MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
1
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PŁASKICH - ZADANIE 1
Z3/1.1. Zadanie 1
Wyznaczyć siły normalne w prętach kratownicy przedstawionej na rysunku Z3/1.1 metodą
zrównoważenia węzłów. Następnie siły normalne w prętach numer 3, 6 i 15 wyznaczyć metodą Rittera.
Wszystkie wymiary kratownicy płaskiej podane są w metrach.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
Rys. Z3/1.1. Kratownica płaska wraz z siłami czynnymi
Z3/1.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z3/1.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2
⋅
10
=
17
3
.
(Z3/1.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z3/1.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z3/1.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z3/1.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2
3
Rys. Z3/1.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
2
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc
geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z3/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z3/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
H
1
V
1
V
9
X
Y
Rys. Z3/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H
1
wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
X
=
H
1
−
20,0
=
0
H
1
=
20,0 kN
.
(Z3/1.2)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V
1
wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
M
9
=V
1
⋅4⋅6,0−25,0⋅3⋅6,0−29,0⋅2⋅6,0−30,0⋅6,0−20,0⋅3,0=0
V
1
=43,25 kN
.
(Z3/1.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V
9
wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
M
1
=−V
9
⋅4⋅6,025,0⋅6,029,0⋅2⋅6,030,0⋅3⋅6,0−20,0⋅3,0=0
V
9
=40,75 kN
.
(Z3/1.4)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
3
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Y =V
1
V
9
−25,0−29,0−30,0=43,2540,75−25,0−29,0−30,0=0
.
(Z3/1.5)
Pionowe reakcje V
1
oraz V
9
zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z3/1.4 przedstawia prawidłowe
wartości i zwroty reakcji podporowych.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
X
Y
20,0 kN
43,25 kN
40,75 kN
Rys. Z3/1.4. Kratownica płaska w równowadze
Z3/1.4. Wyznaczenie sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej metodą zrównoważenia
węzłów
Rysunek Z3/1.5 przedstawia kratownicę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi i reakcjami
będącymi w równowadze.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
X
Y
20,0 kN
43,25 kN
40,75 kN
α
α
α
α
α
α
α
α
Rys. Z3/1.5. Kratownica płaska w równowadze
Wartości funkcji sinus i kosinus kąta nachylenia krzyżulców do poziomu, zgodnie z wymiarami
kratownicy płaskiej wynoszą
sin
=
3,0
3,0
2
6,0
2
=
0,4472
,
(Z3/1.6)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
4
cos
=
6,0
3,0
2
6,0
2
=0,8944
.
(Z3/1.7)
Wyznaczanie sił normalnych metodą zrównoważenia węzłów rozpoczniemy od węzła numer 1.
Rysunek Z3/1.6 przedstawia siły działające w tym węźle.
1
9
1
X
Y
20,0 kN
43,25 kN
N
1
N
9
Rys. Z3/1.6. Siły działające w węźle numer 1
Równania równowagi w tym węźle mają postać
X
=
N
1
20,0
=
0
,
(Z3/1.8)
Y =N
9
43,25=0
.
(Z3/1.9)
Z równań (Z3/1.8) i (Z3/1.9) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 1 i 9. Siły te mają
wartości
N
1
=−
20,0 kN
,
(Z3/1.10)
N
9
=−43,25 kN
.
(Z3/1.11)
Oba pręty są więc ściskane.
20,0 kN
5
9
14
2
X
Y
N
9
N
5
N
14
Rys. Z3/1.7. Siły działające w węźle numer 2
Rysunek Z3/1.7 przedstawia siły działające w węźle numer 2. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
5
X
=
N
5
N
14
⋅
cos
−
20,0
=
0
,
(Z3/1.12)
Y =−N
9
−N
14
⋅sin
=0
.
(Z3/1.13)
Z równań (Z3/1.12) i (Z3/1.13) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 14 i 5. Siły te
mają wartości
N
14
=
−
N
9
sin
=
−
−
43,25
0,4472
=
96,71 kN
,
(Z3/1.14)
N
5
=−N
14
⋅cos
20,0=−96,71⋅0,894420,0=−66,50 kN
.
(Z3/1.15)
Pręt numer 14 jest rozciągany natomiast pręt numer 5 ściskany.
25,0 kN
1
2
10
14
3
X
Y
N
1
N
2
N
10
N
14
α
Rys. Z3/1.8. Siły działające w węźle numer 3
Rysunek Z3/1.8 przedstawia siły działające w węźle numer 3. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
1
−N
14
⋅cos
N
2
=0
,
(Z3/1.16)
Y =N
10
N
14
⋅sin
−25,0=0
.
