12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

1

12.



12. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

 

Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między

powierzchniami ograniczającymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny
środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie
wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Cienkie czyli takie których jeden wymiar (wysokość, grubość)
jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych:

- 

h



1

10

wymiaru krótszego boku

- 

h



1
5

średnicy (dla płyt okrągłych).

Cienkie płyty spełniają hipotezy Kirchhoffa:

- płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,

-   punkty   płyty   położone   na   normalnej   do   płaszczyzny   środkowej   pozostają   na   niej   również   po
odkształceniu,(odcinek   prostopadły   do   nieodkształconej   powierzchni   środkowej   pozostaje
prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej),

Rys. 12.1

- naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są małe w porównaniu z pozostałymi

naprężeniami.



33

=

z

≪

x

,



y

(12.1)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

2

Rys. 12.2

Decydujące   są   przemieszczenia   pionowe   (prostopadłe   do   płaszczyzny   środkowej)   i   nimi   się

zajmiemy. Przyjmijmy założenie



33

=

z

0

i przedstawmy 

u

1, 

u

2, 

u

3

za pomocą jednej zmiennej w.

u

1 

=u=−u

3 



1

=−z 

1 

=−z

dw

dx

(12.2)

Analogicznie po kierunku osi y (prostopadle do kartki):

u

2

=v=−z 

2

=−z

dw

dy

(12.3)

u

3

=w

(12.4)

Szukamy przemieszczenia w. Jest ono na funkcję ugięcia płyty w=w(x,y). Odkształcenia 



11

=

x

=−z ∂

2 

w

∂ x

2

(12.5)



22

=

y

= ∂

v

∂ y

=−z ∂

2 

w

∂ y

2

(12.6)



12

=

xy

=

1
2



∂ u

∂ y

 ∂

r

∂ x



(12.7)



13

=

xz

=

1
2



∂ w

∂ x

 ∂

u

∂ z



(12.8)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

3

u

=−z

dw

dx

; ∂

u

∂ z

=−∂

w

∂ x

(12.9)



13

=

xz

=

1
2



∂ w

∂ x

− ∂

w

∂ x



=0

(12.10)

Analogicznie:



23

=

yz

=0

(12.11)



33

=

z

= ∂

w

∂ z

(12.12)

Ugięcie nie jest funkcją z ponieważ po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczają się tak samo.

w

≠ f  z

w

=w  x , z

zatem:

∂ w

∂ z

=0

(12.13)

więc:



z

=0

(12.14)

Jest to płaski stan naprężeń w związku z tym obowiązują następujące związki fizyczne:



x

=

1

E





x

−

y



(12.15)



y

=

1

E





y

−

x



(12.16)



xy

=

1



E



xy

(12.17)

Po wprowadzeniu wzorów (12.5),(12.6) i (12.7):



x

=

E

1

−

2 





x



y



= −

Ez

1

−

2



∂

2 

w

∂ x

2

 ∂

2 

w

∂ y

2



(12.18)



y

=

E

1

−

2 





y



x



= −

Ez

1

−

2



∂

2 

w

∂ y

2

 ∂

2 

w

∂ x

2



(12.19)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

4



xy

=

E

1

−

2



xy

=−

Ez

1



∂

2 

w

∂ x ∂ y

(12.20)

Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych). Równania równowagi:

∂

x

∂ x



∂

xy

∂ y



∂

xz

∂ z

=0

(12.21)

Równanie to nie jest spełnione. W związku z tym:

∂

xz

∂ z

≠0

(12.22)

Po podstawieniu σ i τ do równania równowagi otrzymujemy:

∂

xz

∂ z

=

Ez

1

−

2



∂

3 

w

∂ x

3

 ∂

3 

w

∂ x ∂ y

2





Ez

1



∂

3 

w

∂ x ∂ y

2

(12.23)

Analogicznie:

∂

xy

∂ x



∂

y

∂ y



∂

zy

∂ z

=0

(12.24)

∂

yz

∂ z

=

Ez

1

−

2



∂

3 

w

∂ y

3

 ∂

3 

w

∂ y ∂ x

2





Ez

1



∂

3 

w

∂ x

2  

∂ y

(12.25)

∂

xz

∂ x



∂

yz

∂ y



∂

z

∂ z

=0

(12.26)

W celu wyznaczenia  τ

zx  

całkujemy (12.23) po z i dodajemy warunki brzegowe:

z

=±

h
2

 

xz

=0

(12.27)



xz

= −

E

2



1

−

2





h

2

2

−z

2 





∂

3 

w

∂ x

3 

 ∂

3 

w

∂ x ∂ y

2 



(12.28)

Całkując po z równanie (12.25) i wykorzystując warunek brzegowy otrzymujemy równanie na  τ

yz :



yz

= −

E

2



1

−

2





h

2

2

−z

2 





∂

3 

w

∂ y

3 

 ∂

3 

w

∂ y ∂ x

2 



(12.29)

Po podstawieniu τ

zx   

oraz τ

yz    

do trzeciego równania równowagi, otrzymujemy wyrażenie określające

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

5

∂

z

∂ z

, następnie całkując obustronnie po z i uwzględniając warunki brzegowe:

- 

z

=

h

2

 

z

=0



z

=

−E

24



1

−

2





h

3 

−3 h

2 

z

4  z

3 





∂

4 

w

∂ x

4

2 ∂

4 

w

∂ x

2 

∂ y

2 

 ∂

4 

w

∂ y

4



(12.30)



z

=

−E

24



1

−

2





h

3

−3 h

2 

z

4 z

3 



∧

4 

w

(12.31)

- 

z

=−

h

z

 

z

=−P  x , y

∇

4 

w



x , y



= ∂

4 

w

∂ x

4

2 ∂

4 

w

∂ x

2 

∂ y

2

 ∂

4 

w

∂ y

2

=

P



x , y



D

(12.32)

Gdzie P(x,y) oznacza obciążenie zewnętrzne a D- sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)

D

=

Eh

3

12 



1

−

3 



(12.33)

Rozkład naprężeń na grubości płyty:

–

naprężenia istotne ( decydujące),

Rys. 12.3 Naprężenia decydujące 

–

naprężenia drugorzędna (tzn dostatecznie małe w porównaniu z naprężeniami podstawowymi σ

x

, σ

y

, τ

xy 

 i

mogą być pominięte przy obliczeniu odkształceń).

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

6

Rys. 12.4 Naprężenia pomijalne 

Siły wewnętrzne dla płyty wyrażają się wzorami:

M

x

=

∫

−h

2

h
2



x

zdz

=−D



∂

2 

w

∂ x

2

 ∂

2

∂ y

2



(12.34)

M

y

=

∫

−h

2

h
2



y

zdz

=−D



∂

2 

w

∂ y

2

 ∂

2

∂ x

2



(12.35)

Moment skręcający: 

M

xy

=M

yx

=

∫

−h

2

h
2



xy

zdz

=−



1

−



D ∂

2 

w

∂ x ∂ y

(12.36)

Siły mniej istotne:

Q

xz

=Q

x

=T

x

=

∫

−h

2

h
2



xz

dz

=−D



∂

3 

w

∂ x

3

 ∂

3 

w

∂ x ∂ y

2 



(12.37)

Q

yz

=Q

y

=T

y

=

∫

−h

2

h
2



yz

dz

=−D



∂

3 

w

∂ y

3

 ∂

3 

w

∂ y ∂ x

2 



(12.38)

Warunki brzegowe płyt prostokątnych.

Rozwiązanie  zadań w postaci  funkcji  ugięcia  w(x,y) jest  dostosowane  do spełnienia  tylko dwóch

warunków brzegowych:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

7

- brzeg całkowicie utwierdzony:

Rys 12.5

dla

{

x

=0

0

 yb

1.

w

0, y=0

2.

0, y=0   ∂

w

∂ x

∣

0, y

=0

(12.39)

dla

{

y

=0

0

xa

1.

w

 x ,0=0

2.

 x ,0=0   ∂

w

∂ y

∣

x ,0

=0

(12.40)

dla

{

x

=a

0

 yb

1.

w

a , y=0

2.

a , y=0   ∂

w

∂ x

∣

a , y

=0

(12.41)

dla

{

y

=b

0

xa

1.

w

 x ,b=0

2.

 x ,b=0   ∂

w

∂ y

∣

x ,b

=0

(12.42)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

a

b

x

y

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

8

-krawędź przegubowo podparta:

dla

{

y

=0

0

xa

1.

w

 x ,0=0

2.

M

y

 x ,b=0 

(12.44)

M

y

=−D



∂

2 

w

∂ y

2

 ∂

2 

w

∂ x

2



(12.45)

-brzeg utwierdzony



∂ w

∂ x



0, y

=0

(12.46)

M

xy

=M

yx

=−D1− ∂

2

w

∂ x ∂ y

(12.47)

 12.1. Brzeg swobodny

W wyniku przyjęcia hipotezy prostoliniowego elementu musimy warunki brzegowe wyrazić w postaci

dwóch tylko wielkości statycznych (w przypadku trzech warunków otrzymalibyśmy sprzeczność – zadanie
niewyznaczalne).   Dla   wyeliminowania   nadliczbowego   warunku   brzegowego   należy   trzy   wielkości   –
moment   zginający   i   skręcający   oraz   siłę   poprzeczną   sprowadzić   do   dwóch:   momentu   zginającego   i
zastępczej siły poprzecznej, która będzie wypadkową siły poprzecznej i siły od momentu skręcającego. W
tym celu zastąpimy brzegowy moment skręcający parami sił o ramionach dy rozmieszczonymi w sposób
ciągły i dodamy do sił poprzecznych działających w przekroju podporowym.

Rozpatrzmy brzeg płyty prostopadły do osi 0x i podzielmy go na równe, nieskończenie małe odcinki

dy.   Na   każdy  taki   odcinek   działa   odpowiedni   moment   skręcający   ,   który   możemy   zastąpić   parą   sił   o
ramieniu dy, zgodnie z tym co pokazano na rysunku:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

9

Rys. 12.5. Zamiana momentów skręcających na siły poprzeczne 

Zajmijmy się teraz ustaleniem warunków brzegowych dla rzutu płyty przedstawionego poniżej:

Rys.12.6. Rzut płyty

Po zsumowaniu przeciwnie skierowanych sił na granicy dwóch elementarnych odcinków otrzymamy

wypadkową 

Q

xz

=

∂ M

xy

∂ y

dy

(12.48)

Sumując   otrzymaną   siłę   z   siłą   poprzeczną   dostaniemy   zastępczą   siłę   poprzeczną   na   krawędzi

równoległej do osi 0y

Q

xz

∗

=Q

xz

Q

xz

(12.49)

Wykorzystując znane zależności

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

a

b

x

y

x=a

y=b

dy

dy

dy

M

xy

dy

M

xy

M

xy

+

jM

xy

jy

dy

(M

xy

+

jM

xy

jy

dy) dy

M

xy

+ 2

jM

xy

jy

dy

(M

xy

+ 

2

jM

xy

jy

dy) dy

x

z

y

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

10

M

xy

=−D1− ∂

2

w

∂ x ∂ y

(12.50)

Q

xz

=−D



∂

3

w

∂ x

3

 ∂

3

w

∂ x ∂ y

2



(12.51)

otrzymamy wzór na siłę zastępczą

Q

xz

∗

=Q

x

∗

=−D



∂

3

w

∂ x

3

 ∂

3

w

∂ x ∂ y

2



−D1− ∂

3

w

∂ x ∂ y

2

=−D

[

∂

3

w

∂ x

3

2− ∂

3

w

∂ x ∂ y

2

]

(12.52)

 Ostatecznie otrzymujemy dwa warunki brzegowe postaci

Q

x

∗

=−D

[

∂

3

w

∂ x

3

2− ∂

3

w

∂ x ∂ y

2

]

(12.53)

M

x

=0

(12.54)

12.2. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych

Rys.12.7. Płyta prostokątna z obciążeniem q(x,y)

Niech

w

=w  x , y

(12.55)

D

=

Eh

3

12

1−

2



(12.56)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

a

b

x

y

q(x,y)

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

11

Równanie ugięcia płyty przyjmuje postać

∂

4

w

∂ x

4

2 ∂

4

w

∂ x

2

∂ y

2

 ∂

4

w

∂ y

4

=

f

 x , y

D

(12.57)

W zadaniu tym posługujemy się rozwiązaniem Naviera

w

 x , y=

∑

m

=1

∞

∑

n

=1

∞

C

mn

sin

m



a

xsin

n



b

y

(12.58)

Znana funkcja przyjmuje postać:

q

 x , y=

∑

m

∑

n

p

mn

sin

m



a

xsin

n



b

y

(12.59)

Rozwinięcie znanej funkcji w szereg Fouriera przebiega w następujących etapach:

1)    mnożymy lewą i prawą stronę równości (12.59) przez 

sin

k



b

y

 i całkujemy w granicach (0,b)

2)    mnożymy lewą i prawą stronę przez 

sin

i



a

x

 i całkujemy w granicach (0,a)

Otrzymujemy

∫

0

a

∫

0

b

q

 x , y sin

k



b

y sin

i



a

xdxdy

=∗

(12.60)

przy czym

p

mn

=const

(12.61)

∫

0

a

sin

m



a

x sin

i



a

xdx

=

{

0 , m

≠i

a
2

, m

≠i

(12.62)

stąd

∗=

a
2

b
2

p

ik

(12.63)

Możemy także wyliczyć współczynnik rozwinięcia funkcji:

p

mn

=

4

ab

∫

0

a

∫

0

b

q

 x , y sin

m



a

x sin

n



b

ydxdy

(12.64)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

12

Zad.1.

