Klasyczny rachunek zdań
2.8. Rozumowania z wykorzystaniem koniunkcji
3.1. Podstawowe założenia i pojęcia
Klasyczny rachunek zdań
2.8. Rozumowania z wykorzystaniem koniunkcji
3.1. Podstawowe założenia i pojęcia
Słownik
25
Spis symboli
30
3
Wstęp
Zajmiemy się obecnie
klasycznym rachunkiem zdań
(w skrocie KRZ), który jest bazowym
rachunkiem logicznym.
Rachunki zdań
to f o r m a l n e s y s t e m y d e d u k c y j n e ,
w których analizuje się zależność wynikania jedynie od znaczenia spójników łączących
zdania, natomiast nie wnika się zupełnie w strukturę wewnętrzną zdań. Dlatego,
z punktu widzenia zastosowań, są to systemy dość słabe, np. poprawność prostych
rozumowań analizowanych w module 1 nie daje sie na ich gruncie uzasadnić. Są to
jednak systemy istotne, gdyż zasady poprawności ustalone na ich gruncie zachowują
swoją ważność również w systemach mocniejszych.
Wśród wielu znanych rachunków zdaniowych najprostszą logiką jest właśnie KRZ,
a jego znajomość to dziś podstawa wszelkiej edukacji logicznej. Jest to również
najstarszy system logiczny tego rodzaju, gdyż reguły, którymi będziemy się dalej
zajmowali, były już znane logikom stoickim w III w. p.n.e.
Kolejno omówimy język KRZ i sposoby jego wykorzystania do formalizowania zdań
złożonych w języku polskim. W temacie 2 poznamy szereg schematów reguł, które
pozwalają na niezawodne wnioskowanie (tj. od zdań prawdziwych do prawdziwych).
Następnie omówimy znaczenie spójników KRZ oraz ich stosunek do odpowiednich
zwrotów z języka polskiego. Temat 4 wprowadza formalnie definicję wynikania
w KRZ oraz pojęcie prawa logicznego, czyli tzw. tautologii. Na koniec podamy
przykłady analizy rozumowań przy użyciu metod KRZ.
4
1. Język KRZ
1.1. Słownik
Język KRZ jest bardzo prosty, gdyż jako jedyne stałe występują tutaj wybrane
spójniki, czyli funktory kategorii z/z lub z/z, z. Ponadto w grę wchodzą tylko
funktory ekstensjonalne i to te najbardziej popularne. Zestaw wybranych funktorów
może się zmieniać, my wyróżnimy tutaj pięć spójników, oznaczanych następującymi
symbolami:
— jednoargumentowy funktor
negacji
: ¬,
— dwuargumentowe funktory:
•
koniunkcji
:
∧,
•
alternatywy
:
∨,
•
implikacji
:
→,
•
równoważności
:
↔.
Intuicyjnie negacja ma odpowiadać zaprzeczeniu zdania, wyrażanemu w języku
polskim np. przez zwrot „nieprawda, że”, koniunkcja odpowiada polskiemu „i”,
alternatywa — „lub”, implikacja — „jeżeli..., to”, a równoważność — „wtedy i tylko
wtedy, gdy”.
1.2. Zdania
Argumentami tych spójników są dowolne zdania w sensie logicznym, w języku
KRZ reprezentowane przez
zmienne zdaniowe
. Zwyczajowo będziemy używać liter
p, q, r, s, t... jako zmiennych zdaniowych. W przypadku negacji stawiamy symbol
spójnika z lewej strony zdania, uzyskując, np. „¬p”, co czytamy „nieprawda, że
p” (lub „negacja p”). W pozostałych przypadkach łączymy dwa zdania, wstawiając
symbol spójnika pomiędzy jego argumenty, uzyskując: „p ∧ q”, „p ∨ q”, „p → q”,
„p ↔ q”. Uzyskane w rezultacie wzory odczytujemy: „p i q”, „p lub q”, „jeżeli p, to
q” i „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” (lub „koniunkcja p i q” itd.). Zdania zbudowane
z symboli tego języka sztucznego będziemy określać jako
formuły klasycznego rachunku
zdań
.
Nazw: „negacja”, „koniunkcja” itd. będziemy używać nie tylko jako określeń
wybranych przez nas spójników, ale również jako określenia formuł, których
dany spójnik jest główną stałą logiczną. Zdania łączone spójnikiem będziemy
nadal określać — w ogólnym przypadku — jako argumenty tego spójnika, jednak
w przypadku implikacji lewy argument będziemy nazywali p o p r z e d n i k i e m ,
a prawy — n a s t ę p n i k i e m implikacji, natomiast w przypadku równoważności
będziemy mówić o lewej i prawej stronie równoważności.
Oczywiście argumentami danego spójnika mogą być nie tylko zdania proste
reprezentowane przez zmienne, ale również formuły złożone, które zawierają
już stałe logiczne. Jeżeli w zdaniu mamy więcej spójników, to musimy za pomocą
nawiasów zaznaczyć, jaka jest ich hierarchia, tzn. który jest funktorem głównym
5
całego wyrażenia, a które są funktorami jego argumentów. Przykładowo formuła:
[p ∧ ¬(q ↔ r)] → ¬(s ∨ ¬q)
jest implikacją, której poprzednik to koniunkcja p i negacji równoważności
(q wtw r). Następnikiem jest negacja alternatywy złożonej z s i negacji q.
1.3. Poprawna formalizacja
Chcąc zastosować formalny aparat logiki do analizy rozumowań w języku naturalnym,
musimy dokonać stosownego przekładu, czyli dokonać operacji
formalizacji tekstu
w języku naturalnym. Niestety, nie jesteśmy w stanie podać precyzyjnych reguł,
które można stosować w sposób mechaniczny. Jest to niemożliwe z racji złożoności
języków naturalnych i ich wieloznaczności. Możemy podać jedynie szereg
wskazówek, które w zadowalającej (statystycznie) liczbie przypadków pozwalają na
poprawną formalizację.
Przez p o p r a w n ą f o r m a l i z a c j ę rozumiemy tutaj przekład, w którym zdanie
wyjściowe i otrzymana formuła mają takie same warunki prawdziwości. Należy
jednak pamiętać, że nie dysponujemy tu precyzyjnymi kryteriami oceny efektu
formalizacji — umiejętność formalizowania to duża sztuka i tylko trening czyni
mistrza.
Dysponując tekstem, np. rozumowania, musimy jedynie wyróżnić te wyrażenia,
które sygnalizują przesłanki i wnioski, oraz te, które odpowiadają wyróżnionym
przez nas w KRZ spójnikom. Pozostałe ciągi wyrażeń traktujemy jako zdania proste,
czyli przypisujemy im zmienne zdaniowe. Obowiązują tu dwie
zasady poprawności
:
— należy pamiętać, żeby różne wystąpienia tych samych zdań (lub różnych zdań, ale
wyrażających ten sam sąd logiczny), zastąpić taką samą zmienną zdaniową,
— do zdań wyrażających różne sądy logiczne bezwzględnie przypisujemy różne
zmienne.
Te pozornie proste wymogi w praktyce mogą przysporzyć wielu trudności, zwłaszcza
wtedy, gdy analizujemy cudze rozumowania. Różne zdania wyrażające ten sam sąd
logiczny mogą mieć bardzo odmienną strukturę, co przy nie dość dokładnej analizie
może prowadzić do błędnego przypisania im różnych zmiennych. Natomiast nawet
identycznie wyglądające zdania mogą czasem wyrażać inne sądy. Co więcej, często
mogą w tekście występować nie tylko zdania, ale ich skróty, które należy prawidłowo
rozwinąć do postaci zdań. Dlatego proces formalizacji musi być poprzedzony
dokładną analizą znaczenia zdań w tekście.
Jeżeli w jakimś przypadku nie jesteśmy w stanie definitywnie rozstrzygnąć, w jakim
znaczeniu są użyte pewne wyrażenia albo jaka jest struktura zdania złożonego, to
powinniśmy osobno rozważyć różne możliwe do otrzymania schematy. Wybierając
pomiędzy możliwymi wariantami, powinniśmy się kierować
zasadą życzliwej
interpretacji
, czyli wybierać takie rozumienie, które zagwarantuje poprawność
rozumowania (o ile jest to możliwe).
Dokonując formalizacji środkami KRZ, musimy też pamiętać, że zmienne zdaniowe
mogą odpowiadać nie tylko zdaniom prostym. Jest przecież wiele
spójników
intensjonalnych
, których nie jesteśmy w stanie wyróżnić, zatem zdania złożone
zbudowane z ich pomocą musimy potraktować jako zdania proste na gruncie KRZ,
czyli przydzielić im zmienną zdaniową. Rozważymy tu kolejno kilka problemów
związanych z negacją, koniunkcją, alternatywą i implikacją.
6
1.4. Negacja
Negacja jest w języku polskim reprezentowana na wiele różnych sposobów. Zwrot
„nieprawda, że”, który wybraliśmy jako formalny odpowiednik negacji, stosunkowo
rzadko pojawia się w mowie potocznej. Znacznie częściej spotykamy się ze słówkiem
„nie” zastosowanym w orzeczniku jako zaprzeczenie czasownika, czyli jako funktor
funktorotwórczy kategorii (z/n)/(z/n) (np. „Antek nie śpi”) lub (z/n, n)/(z/n, n)
(np. „Antek nie kocha Beaty”). Zazwyczaj zdania takie można potraktować jako
równoważne zdaniom zbudowanym z użyciem „nieprawda, że” („Nieprawda, że
Antek śpi”, „Nieprawda, że Antek kocha Beatę”).
Symbolu negacji można też użyć dla formalizacji wielu zdań, w których występują
rzeczowniki, przymiotniki lub przysłówki z prefiksem „nie” (np. „niesolidny”,
„niezręczny”, „niewinny”, „niepoprawnie”), ale znów trzeba zwracać uwagę na
szereg przypadków, w których możemy uzyskać efekt niepożądany. Przykładowo,
zdanie „Antek jest nieporadny” nie jest równoważne wyrażeniu „Nieprawda, że
Antek jest poradny”, gdyż to drugie w ogóle nie jest zdaniem języka polskiego. Inne
wyrażenia tego typu to: „niewola”, „nieboszczyk”, „nietakt”, „nieletni” itd. Zdania
z wyrażeniami tego typu mogą zresztą wcale nie wymagać wprowadzania negacji
przy formalizacji, np. „Pogoda jest niezmiennie dobra” zastąpimy po prostu zmienną
zdaniową.
Język polski ma jeszcze jedną własność specyficzną, która wymaga uwagi przy
przekładzie. Występowanie dwóch zwrotów przeczących w jednym zdaniu czasem
wymaga użycia dwóch symboli negacji, a czasem tylko jednego. Dotyczy to zwłaszcza
sytuacji, kiedy występują zwroty typu „niekiedy”, „nie zawsze”, „nigdy”, „nigdzie”,
„nie wszędzie” itd., gdzie występuje mniej lub bardziej ukryta kwantyfikacja.
Zdanie „Antek nigdzie nie znajdzie roboty” należy w związku z tym potraktować
jako równoważne zdaniu „Nieprawda, że Antek znajdzie gdzieś robotę”. „Antek
nie zawsze jest niesolidny” z pewnością nie oznacza „Antek zawsze jest solidny”
(co otrzymalibyśmy po mechanicznym zastosowaniu zasady eliminacji podwójnej
negacji), ale raczej „Antek czasem jest solidny”.
1.5. Koniunkcja
Symbol koniunkcji może w wielu przypadkach zastąpić takie wyrażenia, jak „i”,
„oraz”, „a”, „ale”, „lecz”. Trzeba jednak pamiętać, że powyższe wyrażenia nie
są w pełni synonimiczne, np. „a”, „ale” i „lecz” posiadają pewien sens służący
konfrontacji bądź przeciwstawieniu znaczenia swoich argumentów, którego „i” nie
posiada. Przykładowo, powiemy raczej: „Kowalski jest przystojny, ale bystry to nie
jest” niż „Kowalski jest przystojny i nie jest bystry”. Pomijając jednak ten n a d d a t e k
z n a c z e n i o w y słowa „ale” nad „i”, możemy uznać, że od strony ekstensjonalnej
zachowują się one tak samo.
Prawie każde z wyrażeń podanych wyżej może w języku naturalnym wystąpić
również jako funktor nazwotwórczy kategorii n/n, n, np.:
1.
Tadek jest zdolny, ale leniwy.
2.
Ania i Beata są zdolnymi studentkami.
W obu wypadkach można te zdania potraktować przy formalizacji jako zdania
złożone koniunkcyjnie o postaci:
3.
Tadek jest zdolny i Tadek jest leniwy.
7
4.
Ania jest zdolną studentką i Beata jest zdolną studentką.
Należy jednak uważać i nie stosować takiego zabiegu mechanicznie. Rozważmy
następujący przykład:
5.
Ania i Beata są dobrymi koleżankami.
Zdanie to wydaje się mieć taką samą strukturę jak zdanie 2., ale nie możemy go
potraktować jako koniunkcji o postaci „Ania jest dobrą koleżanką i Beata jest dobrą
koleżanką”, a najwyżej jako koniunkcję „Ania jest dobrą koleżanką Beaty i Beata
jest dobrą koleżanką Ani” W wielu analogicznych przypadkach wystarcza zresztą
pozostawienie takiego zdania jako zdania prostego, np. tak zrobimy ze zdaniem
„Ania i Marek są dobrym małżeństwem”.
1.6. Alternatywa
Symbol alternatywy odpowiada zasadniczo wyrażeniom „lub”, „albo”, „bądź”.
Trzeba jednak pamiętać, że w języku polskim używamy tych zwrotów w co najmniej
dwóch znaczeniach. Nasza alternatywa ∨ to tzw.
alternatywa słaba
(łączna), natomiast
w języku naturalnym często mamy do czynienia z tzw.
alternatywą mocną
(rozłączną).
Jest to również spójnik ekstensjonalny.
Pamiętajmy, że wyżej podane spójniki wyrażające alternatywę mogą też (podobnie jak
koniunkcja) występować jako funktory nazwotwórcze kategorii n/n, n, np. w zdaniu
„Wojtek zostanie policjantem lub strażakiem”. Zdanie tego rodzaju także można
przekształcić na zdania złożone z użyciem spójnika alternatywy, co da w efekcie
„Wojtek zostanie policjantem lub Wojtek zostanie strażakiem”.
1.7. Implikacja
Należy pamiętać, że „jeżeli..., to...” jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach
i w wielu przypadkach formalizacja tego zwrotu z pomocą → jest wręcz niewskazana,
bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Problem ten wyjaśnimy dokładniej
po zdefiniowaniu znaczenia implikacji. Odnośnie synonimicznych form wyrażania
implikacji warto zapamiętać, że (często) w tym samym znaczeniu używane są m.in.
następujące sformułowania:
— jeżeli p, to q,
— gdy p, to i q,
— p, tylko jeżeli q,
— q, jeżeli p,
— q, chyba że nie p,
— o ile p, to q,
— q, o ile p.
8
2. Niezawodne reguły
2.1. Reguły
KRZ jako precyzyjnie zdefiniowany system logiczny został utworzony stosunkowo
niedawno, bo dopiero na początku XX wieku. W szczególności sformułowano
wtedy jego semantykę. Jednak wybrane zasady rachunku zdań zostały odkryte
już w starożytności przez logików stoickich, a ich zasób znacznie poszerzono
w średniowieczu. Intuicyjnie wyodrębniono (i stosowano) szereg reguł dedukcji,
mimo braku semantyki, ktora pozwalałaby precyzyjnie sprawdzić ich poprawność.
Znajomość takich reguł jest przydatna również dzisiaj, pozwala bowiem na poziomie
niemal intuicyjnym dokonywać poprawnych wnioskowań. Pomaga również
w szybkiej ocenie poprawności rozumowań prezentowanych w argumentacji.
Poniżej przedstawimy wybrane schematy podstawowych reguł dedukcji, których
poprawność zależy od występowania odpowiednich spójników.
2.2.
Modus ponendo ponens
Często określany krótko jako modus ponens lub reguła odrywania. Jest to schemat
rozumowania o postaci:
p → q, p / q
Pozwala on na wydedukowanie z dwóch przesłanek — z których jedna ma postać
implikacji, a druga jest jej poprzednikiem — następnika tej implikacji jako wniosku.
Przykładowo ze zdań: „Jeżeli Jurek odebrał wypłatę, to poszedł do pubu” i „Jurek
odebrał wypłatę” możemy wydedukować, że Jurek istotnie poszedł do pubu.
Warto zauważyć, że zarówno reguła modus ponens, jak i inne podane dalej, mogą
być stosowane również do zdań o bardziej złożonej strukturze. Weźmy pod uwagę
poniższe rozumowanie:
Jeżeli Romek nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od
Kazika, to pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji. Romek wprawdzie
nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od Kazika. Zatem
pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji.
Ma ono następujący schemat:
[¬p ∧ (q ∨ r)] → (s ∨ t), ¬p ∧ (q ∨ r) / s ∨ t
Jednak łatwo zauważyć, że bez względu na stopień złożoności, przebiega ono również
zgodnie ze schematem modus ponens.
9
2.3.
Modus tolendo tollens
Często określany krótko jako modus tollens ma następujący schemat:
p → q, ¬q / ¬p
Według tego schematu przebiega na przykład rozumowanie:
Jeżeli Beata jest pilną studentką, to oddała już indeks do dziekanatu. Nie oddała.
Zatem nie jest pilną studentką.
2.4.
Modus tolendo ponens
Rozumowanie to ma schemat następujący:
p ∨ q, ¬p / q
lub p ∨ q, ¬q / p
W rozumowaniu takim — mając alternatywę i zaprzeczenie jej dowolnego argumentu
jako przesłanki — możemy wydedukować drugi człon tej alternatywy jako wniosek.
Rozumowanie to określane jest czasem jako tzw. psi sylogizm, gdyż stoicki logik
Chryzyp odwoływał się do niego jako przykładu na uzasadnienie przekonania, że
psy również przeprowadzają rozumowania. Podobno pies Chryzypa, zatrzymawszy
się na rozstajach w pościgu za lisem, powąchał przy jednej ścieżce, a kiedy nie poczuł
tam śladu, to bez wahania ruszył w pościg drugą ścieżką. Miałoby to stanowić
przykład bezwiednego zastosowania rozważanego tu schematu.
2.5. Sylogizm hipotetyczny
W najprostszej postaci wygląda następująco:
p → q, q → r / p → r
Może jednak składać się ze znacznie większej liczby przesłanek, np.:
p → q, q → r , r → s, s → t, t → w / p → w
Istotne dla sylogizmu hipotetycznego jest to, że we wniosku otrzymujemy implikację,
która łączy poprzednik pierwszej przesłanki z następnikiem ostatniej, natomiast
przesłanki tworzą łańcuch implikacji dowolnej długości.
Przykład:
Jeżeli Bolek spotka Kazika, to pójdą razem na piwo. Jeżeli pójdą na piwo,
to Bolek znów przepuści wszystkie pieniądze. Zatem Bolek znów przepuści
wszystkie pieniądze, jeśli spotka Kazika.
10
2.6. Dylematy konstrukcyjne
Są to rozumowania, w których jedna z przesłanek ma postać alternatywy, a ponadto
występują przesłanki implikacyjne, których poprzedniki są argumentami tej
alternatywy. Dwa najpopularniejsze warianty to dylemat konstrukcyjny prosty
i złożony o schematach:
p ∨ q, p → r, q → r / r i
p ∨ q, p → r, q → s / r ∨ s
Jeżeli przyjmiemy, że alternatywa może mieć więcej członów, to możemy otrzymać
uogólnione warianty dylematów, np. dylemat prosty z alternatywą czteroczłonową
ma postać:
p ∨ q ∨ r ∨ s, p → t, q → t, r → t, s → t / t
Zauważmy, że omówione tu schematy rozumowań są często wykorzystywane np.
w dowodach matematycznych jako tzw. rozumowania przez rozważenie przypadków.
Historycznie interesującego przykładu zastosowania obu dylematów dostarczają dwa
rozumowania przypisywane kalifowi Omarowi:
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zgodne z Koranem lub nie. Jeżeli są zgodne
z Koranem, to są zbędne. Jeżeli są niezgodne z Koranem, to są szkodliwe. Zatem są
zbędne lub szkodliwe.
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zbędne lub szkodliwe. Jeżeli są zbędne, to
należy je spalić. Jeżeli są szkodliwe, to tym bardziej należy je spalić. A więc trzeba
je spalić.
2.7. Dylematy destrukcyjne
Jest to typ rozumowań, który tak się ma do rozważanych wyżej dylematów
konstrukcyjnych, jak
modus tollens do modus ponens. Forma prosta i złożona mają
postać:
¬p ∨ ¬q, r → p, r → q / ¬r i ¬p ∨ ¬q, r → p, s → q / ¬r ∨ ¬s
Pominiemy podawanie przykładów rozumowań przeprowadzanych według
powyższych przykładów.
2.8. Rozumowania z wykorzystaniem koniunkcji
Na zakończenie podamy kilka schematów rozumowań opartych o własności
koniunkcji.
p ∧ q / p
lub p ∧ q / q
p, q / p ∧ q
lub
p, q / q ∧ p
p → q, p → r / p → q ∧ r
11
Przykładowo, ze zdania „Adam jest inteligentny i bogaty” możemy poprawnie
wywnioskować (zgodnie z pierwszym schematem), że „Adam jest inteligentny”. Ze
zdań: „Alicja jest wysoka”, „Alicja jest blondynką” możemy (przez drugi schemat)
wydedukować, że „Alicja jest wysoką blondynką”. Zauważmy, że w podanym
wniosku spójnik „i” w ogóle nie występuje ani jako funktor zdaniotwórczy, ani
nazwotwórczy. Jest to możliwe dlatego, że w pierwszej przesłance występuje
samodzielnie przymiotnik, który we wniosku można potraktować jako funktor
nazwotwórczy. Gdyby pierwsza przesłanka brzmiała np. „Alicja jest studentką”,
to we wniosku musiałby wystąpić odpowiedni funktor („Alicja jest studentką
i blondynką”).
To tylko kilka wybranych przykładów schematów rozumowań, które gwarantują
niezawodność wnioskowania.
12
3. Semantyka
3.1. Podstawowe założenia i pojęcia
Wprowadziliśmy wcześniej pewien sposób rozumienia dla wyróżnionych przez nas
spójników KRZ, przypisując im odpowiedniki w języku polskim. Zgodnie z nim np.
implikację należy traktować jako spójnik odpowiadający polskiemu „jeżeli..., to”.
Trudno uznać taki zabieg za semantykę języka KRZ, biorąc pod uwagę wieloznaczność
odpowiednich zwrotów z języka polskiego. Kwestią stosunku spójników KRZ do
odpowiednich wyrażeń języka polskiego zajmiemy się poniżej. Najpierw jednak
wprowadzimy w bardziej precyzyjny sposób interpretację wybranych przez nas
stałych logicznych.
Semantyka KRZ jest e k s t e n s j o n a l n a , co oznacza, że pod uwagę nie będziemy brali
sądów logicznych wyrażanych przez dane zdanie, a tylko wartość logiczną, jaką ono
posiada. Przypomnijmy też, że KRZ jest oparte o z a s a d ę d w u w a r t o ś c i o w o ś c i ,
co oznacza, iż o każdym zdaniu zakładamy, że przy dowolnej interpretacji ma
ustaloną jedną (i zgodnie z zasadą niesprzeczności — tylko jedną) z dwóch wartości
logicznych. Prawdę będziemy odtąd oznaczać symbolem 1, a fałsz symbolem 0.
Podstawowym pojęciem naszej semantyki jest pojęcie
wartościowania
, zdefiniowane
następująco:
Wartościowaniem nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru wszystkich
zmiennych zdaniowych w zbiór {1, 0}.
Technicznie jest to zatem f u n k c j a , która każdej zmiennej przypisuje bądź 1,
bądź 0. Istnieje nieskończenie wiele różnych wartościowań, dlatego będziemy
w konkretnych przykładach rozróżniać je, pisząc np. V1, V2, ... Wartość danej
formuły przy pewnym wartościowaniu będziemy zapisywać następująco:
V1(p) = 1, V2(q) = 0. W przypadku, gdy będziemy używać ustalonego w danym
kontekście wartościowania, uprościmy zapis, pisząc po prostu: p = 1, q = 0 itd.