(Z3/1.17)
Z równań (Z3/1.16) i (Z3/1.17) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2 i 10. Siły te
mają wartości
N
2
=N
1
N
14
⋅cos
=−20,096,71⋅0,8944=66,50 kN
,
(Z3/1.18)
N
10
=25,0−N
14
⋅sin
=25,0−96,71⋅0,4472=−18,25 kN
.
(Z3/1.19)
Pręt numer 2 jest rozciągany natomiast pręt numer 10 ściskany.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
6
5
6
10
15
4
X
Y
N
5
N
6
N
10
N
15
α
Rys. Z3/1.9. Siły działające w węźle numer 4
Rysunek Z3/1.9 przedstawia siły działające w węźle numer 4. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
5
N
15
⋅cos
N
6
=0
,
(Z3/1.20)
Y =−N
10
−N
15
⋅sin
=0
.
(Z3/1.21)
Z równań (Z3/1.20) i (Z3/1.21) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15. Siły te
mają wartości
N
15
=
−
N
10
sin
=
−
−
18,25
0,4472
=
40,81 kN
,
(Z3/1.22)
N
6
=N
5
−N
15
⋅cos
=−66,50−40,81⋅0,8944=−103,0 kN
.
(Z3/1.23)
Pręt numer 15 jest rozciągany natomiast pręt numer 6 ściskany.
29,0 kN
6
7
11
6
X
Y
N
6
N
7
N
11
Rys. Z3/1.10. Siły działające w węźle numer 6
Rysunek Z3/1.10 przedstawia siły działające w węźle numer 6. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
6
N
7
=0
,
(Z3/1.24)
Y =−N
11
−29,0=0
.
(Z3/1.25)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
7
Z równań (Z3/1.24) i (Z3/1.25) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 7 i 11. Siły te
mają wartości
N
7
=
N
6
=−
103,0 kN
,
(Z3/1.26)
N
11
=−
29,0 kN
.
(Z3/1.27)
Oba pręty są ściskane.
2
3
11
15
16
5
X
Y
N
2
N
3
N
11
N
15
N
16
α
α
Rys. Z3/1.11. Siły działające w węźle numer 5
Rysunek Z3/1.11 przedstawia siły działające w węźle numer 5. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
2
−N
15
⋅cos
N
16
⋅cos
N
3
=0
,
(Z3/1.28)
Y =N
15
⋅sin
N
11
N
16
⋅sin
=0
.
(Z3/1.29)
Z równań (Z3/1.28) i (Z3/1.29) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 16 i 3. Siły te
mają wartości
N
16
=−
N
15
⋅sin
N
11
sin
=−
40,81
⋅0,4472−29,0
0,4472
=24,04 kN
,
(Z3/1.30)
N
3
=N
2
N
15
⋅cos
−N
16
⋅cos
=66,5040,81⋅0,8944−24,04⋅0,8944=81,50 kN
.
(Z3/1.31)
Oba pręty są rozciągane.
Rysunek Z3/1.12 przedstawia siły działające w węźle numer 8. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
7
−N
16
⋅cos
N
8
=0
,
(Z3/1.32)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
8
7
8
12
16
8
X
Y
N
7
N
8
N
12
N
16
α
Rys. Z3/1.12. Siły działające w węźle numer 8
Y =−N
16
⋅sin
−N
12
=0
.
(Z3/1.33)
Z równań (Z3/1.32) i (Z3/1.33) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 8 i 12. Siły te
mają wartości
N
8
=N
7
N
16
⋅cos
=−103,024,04⋅0,8944=−81,50 kN
,
(Z3/1.34)
N
12
=−
N
16
⋅
sin
=−
24,04
⋅
0,4472
=−
10,75 kN
.
(Z3/1.35)
Oba pręty są ściskane.
30,0 kN
3
4
12
17
7
X
Y
N
3
N
4
N
12
N
17
α
Rys. Z3/1.13. Siły działające w węźle numer 7
Rysunek Z3/1.13 przedstawia siły działające w węźle numer 7. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
3
N
17
⋅cos
N
4
=0
,
(Z3/1.36)
Y =N
12
N
17
⋅sin
−30,0=0
.
(Z3/1.37)
Z równań (Z3/1.36) i (Z3/1.37) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 17 i 4. Siły te
mają wartości
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
9
N
17
=
30,0
− N
12
sin
=
30,0
−
−10,75
0,4472
=91,12 kN
,
(Z3/1.38)
N
4
=N
3
−N
17
⋅cos
=81,50−91,12⋅0,8944=0,00227≈0
.
(Z3/1.39)
Pręt numer 17 jest rozciągany natomiast pręt numer 4 jest prętem zerowym.
4
13
9
40,75 kN
X
Y
N
4
N
13
Rys. Z3/1.14. Siły działające w węźle numer 9
Rysunek Z3/1.14 przedstawia siły działające w węźle numer 9. Równania równowagi w tym węźle
mają postać
X =−N
4
=0
,
(Z3/1.40)
Y =N
13
40,75=0
.
(Z3/1.41)
Równanie (Z3/1.40) posłuży nam do sprawdzenia obliczenia siły normalnej w pręcie numer 4. Jak
widać jest to pręt zerowy (Z3/1.39). Z równania (Z3/1.41) możemy wyznaczyć wartośc siły normalnej w
pręcie numer 13. Wynosi ona
N
13
=−40,75 kN
.
(Z3/1.42)
Pręt ten jest więc ściskany.
8
13
17
10
X
Y
N
8
N
13
N
17
α
Rys. Z3/1.15. Siły działające w węźle numer 10
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
10
Rysunek Z3/1.15 przedstawia siły działające w węźle numer 10. Równania równowagi w tym węźle
posłużą nam do sprawdzenia obliczeń. Mają postać
X =−N
8
−N
17
⋅cos
=−
−81,50
−91,12⋅0,8944=0,00227≈0
,
(Z3/1.43)
Y =−N
13
−N
17
⋅sin
=−
−40,75
−91,12⋅0,4472=0,00114≈0
.
(Z3/1.44)
Oba równania równowagi zostały spełnione. Obliczenia sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej
przeprowadziliśmy poprawnie.
Rysunek Z3/1.16 przedstawia kratownicę płaską wraz z siłami czynnymi i reakcjami działającymi na
nią oraz siłami normalnymi w prętach.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
20,0
66,50
81,50
0
66,50
103,0
103,0
81,50
43
,2
5
96,7
1
40,81
24,
04
91,1
2
20,0 kN
43,25 kN
40,75 kN
18
,2
5
29
,0
10
,7
5
40
,7
5
Rys. Z3/1.16. Kratownica płaska z siłami czynnymi, reakcjami oraz siłami normalnymi w prętach
Z3/1.5. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony na
rysunku Z3/1.17. Natomiast aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 należy wykonać przekrój B-B
tak przedstawiony na rysunku Z3/1.17.
29,0 kN
25,0 kN
30,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
X
Y
20,0 kN
43,25 kN
40,75 kN
A
A
B
B
Rys. Z3/1.17. Przekroje A-A i B-B
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z3/1.18.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
11
25,0 kN
20,0 kN
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
5
6
9
10
14
15
1
2
4
3
5
X
Y
20,0 kN
43,25 kN
N
2
N
6
N
15
α
Rys. Z3/1.18. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 5. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy z
równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
M
5
=
N
6
⋅
3,0
−
25,0
⋅
6,0
43,25
⋅
2
⋅
6,0
−
20,0
⋅
3,0
=
0
.
(Z3/1.45)
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N
6
=−
103,0 kN
(Z3/1.46)
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z3/1.23).
Pręty numer 2 i 6 są do siebie równoległe więc siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z
równania sumy rzutów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej na oś pionową Y.
Równanie to ma postać
Y
=−
N
15
⋅
sin
−
25,0
43,25
=
0
.
(Z3/1.47)
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
N
15
=40,81 kN
(Z3/1.48)
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z3/1.22).
Aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 będziemy rozpatrywali równowagę prawej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z3/1.19.
Punktem Rittera dla pręta numer 3 jest węzeł numer 8. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy z
równania sumy momentów wszystkich sił działających na prawą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
M
8
=N
3
⋅3,0−40,75⋅6,0=0
.
(Z3/1.49)
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/1. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 1
12
30,0 kN
6,0
3,
0
[m]
3
4
7
8
12
13
16
17
8
10
7
9
40,75 kN
N
7
N
3
N
16
Rys. Z3/1.19. Siły działające na prawą część kratownicy płaskiej w przekroju B-B
N
3
=81,50 kN
(Z3/1.50)
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z3/1.31).
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline