1
ZASADY FUNDAMENTOWANIA OBRABIAREK
Obliczanie amortyzatorów
Zastosowanie amortyzatorów w układzie obiekt izolowany - fundament - podłoŜe pociąga
za sobą zmianę parametrów dynamicznych tego układu w stosunku do układu nie
izolowanego. Obliczanie izolacji drganiowej polega na:
1) doborze podstawowych parametrów, określających efektywność izolacji, do których
naleŜą:
- masa względnie moment bezwładności układu drgającego,
- współczynnik sztywności amortyzatora,
- tłumienie amortyzatora;
2) określenie wymiarów i kształtu amortyzatora,
3) określeniu:
- wartości amplitud przemieszczeń drgań wymuszonych obrabiarki izolowanej oraz
wartości sił przekazywanych na podłoŜe w przypadku izolacji drganiowej czynnej,
- częstości skrętnych drgań własnych izolowanego obiektu, jeśli drgania te istnieją.
Uwaga: W dalszym ciągu często będzie się uŜywać określenia częstości drgań wyraŜonej
nie, jak dotychczas, w [rad/s], lecz w hercach [Hz], mianowicie częstość drgań własnych
obiektu izolowanego f
o
i częstość wymuszeń f. Związki między nimi określone są przez
zaleŜność:
π
ω
2
=
f
(4.19)
Zakładając efektywność izolacji
µ
, przy spełnieniu warunku
µ
≤
1/15 przy ξ = 0 oraz z
zaleŜności (4.13) i (4.14) otrzymamy:
µ
µ
α
+
=
1
(4.20)
Następnie określa się wymaganą część drgań własnych obiektu izolowanego p przy
zadanej częstości wymuszeń
ω
z zaleŜności
p
ω
α
=
:
α
ω
=
p
(4.21)
Wtedy konieczną wielkość sztywności ogólnej (zastępczej) C
z
wszystkich amortyzatorów
wyznacza się na podstawie zaleŜności:
2
p
m
C
z
⋅
=
(4.22)
Wielkość potrzebnego współczynnika tłumienia drgań
µ
amortyzatorów moŜna określić
z wykresu na Rys.4.5.
Rys.4.12. Schematy umieszczania amortyzatorów względem obrabiarki i fundamentu.
Amortyzatory spręŜynowe moŜna stosować w zaleŜności od współczynnika oporu
niespręŜystego
γ
. On z kolei zaleŜy stosunku przyspieszenia kątowego elementów
obrotowych maszyny
ε
do kwadratu częstości jej drgań własnych f
0
(
2
0
f
ε
)
oraz w
zaleŜności od wymaganego stosunku maksymalnej amplitudy drgań maszyny przy jej
rozruchu lub hamowaniu A
max
do amplitudy drgań maszyny w ruchu ustalonym A
(
A
A
max
) - Rys.4.12. Gdy
γ
≤
0,03
, to moŜna stosować amortyzatory spręŜynowe.
Natomiast jeśli
γ
>
0,03 ,
to koniecznie naleŜy stosować amortyzatory gumowe,
względnie gumowo-spręŜynowe.
W przypadku wymuszeń bodących wynikiem ruchu nie wywaŜonych elementów
maszyny amplitudę siły wymuszającej obliczamy z zaleŜności (4.8).
Obliczanie spręŜyn śrubowych amortyzatorów
2
Uwaga: PoniŜsze obliczenia dotyczą spręŜyn wykonanych z drutu o przekroju kołowrym
poddanym obciąŜeniu pionowemu.
1. Częstość siły wymuszającej:
[ ]
Hz
n
f
60
=
(4.23)
gdzie n - liczba obrotów (cykli) maszyny na minutę.
2. Częstość kołowa siły wymuszającej:
⋅
⋅
=
s
f
1
2
π
ω
(4.24)
3. Masa obiektu izolowanego będąca sumą mas izolowanej maszyny m
m
i
ewentualnie fundamentu m
t
:
[ ]
kg
m
m
m
t
m
+
=
(4.25)
4. Amplituda drgań pionowych obiektu izolowanego:
[ ]
m
m
F
A
2
0
ω
⋅
=
(4.26)
F
0
- amplituda siły wymuszającej [N].
5. Częstość kołowa drgań własnych obiektu izolowanego:
=
s
p
1
α
ω
(4.27)
gdzie
α
≥ 4 .
6. Sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów:
⋅
=
m
N
p
m
C
z
2
(4.28)
7. Sztywność jednej spręŜyny:
=
m
N
w
C
C
z
,
(4.29)
w - liczba spręŜyn dobrana w zaleŜności od moŜliwości ich rozmieszczenia i ustawienia.
8. ObciąŜenie statyczne na jedną spręŜynę:
[ ]
N
n
Q
F
st
=
(4.30)
9. ObciąŜenie dynamiczne przekazywane na jedną spręŜynę w ruchu ustalonym
izolowanej maszyny:
[ ]
N
C
A
F
⋅
=
dyn
(4.31)
10. ObciąŜenie obliczeniowe na jedną spręŜynę:
[ ]
N
F
F
F
dyn
st
obl
5
,
1
⋅
+
=
(4.32)
11. Wskaźnik spręŜyny:
d
D
z
=
(4.33)
wskaźnik spręŜyny przyjmuje się w granicach 4 ÷ 10.
D - średnica nawinięcia spręŜyny,
d - średnica druta spręŜyny.
12. Dopuszczalne napręŜenie styczne materiału spręŜyny:
=
2
0
m
N
k
s
τ
τ
(4.34)
τ
s
- granica plastyczności na ścinanie,
k
o
- współczynnik bezpieczeństwa, przyjmowany w granicach 1,5 ÷ 2,0 .
13. Średnica drutu spręŜyny:
[ ]
m
τ
z
F
k
,
d
obl
⋅
⋅
=
6
1
(4.35)
k - współczynnik określony z wykresu na Rys.4.13.
3
Rys.4.13. Przebieg wartości współczynnika k w funkcji wskaźnika spręŜyny
d
D
z
=
.
14. Średnica nawinięcia spręŜyny:
[ ]
m
d
z
D
⋅
=
(4.36)
15. Liczba pracujących zwojów spręŜyny:
3
8
z
C
d
G
i
⋅
⋅
=
(4.37)
G - moduł spręŜystości przy skręcaniu.
16. Liczba wszystkich zwojów spręŜyny:
2
1
i
i
i
+
=
(4.38)
i
2
- liczba nie pracujących zwojów spręŜyny: dla i < 7 i
2
= 1,5, dla i > 7 i
2
= 2,5.
17. Skok spręŜyny:
(
)
[ ]
m
D
h
5
,
0
25
,
0
÷
=
(4.39)
18. Wysokość nie obciąŜonej spręŜyny:
(
)
[ ]
m
d
i
h
i
H
5
,
0
2
0
−
+
⋅
=
(4.40)
Dla spręŜyn pracujących na ściskanie musi zachodzić:
2
0
≤
D
H
(4.41)
Obliczanie amortyzatorów z jednakowymi spręŜynami o zadanych wymiarach
1. Sztywność jednej spręŜyny:
⋅
⋅
⋅
=
m
N
i
z
d
G
C
3
8
(4.42)
G - moduł spręŜystości na skręcanie,
d - średnica drutu spręŜyny,
d
D
z
=
- wskaźnik spręŜyny,
i - liczba pracujących zwojów spręŜyny.
2. ObciąŜenie dynamiczne przypadające na jedną spręŜynę przy ustalonym ruchu
izolowanej maszyny:
[ ]
N
C
A
F
⋅
=
dyn
(4.43)
A - amplituda drgań izolowanej maszyny w jej ruchu ustalonym.
3. Maksymalne dopuszczalne obciąŜenie statyczne przypadające na jedną spręŜynę:
[ ]
N
F
D
K
d
F
dyn
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
5
,
1
8
3
st
τ
π
(4.44)
K - współczynnik określany z wykresu na Rys.4.13,
D - średnica nawinięcia spręŜyny,
τ
- dopuszczalne napręŜenie na skręcanie materiału spręŜyny
4. Liczba spręŜyn z warunku sztywności:
C
C
w
z
≤
(4.45)
C
z
- sztywność zastępcza wszystkich spręŜyn.
5. Liczba spręŜyn z warunku wytrzymałości:
st
F
Q
w
≥
(4.46)
Q - cięŜar izolowanego obiektu [N].
Obliczania amortyzatorów gumowych
1. Pole przekroju poprzecznego amortyzatorów gumowych:
[ ]
2
m
Q
S
σ
≥
(4.47)
Q [N] – obciąŜenie działające na wszystkie amortyzatory gumowe,
σ
- napręŜenie statyczne w gumie,
dla gumy o twardości Shore’a < 40:
σ
= (0,1
÷ 0,3) [MPa]
dla gumy o twardości Shore’a > 40:
σ
= (0,3
÷ 0,5) [MPa]
2. Sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów gumowych:
⋅
=
m
N
p
m
C
z
2
(4.48)
m - masa obiektu izolowanego,
α
ω
=
p
- częstość kołowa drgań własnych obiektu izolowanego.