Załóżmy, że q = const oraz

p

mn

=

16 q

ab

ab



2

mn

=

16 q



2

mn

(12.65)

Podstawiając   w(x)   w   postaci   rozwinięcia   do   lewej   strony   równania   opisującego   linię   ugięcia

otrzymamy postać

∑

m

∑

n

C

mn

[



4



m

2

a

2



n

2

b

2



]

sin

m



a

xsin

n



b

y

=

∑

m

∑

n

p

mn

sin

m



a

ysin

n



b

y

1

D

(12.66)

co prowadzi po uproszczeniu do równania

D

⋅C

mn

[



4



m

2

a

2



n

2

b

2



2

]

= p

mn

(12.67)

Dla obciążenia równomiernie rozłożonego niewiadoma wartość współczynnika rozwinięcia równa jest

C

mn

=

16 q



6

Dmn

[

m

2

a

2



n

2

b

2

]

2

(12.68)

Podstawiając rezultat do (12.58) otrzymamy

w

 x , y=

16 q



6

D

∑

m

=1

∞

∑

n

=1

∞

sin

m

 x
a

sin

n

 y

b

mn

[

m

2

a

2



n

2

b

2

]

2

(12.69)

Powyższy   ciąg   jest   szybkozbieżny,   daje   dobre   rezultaty   już   dla   jednego   wyrazu.   Obliczmy

maksymalne ugięcie kwadratowej płyty o boku równym a, przyjmując ν = 0,3:

w



a
2

,

a
2



=

4 qa

4



6

D

=0,0454

qa

4

E h

3

(12.70)

Wartość momentu wynosi

M

MAX

=0,048 qa

2

(12.71)

Dla   porównania:   gdyby   w   środku   płyty   wyciąć   belkę   o   szerokości   1m,   powyższe   wielkości

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

13

kształtowałyby się w następujący sposób:

w



a
2



=0,1563

qa

4

E h

3

(12.72)

M

y

=0,125 q a

2

(12.73)

12.3. Płyta obciążona polem

Rys.12.8. Płyta obciążona polem

Przyjmijmy, że obciążenie stałe q działa na polu (a

0

;b

0

). Wzór na współczynnik p

mn

 jest postaci

p

mn

=

∫

x

0

−

a

0

2

x

0



a

0

2

∫

y

0

−

b

0

2

y

0



b

0

2

q sin

m



a

x sin

n



b

y dxdy

(12.74)

stąd po scałkowaniu otrzymujemy

p

mn

=

16 q



2

mn

sin

m



a

x

0

sin

n



b

y

0

sin

m

 a

0

2 a

sin

n

b

0

2 b

(12.75)

Jeśli wymiary a

0

 i b

0

 dążą do zera, to otrzymamy obciążenie siłą skupioną

q

=

P

a

0

⋅b

0

(12.76)

Korzystając z rachunku granic oraz wiedząc, że

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

q

a

b

a

0

b

0

x

0

y

0

x

y

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

14

P

0 

a

0

0 

b

0

0

(12.77)

otrzymamy

p

mn

=

4 p

ab

sin

m

 x

0

a

sin

n

 y

0

b

(12.78)

Jeśli przyjmiemy, że a = b, x

0

 = y

0

 = 

a
2

, ν = 0,3 to dla takich wartości

w

max

=0,1121

Pa

3

E h

3

(12.79)

Dla porównania: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższa wielkość byłaby

następująca:

w

max

=0,25

Pa

3

E h

3

(12.80)

12.4. Płyta kołowa

Rys.12.9. Schemat płyty kołowej

Niech

w

=w r

(12.81)

Równanie ugięcia płyty jest postaci

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

a

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

15



d

2

dr

2



1

r

d

dr



d

2

w

dr

2



1

r

dw

dr



=

q

r

D

(12.82)

Rozwinięcie funkcji ugięcia w szereg wygląda następująco:

w

r=w

0

A

1

A

2

r

2

A

3

r

2

lnr

A

4

lnr

(12.83)

Poszczególne siły uogólnione opisane są wzorami:

M

r

=−D



d

2

w

dr

2





r

dw

dr



(12.84)

M



=−D





d

2

w

dr

2



1

r

dw

dr



(12.85)

Q

r

=−D

d

dr



∇

2

w



(12.86)

Z warunków brzegowych wiemy, że

w

r=a=0

(12.87)

M

r

r=a=0

(12.88)

Po podstawieniu warunków brzegowych otrzymujemy:

w

r=w

0

A

1

A

2

r

(12.89)

gdzie

w

0

=C r

4

(12.90)

A

1

=

5



1



qa

4

64 D

(12.91)

A

2

=−

3



1



qa

4

32 D

(12.92)

Ostatecznie wzór opisujący ugięcie płyty przyjmuje postać

w

r=

q

64 D

[

5



1



a

4

−2

3



1



a

2

r

2

r

4

]

(12.93)

Jeśli płyta ma brzeg utwierdzony to z warunków brzegowych

w

r=a=0

(12.94)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH

16

dw

dr

r=a=0

(12.95)

Co prowadzi do równania postaci

w

r=

q

64 D



a

2

−r

2



(12.96)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater