KOD ZDAJĄCEGO
MMA-P1D1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Arkusz I
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
którą wypełnia egzaminator.
Życzymy powodzenia!
ARKUSZ I
STYCZEŃ
ROK 2003
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 40 punktów
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
(Wpisuje zdający przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkę
z kodem
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 1. (3 pkt)
Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się
. Oblicz wymiary tej
działki wiedząc, że różnią się one o 9
.
2
m
1540
m
Odpowiedź: ..................................................................................................................................
Zadanie 2. (4 pkt)
Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,
razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość
tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa
Kowalskich, miesięcznych wydatków.
wyżywienie
inne
(5%)
ubrania
(12%)
gaz i energia
(14%)
czynsz
(400 zł)
Korzystając z tych danych:
a) Oblicz, ile procent danej kwoty
stanowią miesięczne wydatki
państwa Kowalskich na
wyżywienie.
b) Oblicz, ile pieniędzy wydają
państwo Kowalscy w ciągu
miesiąca łącznie, na gaz i energię
oraz czynsz.
Odpowiedź: a) .............................................................................................................................
b)..............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
3
Zadanie 3. (3 pkt)
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby
2
10
27
+
, zapiszemy ją w postaci kwadratu
sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
( )
( )
(
)
2
5
2
5
2
2
5
2
5
2
2
10
25
2
10
27
2
2
2
+
=
+
=
+
⋅
⋅
+
=
+
+
=
+
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość
2
6
11
+
.
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Zadanie 4. (4 pkt)
Równanie postaci
9
160
9
5
−
⋅
=
F
C
( )
C
, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną
w stopniach Celsjusza
oraz Fahrenheita
(
.
)
F
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze 100
woda.
C
D
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa
liczbie stopni w skali Fahrenheita.
Odpowiedź: a) ............................................................................................................................
b) ............................................................................................................................
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi
bokami ma miarę 120 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
D
Odpowiedź: ..................................................................................................................................
Zadanie 6. (5 pkt)
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować
litra płynu. Mamy do
wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach:
pierwsza – o średnicy
i wysokości
, druga – o średnicy
i wysokości
oraz trzecia – o średnicy
6
i wysokości
9
.
25
,
0
cm
6
cm
10
cm
8
,
5
cm
5
,
9
cm
cm
Której szklanki objętość jest najbliższa
litra? Odpowiedź uzasadnij.
25
,
0
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
5
0
Zadanie 7. (6 pkt)
Funkcja
jest określona wzorem:
.
R
R
f
→
:
12
6
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
a) Rozwiąż nierówność
.
19
)
(
>
−
x
f
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji , w symetrii względem prostej o równaniu
,
f
6
=
x
nie jest parabola, określona równaniem
.
(
)
6
9
2
+
−
= x
y
Odpowiedź: a) ............................................................................................................................
6
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 8. (3 pkt)
Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki
trójkąta równobocznego.
Odpowiedź: .................................................................................................................................
Zadanie 9. (3 pkt)
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów
wewnętrznych równa się 2.
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
7
Zadanie 10. (5 pkt)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego
ciągu rosnącego.
a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź: a) ............................................................................................................................
b) ............................................................................................................................
c) ............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz I – Poziom podstawowy – styczeń 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ
ARKUSZ I – POZIOM PODSTAWOWY
Nr
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Maksymalna
liczba punktów
za dany etap
1. Zapisanie równania, wynikającego z treści zadania,
np.:
, gdzie i
są długościami boków prostokąta.
1540
)
9
(
=
+
⋅ x
x
x
9
+
x
1p.
2. Przekształcenie równania do postaci
i rozwiązanie
tego równania.
0
1540
9
2
=
−
+ x
x
1p.
1.
(3 pkt)
3. Wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie
wymiarów działki: 35 oraz 44 .
m
m
1p.
4. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
przeznaczona na czynsz –
złotych: 12
.
400
%
5
,
1p.
5. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
przeznaczona na wyżywienie: 56
.
%
5
,
1p.
6. Obliczenie kwoty pieniędzy, jaką państwo Kowalscy wydają
miesięcznie na gaz i energię:
złotych.
448
1p.
2.
(4 pkt)
7. Obliczenie łącznej kwoty, jaką państwo Kowalscy wydają miesięcznie
na gaz i energię oraz czynsz: 848 złotych.
1p.
8. Zapisanie liczby
2
6
11
+
w postaci
2
2
6
9
+
+
.
1p.
9. Zapisanie liczby
2
2
6
9
+
+
w postaci
2
2
)
2
(
2
3
2
)
3
(
+
⋅
⋅
+
.
1p.
3.
(3 pkt)
10. Zapisanie liczby
2
2
)
2
(
2
3
2
)
3
(
+
⋅
⋅
+
w postaci
2
)
2
3
( +
, a w
konsekwencji w postaci uproszczonej:
2
3
+
.
1p.
11. Wstawienie wartości
C
do danego równania.
100
=
1p.
12. Rozwiązanie równania z niewiadomą :
.
F
212
=
F
1p.
13. Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.
9
160
9
5
−
⋅
=
F
F
.
1p.
4.
(4 pkt)
14. Rozwiązanie równania:
(lub C
).
40
−
=
F
40
−
=
1p.
15. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do obliczenia długości trzeciego
boku danego trójkąta np.
−
⋅
⋅
⋅
−
+
=
2
1
8
12
2
8
12
2
2
2
a
.
1p.
16. Obliczenie długości trzeciego boku:
19
4
=
a
cm .
1p.
17. Wykorzystanie np. twierdzenia sinusów do obliczenia długości
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i zapisanie, że:
2 .
sin120
a
R
=
D
1p.
5.
(4 pkt)
18. Obliczenie długości promienia:
3
57
4
=
R
cm .
1p.
Strona 1 z 2
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz I – Poziom podstawowy – styczeń 2003 r.
19. Obliczenie objętości pierwszej szklanki: V
.
3
2
1
6
,
282
10
3
cm
≈
⋅
⋅
= π
1p.
20. Obliczenie objętości drugiej szklanki: V
c
( )
2
3
2
2,9
9,5 250,9
π
= ⋅
⋅
≈
m
1p.
21. Obliczenie objętości trzeciej szklanki: V
.
3
2
3
3
,
254
9
3
cm
≈
⋅
⋅
= π
1p.
22. Zamiana jednostek objętości: np.
.
3
250
25
,
0
cm
l
=
1p.
6.
(5 pkt)
23. Wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa
.
0, 25l
1p.
24. Zapisanie podanej nierówności w postaci:
i obliczenie
wyróżnika trójmianu:
.
0
7
6
2
>
−
− x
x
64
=
∆
1p.
25. Obliczenie pierwiastków trójmianu:
lub
1
−
=
x
7
=
x
1p.
26. Zapisanie zbioru rozwiązań danej nierówności:
.
(
) (
∞
∪
−
∞
−
∈
;
7
1
;
x
)
1p.
27. Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem
funkcji :
W
.
f
)
3
,
3
(
1p.
28. Wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu
do
odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: W
.
(
)
6
9
2
+
−
= x
y
6
,
9
(
1
)
1p.
7.
(6 pkt)
29. Zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu
nie jest
wykres funkcji
ponieważ: np. obrazem punktu W w danej
symetrii jest punkt W
.
12
6
2
+
−
=
x
x
y
(
)
6
9
2
+
−
= x
y
)
3
,
9
(
'
1p.
30. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego
doświadczenia:
56
3
8
=
=
Ω
.
1p.
31. Podanie liczby zdarzeń sprzyjających:
8
=
A
.
1p.
8.
(3 pkt)
32. Obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:
7
1
)
(
=
A
P
.
1p.
33. Zapisanie sumy kwadratów sinusów miar wszystkich kątów
wewnętrznych danego trójkąta np. sin
(1).
D
90
sin
sin
2
2
2
+
+
β
α
1p.
34. Przekształcenie wyrażenia (1) do postaci:
.
1
cos
sin
2
2
+
+
α
α
1p.
9.
(3 pkt)
35. Wykorzystanie równości:
sin
do uzyskania tezy
twierdzenia.
1
cos
2
2
=
+
α
α
1p.
36. Zauważenie, że pierwszy wyraz ciągu jest równy1 , zaś różnica równa
się 6 .
2
1p.
37. Zapisanie wzoru na n
wyrazu tego ciągu:
.
ty
−
6
+
6
6
)
1
(
12
=
⋅
−
+
=
n
n
a
n
1p.
38. Wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez 6: 96.
1p.
39. Rozwiązanie równania liniowego: 6
.
96
6
=
+
n
⇒
15
=
n
1p.
10.
(5 pkt)
40. Obliczenie sumy:
810
15
2
96
12
15
=
⋅
+
=
S
.
1p.
Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej
w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Strona 2 z 2