Algebra liniowa 

1 

MB

 

 

Definicja 1 
Niech    będzie  przestrzenią  liniową  (wektorową)  nad 

, 

  układem wektorów  z 

przestrzeni  . Zbiór 

 

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu  , nazywa się powłoką liniową układu wektorów 

. 

Natomiast  układ  wektorów    rozpina  (generuje)  przestrzeo  ,  gdy  każdy  wektor 

  jest 

kombinacją liniową wektorów układu  . 

Definicja 2 
Układ wektorów   jest bazą przestrzeni wektorowej   jeżeli: 
1.  wektory układu   są liniowo niezależne, 
2.  układ   rozpina przestrzeo  . 
 
Twierdzenie 1 
Niech 

  będzie  macierzą,  której  kolumnami  są  wektory 

.  Układ  wektorów 

 jest bazą przestrzeni 

 

 gdy 

, (lub równoważnie 

). 

 
Twierdzenie 2 
Układ  wektorów    jest  bazą 

    jest  maksymalnym  układem  wektorów  liniowo  niezależnych  (ze 

względu na relację zawierania układów wektorów). 
 
Definicja 3 
Niech 

 będzie bazą przestrzeni liniowej   i niech 

. Współrzędnymi wektora 

 względem bazy   nazywamy układ 

 taki, że 

 

 
Współrzędne wektora   w bazie   zapisujemy: 

 

 
 
Definicja 4 
Niech 

  będą  ustalonymi  bazami  przestrzeni  liniowej  . 

Oznaczmy: 

 

wówczas macierz: 

 

Algebra liniowa 

2 

MB

 

 

jest macierzą przejścia z bazy 

 do bazy 

.  

 

*Innymi słowy – wyrażamy wektory starej bazy, jako kombinacje liniowe wektorów nowej bazy+ 
 
Definicja 5 
Baza standardowa – wektory są wektorami jednostkowymi: 

 

 
W bazie standardowej bardzo łatwo znaleźd współrzędne wektora. 
Łatwośd  znajdowania  współrzędnych  wektora  w  bazie  standardowej  można  wykorzystad  do 
znajdowania macierzy przejścia. Będziemy wykorzystywad następujący schemat: 

 

 

Oczywiście mamy 

 

 
Wniosek 
Niech 

  będzie  dowolnym  wektorem  przestrzeni  ,  a  macierz    macierzą  przejścia  z  bazy 

 do bazy 

. Wówczas zachodzi równośd: