
Zad.6
Zad.7
Zad.8
Zad.9
Zad.1 Korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji
x
x
f
sin
)
(
!
1
2
1
!
7
!
5
!
3
sin
1
2
7
5
3
n
x
x
x
x
x
x
n
n
dla
R
x
a) rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
)
2
sin(
)
(
x
x
x
g
;
b) podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu;
c) obliczyć wartość dwudziestej oraz dwudziestej pierwszej pochodnej funkcji g w punkcie 0;
d) obliczyć sumę szeregu
1
)!
1
2
(
)
1
(
n
n
n
.
Zad.2 Dla szeregu potęgowego
0
1
3
)
2
1
(
n
n
n
n
x
wyznaczyć
a) środek, b) współczynniki, c) promień zbieżności, d) przedział zbieżności.
Zad.3 Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie
)
1
,
(e
dla funkcji
)
(
3
)
,
(
y
x
y
x
f
.
zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
xyz
z
y
x
f
)
,
,
(
przy warunku
18
3
2
z
y
x
.
Zad.5 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem
0
6
2
2
2
2
2
y
x
y
x
.
Zad.6 Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę
dxdy
y
D
3
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
y
x
2
2
,
y
x
2
4
,
x
y
2
,
x
y
3
2
.
zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
)
(
5
2
2
y
x
z
,
2
2
36
y
x
z
. Naszkicować tę bryłę.
Nazwać ograniczające ją powierzchnie.
zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania
x
y
x
y
3
2
1
1
spełniające warunek początkowy
3
)
1
(
y
.
zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania
3
7
3
5
2
3
x
e
y
y
y
.
N
AZWISKO
I
MIĘ
..............................
egz+zal AM
20.06. 2011/12
Zad.1
Zad.2
Zad.3
Zad.4
Zad.5
Zad.6
Zad.7
Zad.8
Zad.9
Zad.1 Korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji
x
x
f
cos
)
(
!
2
1
!
6
!
4
!
2
1
cos
2
6
4
2
n
x
x
x
x
x
n
n
dla
R
x
a) rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
)
2
cos(
)
(
x
x
x
g
;
b) podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu;
c) obliczyć wartość dwudziestej oraz dwudziestej pierwszej pochodnej funkcji g w punkcie 0;
d) obliczyć sumę szeregu
1
)!
2
(
)
1
(
n
n
n
.
Zad.2 Dla szeregu potęgowego
0
1
5
)
2
1
(
n
n
n
n
x
wyznaczyć
a) środek, b) współczynniki, c) promień zbieżności, d) przedział zbieżności.
Zad.3 Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie
)
1
,
(e
dla funkcji
)
(
2
)
,
(
y
x
y
x
f
.
zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
xyz
z
y
x
f
)
,
,
(
przy warunku
18
3
2
z
y
x
.
Zad.5 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem
0
24
2
2
2
2
2
y
x
y
x
.
Zad.6 Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę
dxdy
x
D
3
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
y
x
2
,
y
x
4
2
,
x
y
2
2
,
x
y
2
3
.
zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
)
(
5
1
2
2
y
x
z
,
36
2
2
2
z
y
x
dla
.
0
z
Naszkicować
tę bryłę. Nazwać ograniczające ją powierzchnie.
zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania
x
y
x
y
6
1
2
1
spełniające warunek początkowy
2
)
1
(
y
.
zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania
x
e
y
y
y
2
7
6
2
5
3
.
N
AZWISKO
I
MIĘ
..............................
egz AM
20.06. 2011/12
Zad.I
Zad.II
Zad.III Zad.IV
Zad.V
Zad.VI
Zad.7
Zad.8
Zad.9
zad.7 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
)
(
5
1
2
2
y
x
z
,
36
2
2
2
z
y
x
dla
.
0
z
Naszkicować
tę bryłę. Nazwać ograniczające ją powierzchnie.
zad.8 Wyznaczyć rozwiązanie równania
x
y
x
y
3
2
1
1
spełniające warunek początkowy
3
)
1
(
y
.
zad.9 Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania
x
e
y
y
y
2
7
6
2
5
3
.
Zadania teoretyczne
I. W przedziale
1
,
1
zachodzi równość
0
1
1
n
n
x
x
. Korzystając z tej zależności i powołując się na odpowiednie
twierdzenia obliczyć sumę
1
2
n
n
nx
.
II. Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy funkcja
)
1
(
)
,
(
2
y
x
y
x
y
x
f
w punktach
)
,
0
(
y dla
1
0
y
osiąga
ekstremum (maksimum czy minimum) lokalne niewłaściwe.
III. Podać definicję pochodnej kierunkowej funkcji trzech zmiennych w punkcie
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
w kierunku wersora
)
,
,
(
c
b
a
v
gdzie
1
2
2
2
c
b
a
i jej związek z gradientem funkcji w zadanym punkcie. Jaka może być najmniejsza,
a jaka największa wartość tej pochodnej?
IV. Dla funkcji
)
,
(
y
x
f
z
klasy
)
(
2
2
R
C
sformułować i udowodnić warunek wystarczający na to by w punkcie
)
,
(
0
0
y
x
funkcja f osiągała minimum lokalne właściwe.
V. Podać związki między współrzędnymi kartezjańskimi
)
,
,
(
z
y
x
a współrzędnymi sferycznymi
)
,
,
(
R
dowolnego
punktu w
3
R . Obliczyć jakobian
)
,
,
(
R
J
.
VI. Dla równania liniowego rzędu drugiego o stałych wspólczynnikach
0
qy
y
p
y
R
q
p
,
w przypadku, gdy
0
4
2
q
p
metodą uzmienniania stałej wyznaczyć całkę szczególną równania liniowo niezależną
z całką tego równania równą
x
r
e
y
0
1
gdzie
2
0
p
r
.