3. Robocza wysokość amortyzatora:
4
[ ]
m
C
S
E
H
z
d
⋅
=
1
(4.49)
E
d
[N/m
2
] - dynamiczny moduł spręŜystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.
4. Sumaryczny przekrój poprzeczny:
a) dla amortyzatorów o przekroju kwadratowym:
[ ]
2
2
m
b
n
S
⋅
=
(4.50)
n – liczba amortyzatorów,
b [m] – bok kwadratu amortyzatora,
b) dla amortyzatorów o przekroju kołowym:
[ ]
2
2
785
.
0
m
D
n
S
⋅
⋅
≈
(4.51)
D - średnica amortyzatora o przekroju kołowym [m],
Rys.4.14. Przebieg wartości dynamicznego i statycznego modułu spręŜystości gumy w
funkcji twardości Shore’a
Uwaga: b lub D zaleca się dobierać przy warunku: H
1
≤ b (lub D) ≤ (1,5÷ 8) H
1
. Przy
szerokich amortyzatorach o małej wysokości (krępych) wysokość robocza będzie
stanowiła nieznaczną część pełnej wysokości H - dlatego amortyzator nawet z miękkiej
gumy będzie bardzo sztywny. Z tej przyczyny zaleca się stosować dla amortyzacji
rowkowane lub perforowane płyty gumowe.
5. Liczba amortyzatorów powinna się mieścić w granicach:
a) dla amortyzatorów o przekroju kwadratowym:
2
1
2
1
64
H
S
n
H
S
<
<
⋅
(4.52)
b) dla amortyzatorów o przekroju kołowym:
2
1
2
1
27
.
1
64
27
.
1
H
S
n
H
S
⋅
<
<
⋅
⋅
(4.53)
6. Pełna wysokość amortyzatora:
[ ]
m
D
b
D
b
H
H
)
(lub
)
2
.
1
125
.
0
(
8
)
(lub
1
÷
=
+
=
(4.54)
Obliczanie elementów gumowych przy zadanych ich wymiarach
1. Maksymalne obciąŜenie przypadające na jeden amortyzator gumowy:
[ ]
N
S
F
σ
⋅
=
1
st
(4.55)
1
S
[m
2
] - powierzchnia przekroju poprzecznego jednego amortyzatora,
σ
[N/m
2
] - obliczeniowe napręŜenie statyczne w gumie,
2. Robocza wysokość amortyzatora powinna się znajdować w przedziale:
[ ]
m
D
b
D
b
H
H
)
(lub
)
2
.
1
125
.
0
(
8
)
(lub
1
÷
=
−
=
(4.56)
3. Sztywność amortyzatora:
⋅
=
m
N
H
E
S
C
d
1
1
(4.57)
E
d
[N/m
2
] - dynamiczny moduł spręŜystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.
4. Liczba amortyzatorów:
a) z warunku sztywności:
C
C
n
z
≤
(4.58)
C
z
- sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów gumowych
b) z warunku wytrzymałości:
st
F
Q
n
≤
(4.59)
Q [N] - cięŜar obiektu izolowanego.
5
5. ObciąŜenie przypadające na jeden amortyzator:
[ ]
N
n
Q
Q
1
≤
(4.60)
6. Ugięcie statyczne amortyzatora:
[ ]
m
E
S
H
Q
st
⋅
⋅
=
1
1
1
st
λ
(4.61)
E
st
[N/m
2
] - statyczny moduł spręŜystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.
Obliczanie amortyzatorów kombinowanych gumowo - spręŜynowych
1. Sztywność wszystkich amortyzatorów spręŜynowych:
a)
przy równoległym połączeniu spręŜyn i elementów gumowych (Rys.4.6a):
−
=
m
N
C
C
C
zg
z
zs
(4.62)
b)
przy szeregowym połączeniu sprgŜyn i elementów gumowych (Rys.4.6b):
⋅
−
⋅
=
m
N
C
C
C
g
s
zg
z
zs
γ
γ
γ
(4.63)
C
z
[N/m] - sztywność zastępcza wszystkich (gumowych i spręŜynowych) amortyzatorów,
γ
- współczynnik tłumienia drgań amortyzatorów kombinowanych (określa się z wykresu
na rys.4.12),
γ
s
- współczynnik tłumienia drgań spręŜyny, dla spręŜyn stalowych przyjmuje się:
γ
s
=
0,01,
γ
g
- współczynnik tłumienia drgań gumy, dla amortyzatorów z duŜym tłumieniem
przyjmuje się:
γ
g
= 0,15 ÷ 0,20 .
2. Sztywność wszystkich amortyzatorów gumowych:
a) przy równoległym połączeniu spręŜyn stalowych i elementów gumowych (Rys.4.6a):
⋅
−
⋅
=
m
N
C
C
C
g
s
zs
z
zg
γ
γ
γ
(4.64)
b) przy szeregowym połączeniu spręŜyn stalowych i elementów gumowych
−
⋅
=
m
N
C
C
C
C
C
z
zs
zs
z
zg
(4.65)
3. ObciąŜenie statyczne przenoszone przez elementy gumowe:
[ ]
N
C
A
Q
zg
g
⋅
=
max
(4.66)
A
max
[m] - amplituda drgań maszyny przy jej rozruchu lub hamowaniu.
4. Wielkość obciąŜenia statycznego przenoszonego przez spręŜyny:
[ ]
N
Q
Q
Q
g
s
−
=
(4.67)
Q [N] - cięŜar izolowanego obiektu.
5. Wymiary jak i liczbę spręŜyn stalowych oraz elementów gumowych określa się wg
obliczonych wielkości C
zs
, Q
s
i C
zg
, Q
g
. W amortyzatorach kombinowanych spręŜyny
powinny być obliczane wytrzymałościowo z uwzględnieniem pełnego obciąŜenia
przypadającego na wszystkie amortyzatory (spręŜyny i elementy gumowe).
6. Wysokość elementów gumowych w amortyzatorach kombinowanych określona
obliczeniami z reguły jest mniejsza od wysokości spręŜyn i dlatego w takich
przypadkach elementy gumowe naleŜy ustawić na specjalnych podkładkach (rys.4.15).
Rys.4.15. Eliminowanie nierówności wysokości elementów gumowych i spręŜyn w
amortyzatorach
kombinowanych
przez
zastosowanie
specjalnych
podkładek.
[ ]
m
H
H
h
gumy
st
spr
st
g
s
_
_
λ
λ
+
−
−
=
(4.68)
H
g
- całkowita wysokość spręŜymy w stanie nie obciąŜonym,
Hg - całkowita wysokość elementu gumowego w stanie nie obciąŜonym,
λ
st_spr
- statyczne ugięcie spręŜyny pod obciąŜeniem Q
s
,
λ
st_gumy
- statyczne ugięcie gumy pod obciąŜeniem Q
g
.
Przykłady amortyzatorów
Typowy przykład amortyzatora spręŜynowego pokazuje Rys.4.16. Rama podstawy
maszyny lub płyta fundamentowa 1 opiera się na górnej części pokrywy amortyzatora
2. Jest ona połączona za pomocą śruby i unieruchomiona przeciwnakrętką.
6
Nacisk od maszyny przekazywany jest na spręŜyny za pośrednictwem śruby 3, która
opiera się na płytce stalowej 4. Płytka ta spoczywa na zespole spręŜyn 5 i jest z nimi
mechanicznie związana. Górna pokrywa amortyzatora jest oddzielona. Dalsze
przykłady amortyzatorów spręŜynowych są pokazane na Rys.4.17 i 18, przy czym
amortyzator z Rys.4.18 jest wyposaŜony w gumowe wkładki tłumiące drgania.
Przykłady podkładek, płyt i dywanów gumowych podano na Rys.4.19.
Na Rys.4.20 przedstawiona jest szczegółowa budowa amortyzatora gumowo-
metalowego. Zasada jogo pracy polega na wykorzystaniu właściwości gumy, która przy
ś
ciekaniu deformuje się wskutek zmiany kształtu, a nie objętości. Przy działaniu siły
pionowej pole obciąŜonej powierzchni jest równe sumie pól górnej i dolnej podstawy
elementu gumowego, zewnętrznej powierzchni rowków
∆
1
i
∆
2
oraz wewnętrznej
powierzchni elementu gumowego. Wtedy sztywność amortyzatora jest najmniejsza.
Przy zwiększaniu obciąŜania następuje wypychanie gumy w kierunku powierzchni
swobodnych, które przez to maleją, a sztywność amortyzatora wzrasta. Przez zmianę
szerokości rowków
∆
1
i
∆
2
moŜna w szerokich granicach zmieniać sztywność
amortyzatora w kierunku pionowym. Aby móc nastawiać wielkość współczynnika
sztywności w płaszczyźnie poziomej, w amortyzator wbudowano Ŝebro usztywniające
5, którego zmiana wysokości powoduje zmianę podatności gumy w tej płaszczyźnie.
Rys.4.16.Typowy przykład amortyzatora spręŜynowego
Rys.4.17. Przykład amortyzatora spręŜynowego.
Rys.4.18. Przykład amortyzatora spręŜynowego wyposaŜonego w gumowe wkładki
tłumiące drgania.
7
Rys.4.19. Przykłady podkładek, płyt i dywanów gumowych
Rys.4.20. Szczegółowa budowa przykładowego amortyzatora gumowo-metalowego.
8
Przebieg ćwiczenia i zadania do wykonania
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie obciąŜeń statycznych w podporach i
zaprojektowanie układu amortyzatorów biernej izolacji drganiowej.
Zadania do wykonania:
1.
Dla wskazanej obrabiarki zbudować model rozkładu mas jej części (silnik,
przekładnie, głowice, obudowa itp.) i ich środków cięŜkości względem
przyjętego ogólnego układu współrzędnych. Poszczególnym częściom przypisać
proste bryły. Model zbudować z 5-ciu do 10-ciu części – mas Q
i
, których suma
mas będzie się zgadzała z całkowitą masą maszyny Q
c
.
2.
Wykonać rysunek modelu rozkładu mas części i ich środków cięŜkości w 3
rzutach. Na rysunku zaznaczyć początek przyjętego ogólnego układu
współrzędnych.
3.
W tabeli przedstawić dane dla poszczególnych części obrabiarki: nazwa, masa,
współrzędne x
i
, y
i
, z
i
środka cięŜkości:
nazwa
masa [kg]
x
i
[m]
y
i
[m]
z
i
[m]
silnik
…
…
…
…
przekładnia
…
…
…
…
…
…
…
…
…
4.
Wyznaczyć współrzędne środka cięŜkości x
c
, y
c
, z
c
całej obrabiarki ze wzorów:
c
n
n
c
Q
x
Q
x
Q
x
Q
x
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
...
2
2
1
1
,
c
n
n
c
Q
y
Q
y
Q
y
Q
y
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
...
2
2
1
1
,
c
n
n
c
Q
z
Q
z
Q
z
Q
z
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
...
2
2
1
1
i przyjąć względem niego nowy - centralny układ współrzędnych. Określić
odległości punktów podparcia obrabiarki od niego dla całej obrabiarki w 3
rzutach.
5.
W tabeli przedstawić dane dla poszczególnych punktów podparcia obrabiarki: nr,
współrzędną x
pi
, y
pi
, z
pi
w nowym - centralnym układzie współrzędnych.
nr punktu podparcia
x
pi
[m]
y
pi
[m]
z
pi
[m]
1
…
…
…
...
…
…
…
6.
Z układu równań sił i momentów wyznaczyć obciąŜenie statyczne R
i
przypadające na poszczególne punkty podparcia obrabiarki wynikające z
rozkładu mas obrabiarki – przyjąć symetryczne połoŜenie min 2 podpór -> 3
niewiadome:
n
c
z
R
R
R
Q
F
+
+
=
∑
...
:
2
1
,
n
n
x
c
x
R
x
R
x
R
M
p
p2
2
p1
1
...
0
:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
∑
,
n
n
y
c
y
R
y
R
y
R
M
p
p2
2
p1
1
...
0
:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
∑
,
n
n
z
c
z
R
z
R
z
R
M
p
p2
2
p1
1
...
0
:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
∑
.
7.
W zaleŜności od obciąŜenia dobrać układ i materiał izolacji drganiowej
8.
Przeprowadzić obliczenia i zaprojektować amortyzator. Wyniki obliczeń i
schemat amortyzatora przedstawić w tabeli 3-kolumnowej: Dane, Obliczenia
(lub schemat), Wyniki:
Dane:
Obliczenia (schemat)
Wyniki:
….
n = 4
b = 0,1 [m]
….
….
[ ]
2
2
m
b
n
S
⋅
=
….
…
S = 0,04 [m
2
]
….
9.
Wykonać rysunek złoŜeniowy zespołu zaprojektowanego amortyzatora.