3.2. Definicje spójników
Aby oceniać wartość logiczną formuł złożonych, musimy ustalić jakiś sposób
poszerzania wartościowań. Ponieważ ograniczyliśmy się do spójników
ekstensjonalnych, więc można to zrobić, definiując znaczenie wszystkich spójników
w terminach wartości ich argumentów.
Negacja dowolnego zdania po prostu zmienia jego wartość logiczną. Zatem p = 1
wtw, ¬p = 0 — i odwrotnie: p = 0 wtw, ¬p = 1.
W przypadku spójników dwuargumentowych sytuacja jest bardziej złożona, gdyż
są cztery możliwe kombinacje. Wygodną formą reprezentacji takich definicji są
tabelki zero-jedynkowe
, w których w poszczególnych wierszach podajemy możliwe
kombinacje wartości logicznych argumentów spójnika.
13
p
q
p
∧
q
p
∨
q
p
→
q
p
↔
q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Chociaż w tabelce występują zmienne zdaniowe p i q, to sytuacja będzie identyczna,
gdy argumentami spójnika będą formuły złożone, o ile wcześniej ustali się ich wartość.
Łatwo zauważyć, że powyższe definicje pozwalają dla dowolnego wartościowania
i dowolnej formuły ustalić jej wartość. Dlatego poszerzymy nasz zapis z użyciem
wartościowań V1, V2 itd. na formuły złożone, pisząc np. V1(p ∨ ¬q) = 1 lub
— przy ustalonym wartościowaniu — p ∨ ¬q = 1.
Zilustrujmy, w jaki sposób możemy obliczyć wartość danej formuły przy
ustalonym wartościowaniu zmiennych. Niech V1(p) = V1(q) = V1(r) = 1, wtedy
V1(p → (q ∧ r)) = 1, gdyż zarówno wartość poprzednika, jak i następnika tej
implikacji (czyli q ∧ r) wynosi 1. Jeżeli weźmiemy V2 takie, że V2(p) = V2(q) = 1
i V2(r) = 0, to wtedy V2(p → (q ∧ r)) = 0, gdyż V2(q ∧ r) = 0, ale poprzednik jest
prawdziwy, a jest to jedyna sytuacja, kiedy implikacja jest fałszywa.
3.3. Semantyka a interpretacja
Zaprezentowana przez nas semantyka języka KRZ ma charakter czysto formalny
i ekstensjonalny. Ponieważ wcześniej dokonaliśmy nieformalnej interpretacji
spójników KRZ w terminach pewnych wyrażeń z języka polskiego, wypada zastanowić
się, na ile jest ona trafna. Ma to znaczenie dla poprawności formalizacji tekstów
w języku polskim, gdyż wyróżnione spójniki z języka naturalnego są wieloznaczne,
a co więcej — niektóre z posiadanych przez nie znaczeń są intensjonalne. Stąd dobrze
jest się zastanowić, czy w danym kontekście można zastąpić spójniki języka polskiego
odpowiednimi stałymi logicznymi. Negacja i równoważność raczej nie sprawiają
problemów, dlatego ograniczymy się do rozważenia kilku problemów związanych
z koniunkcją, alternatywą i implikacją.
3.4. Koniunkcja
Zasadniczo „i” oraz jego synonimy można uznać za wierny odpowiednik koniunkcji.
Spójnik ten jednak może być też używany intensjonalnie w celu zaznaczenia np.
następstwa czasowego lub przestrzennego. Przykładowo poniższe zdania wydają się
mieć inną wartość logiczną:
1.
Zosia miała dziecko i wyszła za mąż.
2.
Zosia wyszła za mąż i miała dziecko.
Ekstensjonalna koniunkcja jest jednak
przemienna
, co oznacza, że kolejność
argumentów nie ma wpływu na wartość logiczną całości. Jeżeli oba zdania składowe
są prawdziwe, to całość będzie prawdziwa w obu wypadkach. A jeżeli chociaż jeden
Tabela 1
14
składnik jest fałszywy, to całość też jest w obu wypadkach fałszywa. Skoro jednak
co najmniej dla Zosi nie jest obojętne, w jakiej kolejności zaszły oba wydarzenia,
to znaczy, że „i” nie jest w tym kontekście koniunkcją. W takich przypadkach
właściwym rozwiązaniem jest potraktowanie zdań 1. i 2. jako dwóch różnych zdań
prostych.
3.5. Alternatywa
Rozważany przez nas spójnik ∨ to
alternatywa słaba
(łączna), natomiast w języku
naturalnym często mamy do czynienia z tzw.
alternatywą mocną
(rozłączną). Jest to
również spójnik ekstensjonalny, tym tylko różniący się od alternatywy słabej, że
zdanie zbudowane za jego pomocą jest fałszywe również wtedy, gdy oba argumenty
są prawdziwe. Przykład: „Kowalski zostanie w kraju lub wyjedzie za granicę”. Istnieje
wprawdzie w języku polskim pewna tendencja, aby używać „lub” w znaczeniu
alternatywy słabej, a „albo” w znaczniu aternatywy mocnej, jednak nie jest to
konsekwentnie przestrzegana zasada. W powyższym przykładzie użycie „lub” dla
alternatywy mocnej nie wydaje się nienaturalne czy sztuczne, równie łatwo można by
znaleźć przykłady pokazujące, że „albo” używa się wtedy, gdy chodzi o alternatywę
słabą (np. „Pójdę do kina z Moniką albo z Alicją”).
W języku polskim, aby jednoznacznie wyrazić alternatywę mocną, powinniśmy
użyć wyrażenia „albo..., albo...”. W przypadku gdy nie mamy wątpliwości, że
alternatywa występująca w zdaniu jest mocna, wskazane jest wyraźne zaznaczenie
tego w formalizacji. Można wprowadzić dodatkowy symbol bądź wyrazić mocną
alternatywę z użyciem spójników już występujących w języku KRZ, np. zdanie
o schemacie „albo p, albo q” możemy wyrazić przez formułę „¬(p ↔ q)”. Jest tak
dlatego, że równoważność jest fałszywa dokładnie wtedy, gdy alternatywa mocna
jest prawdziwa, a prawdziwa wtedy, gdy alternatywa mocna jest fałszywa.
3.6. Implikacja
Ekstensjonalna definicja implikacji, zwanej często
implikacją materialną
, zawsze
budziła największe zastrzeżenia. Zastanówmy się nad wartością logiczną zdań:
3.
Jeżeli 2 + 2 = 5, to Kowalska ma dwójkę dzieci.
4.
Jeżeli Kowalska ma dwójkę dzieci, to 2 + 2 = 4.
5.
Jeżeli Adaś podniesie świnkę morską za ogon do góry, to jej oczy powypadają.
Bez względu na odczucia Czytelnika, trzeba stwierdzić, że wszystkie są prawdziwe,
zgodnie z tabelkową definicją implikacji. Zdania 3. i 5. są prawdziwe, gdyż ich
poprzedniki są fałszywe, a 4. dlatego, że następnik jest prawdziwy. Wartości logiczne
pozostałych zdań (i ich związki treściowe) nie mają wpływu na nic. Paradoksalność
dwóch pierwszych przykładów bierze się stąd, że następnik n i e m a ż a d n e g o
z w i ą z k u t r e ś c i o w e g o z poprzednikiem, podczas gdy „normalne” użycie
wyrażenia „jeżeli..., to...” w języku naturalnym zakłada zachodzenie jakiegoś
związku. Natomiast ekstensjonalna definicja implikacji odwołuje sie wyłącznie do
wartości logicznej argumentów.
15
Obrońcy implikacji materialnej argumentują, że przykłady tego typu wcale nie
pokazują, że jej definicja jest zła. Powstają one bowiem właśnie przez pogwałcenie
pragmatycznych norm poprawnego użycia „jeżeli..., to...”. Jeżeli się tego nie
robi, problem znika. (Na marginesie warto zauważyć, że użycia „jeżeli..., to...”,
nierespektujące związku treściowego argumentów, także zdarzają się w komunikacji
potocznej — mówimy np. „Jeżeli Kowalski zda egzamin z logiki, to mi kaktus na
dłoni wyrośnie”).
Sytuacja nie jest jednak taka prosta — przykład 5. to zdanie warunkowe, w którym
poprzednik i następnik są treściowo powiązane. Można znaleźć znacznie więcej
przykładów pokazujących, że wielu zdaniom o postaci okresów warunkowych
i ewidentnym związku treściowym obu argumentów jesteśmy skłonni dawać inne
wartości niż dyktuje definicja implikacji. Porównajmy dwa zdania:
6.
Jeżeli Kant zmarł w 1804 roku, to zmarł w XX wieku.
7.
Jeżeli Kant zmarł w 1805 roku, to zmarł w XX wieku.
Oba zdania z pewnością uznamy za fałszywe i choć w przypadku 6. będzie to zgodne
z definicją implikacji (Kant istotnie umarł w 1804), to zdanie 7. powinniśmy uznać
za prawdziwe (oba zdania składowe są fałszywe)!
Logicy niezadowoleni z takiego stanu rzeczy zaproponowali szereg nieklasycznych
logik, formalizujących niektóre z intensjonalnych znaczeń implikacji (np.
logiki
implikacji ścisłej
,
logiki relewantne
,
logiki okresów warunkowych
). Są to jednak
konstrukcje znacznie bardziej skomplikowane, ich prezentacja przekracza zakres
tego kursu.
Czy zatem definicja implikacji materialnej jest dobra? Wydaje się, że w wielu
przypadkach można ją bezpiecznie zastosować. Zasadniczo nie budzi wątpliwości
fakt, że gdy oba zdania są prawdziwe, to całość należy uznać za prawdziwą i że
gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, to całość jest fałszywa.
Wątpliwe przypadki zdarzają się wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy. Jednak gdyby
przypisać takim zdaniom fałszywość, to wtedy implikacja nie różniłaby się ekstensją
od koniunkcji, natomiast uznanie obu przypadków za różnowartościowe dałoby
w jednym przypadku taką samą ekstensję jak dla równoważności, w drugim zaś też
zupełnie nieprzekonującą.
Przypisanie obu przypadkom prawdziwości jest co najmniej zgodne z użyciem
„jeżeli..., to...” w matematyce, i to wydaje się argumentem rozstrzygającym. Na wielu
przykładach z języka naturalnego również można zilustrować motywy przypisania
prawdziwości zdaniom z fałszywym poprzednikiem.
Zastanówmy się na przykład nad zdaniem: „Jeżeli Kowalski wygra milion w totolotka,
to kupi nowy samochód”. Z pewnością uznamy je za fałszywe, gdy Kowalski wygra
milion w totolotka, ale nie kupi nowego samochodu. Gdy wygra i kupi, to oczywiście
zdanie to uznamy za prawdziwe. Co się jednak stanie, gdy Kowalski nie wygra
rzeczonej sumy? Jeżeli samochodu nie kupi, to nadal powinniśmy to zdanie uważać za
prawdziwe — stwierdza ono pewną zależność, a fakt, że nie zrealizował się warunek
wyrażony w poprzedniku nie uprawnia nas raczej do zaprzeczenia zachodzeniu tej
zależności. Podobnie będzie, jeżeli Kowalski — mimo braku wygranej — kupi nowy
samochód. Nie uprawnia nas to wcale do uznania za fałszywe całego zdania, bo nie
podważa zachodzenia orzeczonej w nim zależności. Forma warunkowa wskazuje na
to, że poprzednik wyraża w a r u n e k w y s t a r c z a j ą c y dla zajścia następnika, ale
nie w a r u n e k k o n i e c z n y. Innymi słowy — w y s t a r c z y, żeby Kowalski wygrał,
wtedy kupi sobie nowy samochód, ale n i e m u s i tak być, bo inne okoliczności też
mogą to umożliwić (np. Kowalski odziedziczył wysoki spadek albo został wybrany
do sejmu i żyje teraz z diet poselskich).
16
Należy jednak pamiętać, że „jeżeli..., to...” jest spójnikiem o wielu różnych
znaczeniach i w wielu przypadkach formalizacja tego zwrotu za pomocą implikacji
materialnej jest wręcz niewskazana, bo może prowadzić do paradoksalnych efektów.
Tak jest np. w przypadku tzw.
kontrfaktycznych okresów warunkowych
— np. „Jeżeli
bym się z tobą nie ożenił, to byłbym szczęśliwym człowiekiem”. Każde zdanie tego
typu automatycznie staje się prawdziwe z powodu fałszywości poprzednika. Na
szczęście w języku polskim są one wyrażane częściej z użyciem wyrażenia „gdyby...,
to...”, mamy więc nawet językowe wskazówki dla odróżnienia tego typu zdań od
tych, które można formalizować z użyciem implikacji.
17
4. Tautologie
4.1. Metoda tabelkowa
W logice interesuje nas nie tyle to, jaką wartość dana formuła posiada przy
określonym wartościowaniu, ale jak się zachowuje przy wszystkich. Jak to jednak
sprawdzać, jeżeli wartościowań jest nieskończenie wiele? Łatwo zauważyć, że przy
sprawdzaniu wartości formuł bierzemy pod uwagę nie całe wartościowanie, tylko
to, co przypisuje ono zmiennym występującym w analizowanej formule. Jeżeli
w formule nie ma zmiennej s, to dla wyniku sprawdzania nie ma znaczenia, czy
s otrzyma 1, czy 0.
Tak postępowaliśmy w przykładzie z poprzedniego tematu z wartościowaniami
V1 i V2, które ustaliliśmy tylko dla 3 zmiennych występujących w rozważanej
formule. Skoro abstrahujemy od zmiennych niewystępujących we wzorze, to nasza
nieskończona liczba różnych wartościowań redukuje się do skończonej liczby
wartościowań cząstkowych, które różnią się od siebie tylko dla ustalonych zmiennych.
Liczba takich wartościowań jest wyznaczona wzorem 2n, gdzie n to liczba różnych
zmiennych we wzorze, np. dla formuły złożonej z trzech różnych zmiennych p,
q, r mamy 8 różnych podstawień 1 i 0, a dla formuły złożonej z czterech różnych
zmiennych mamy ich 16.
W ten sposób można
metodę tabelkową
stosować do analizy dowolnej formuły.
Sprawdźmy to na przykładzie formuły (p ∧ q) → (p ∨ r), gdzie w tabelce uwzględniamy
8 możliwych rodzajów wartościowań, a w kolejnych kolumnach podformuły
(czyli składniki) sprawdzanej formuły. Wynik liczymy dla każdego wartościowania
z osobna, po kolei od lewej ku prawej (aż do kolumny wynikowej). Jak widać,
żeby wyliczyć wartość formuły złożonej, musimy najpierw systematycznie wyliczyć
wartości jej składników.
p
q
r
p ∧ q
p ∨ r
(p ∧ q) → (p ∨ r)
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
Tabela 2
18
4.2. Klasyfikacja formuł
Zauważmy, że powyższa formuła jest prawdziwa niezależnie od wartościowania.
Takie formuły, uniwersalnie prawdziwe, będziemy określać mianem
tautologii
, czyli
prawd logicznych. Formuła, która przy każdym wartościowaniu jest fałszywa,
to
kontrtautologia
albo fałsz logiczny. Przykładowo, negacja powyższej formuły
(i ogólnie — każdej tautologii) daje nam kontrtautologię. Dla oznaczenia dowolnej
kontrtautologii będziemy używać symbolu ⊥.
Zarówno tautologie, jak i kontrtautologie są z d a n i a m i a n a l i t y c z n y m i naszego
języka. Formuły, których wartość logiczna nie jest stała, lecz zmienia się w zależności
od wartościowania (jak w przykładzie z formułą p → (q ∧ r) podanym w poprzednim
temacie), to
formuły kontyngentne.
Wszystkie formuły, które nie są kontrtautologiami, nazywamy formułami spełnialnymi
, gdyż
istnieje co najmniej jedno wartościowanie, przy którym są one prawdziwe (które je
spełnia albo weryfikuje). Zauważmy, że każda tautologia też jest formułą spełnialną,
gdyż jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu.
4.3. Ważniejsze tautologie
W tradycyjnym wykładzie logiki przywiązuje się dużą wagę do tautologii, podając
często ich obszerne listy i obdarzając wybrane formuły nazwami. Poniżej przytoczymy
kilka ważniejszych.
— prawo wyłączonego środka:
p ∨ ¬p,
— prawo (nie)sprzeczności:
¬(p ∧ ¬p),
— prawo tożsamości:
p → p (lub p ↔ p),
— sylogizm hipotetyczny :
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),
— modus ponendo ponens:
[(p → q) ∧ p] → q,
— modus tolendo tolens:
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p,
— prawo podwójnej negacji:
¬¬p ↔ p,
— prawo zamienności implikacji z alternatywą:
(p → q) ↔ (¬p ∨ q),
— prawo kontrapozycji:
(p → q) ↔ (¬q → ¬p),
19
— prawa DeMorgana:
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q),
¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q),
— prawa idempotencji:
p ↔ (p ∧ p), p ↔ (p ∨ p),
— prawa dystrybucji:
[p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)], [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)],
— prawa absorpcji:
p ↔ [p ∧ (p ∨ q)],
p ↔ [p ∨ (p ∧ q)],
p ↔ [p ∧ (q ∨ ¬q)], p ↔ [p ∨ (q ∧ ¬q)],
— prawo eksportacji/importacji:
[p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r].
Trzy pierwsze to tzw.
najwyższe prawa myślenia
, przez wieki pełniące uprzywilejowaną
rolę w wykładzie logiki tradycyjnej. Zauważmy, że prawo wyłączonego środka
stanowi formalny wyraz zasady dwuwartościowości. Warto zwrócić też uwagę na
podane wyżej tautologie o postaci równoważności, ponieważ ich znajomość pozwala
na dokonywanie zamiany formuł występujących po jednej stronie równoważności na
formuły występujące po drugiej stronie. Zwłaszcza prawo podwójnej negacji pozwala
otrzymywać proste warianty innych tautologii. Przykładowo, na mocy tego prawa
można otrzymać (p → ¬q) ↔ (q → ¬p) jako wariant prawa kontrapozycji.
Na koniec zauważmy, że na liście występują trzy tautologie o identycznych nazwach
jak podane w temacie 2 schematy poprawnych rozumowań. Aby przekonać się, czy
nie jest to tylko przypadkowa zbieżność, musimy najpierw wprowadzić definicje
wynikania na gruncie KRZ.
4.4. Wynikanie
Niech X oznacza dowolny zbiór formuł. Powiemy, że:
Ze zbioru X wynika p wtw, V(p) = 1, dla dowolnego wartościowania V, przy którym
V(X) = 1.
Przez V(X) = 1 rozumiemy, że wszystkie formuły ze zbioru X są prawdziwe przy
tym wartościowaniu. Natomiast p reprezentuje w podanej definicji (i w podanych
niżej zasadach) dowolną formułę, która występuje jako wniosek, a nie tylko zdania
proste.
Relacja wynikania zdefiniowana dla KRZ ma taki sam sens, jak relacja wynikania
w języku naturalnym. Co więcej, w podanej tutaj definicji nie odwołujemy się do
wieloznacznego wyrażenia modalnego „musi”, a jedynie do dobrze zdefiniowanego
pojęcia wartościowania. Zwróćmy uwagę na zachodzenie następującego związku
między wynikaniem a tautologicznością:
1.
p wynika z X wtw, implikacja, której poprzednik jest koniunkcją wszystkich
elementów X, a następnik to p, jest tautologią.
20
Podana zasada wyjaśnia związek pomiędzy schematami poprawnych rozumowań
z tematu 2, a podanymi wyżej tautologiami o takich samych nazwach i uzasadnia
formalnie, dlaczego uznaliśmy rozumowania o takiej formie za poprawne.
Również dla innych schematów rozumowań z tematu 2, np. dla różnych rodzajów
dylematów, można wskazać stosowne tautologie, które uzasadniają ich poprawność.
Warto też zauważyć, że każda podana wyżej tautologia o postaci równoważności
gwarantuje poprawność aż dwóch schematów rozumowań. Dzieje się tak dlatego, że
równoważność jest obustronną implikacją. Zatem poprawny jest zarówno schemat,
w którym lewa strona równoważności jest przesłanką, a prawa wnioskiem, jak
i schemat, w którym funkcja przesłanki i wniosku przypisana jest na odwrót.
Powyższa równoważność daje nam możliwość sprawdzania poprawności dowolnych
rozumowań w języku KRZ przy wykorzystaniu metody tabelkowej. Jednak metoda ta
jest wysoce niepraktyczna — wzór 2n jest wprawdzie prosty, ale jednak wykładniczy,
i już przy stosunkowo niewielkich wartościach n (czyli liczbie różnych zmiennych)
zmusza nas do konstruowania olbrzymich tabelek. W wielu wypadkach znacznie
lepsze efekty daje
metoda sprawdzania niewprost
. Aby ją wprowadzić, musimy najpierw
zdefiniować pojęcie zbioru sprzecznego i wyjaśnić jego związek z wynikaniem.
4.5. Zbiór sprzeczny
Jest to taki zbiór, który przy dowolnym wartościowaniu zawiera przynajmniej jedną
formułę fałszywą (inaczej: nie ma wartościowania, przy którym wszystkie jego
elementy są prawdziwe).
Podobnie zbiór formuł, który nie jest sprzeczny, nazwiemy
zbiorem spełnialnym
, gdy
istnieje co najmniej jedno wartościowanie, przy którym wszystkie elementy tego
zbioru są równocześnie prawdziwe.
Na gruncie KRZ między sprzecznością a wynikaniem zachodzi istotny związek,
który wyraża następująca zasada:
2.
Ze zbioru X wynika p wtw, zbiór zawierający X i ¬p jest sprzeczny.
Podobnie dla tautologii:
3.
Dana formuła jest tautologią wtw, zbiór zawierający negację tej formuły jest
sprzeczny.
Konsekwencją podanych zasad jest możliwość zastosowania krótszej metody
sprawdzania tautologiczności i wynikania, która określana jest jako metoda
sprawdzania niewprost. Zamiast wypisywać wszystkie możliwe wartościowania i dla
każdego liczyć wynik, zakładamy, że analizowana formuła n i e j e s t t a u t o l o g i ą
i próbujemy skonstruować w a r t o ś c i o w a n i e f a l s y fi k u j ą c e , czyli takie, przy
którym dana formuła okaże się fałszywa (odpowiada to szukaniu wartościowania,
przy którym prawdziwa jest negacja sprawdzanej formuły). Albo nam się to udaje,
albo (gdy formuła jest tautologią) popadamy w sprzeczność, która wyraża się tym,
że zmuszeni jesteśmy jakiejś podformule przypisać i 1, i 0.
Załóżmy np., że sylogizm hipotetyczny [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) nie jest tautologią.
Ponieważ jest to implikacja, więc jest to możliwe tylko przy takim wartościowaniu
V, dla którego V((p → q) ∧ (q → r)) = 1, a V(p → r) = 0. Wtedy V(p) = 1, a
V(r) = 0, natomiast oba człony koniunkcji (p → q) ∧ (q → r) są prawdziwe. Skoro
V(p → q) = 1 i V(p) = 1, to V(q) = 1, ale skoro V(q → r) = 1, a V(r) = 0, to
V(q) = 0. Mamy zatem sprzeczność na wartości q i nie istnieje wartościowanie
falsyfikujące [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r). Jest to zatem tautologia.
21
5. Rozumowania
Obecnie zastosujemy metodę sprawdzania niewprost do analizy poprawności
rozumowań w języku polskim. Każde rozumowanie będziemy najpierw formalizowali
w języku KRZ, zgodnie z zasadami podanymi w temacie 1, a następnie sprawdzali,
czy wniosek wynika z przesłanek. Dla uproszczenia analizy rozumowania
przedstawiamy w formie pełnej, tj. bez pomijania niezbędnych przesłanek, oraz
w postaci kanonicznej, czyli kolejno przesłanki i wniosek na końcu.
Poddając analizie rozumowania występujące w tekstach, które nie były pisane
przez logików dla logików, musimy oczywiście pamiętać, że możemy napotkać
dodatkowe trudności już w fazie formalizacji. Problemem może być często nawet
zidentyfikowanie, co jest przesłanką, a co wnioskiem. Ponadto zazwyczaj wiele
elementów należy z rozumowania wyrzucić, gdyż są tylko retorycznymi ozdobnikami
(np. powtórzeniami), a inne trzeba dodać, gdyż zostały pominięte jako oczywiste
(rozumowania entymematyczne).
5.1.
Cogito Kartezjusza
Ważne i znane rozumowania nie zawsze mają skomplikowaną strukturę. Znane
rozumowanie Kartezjusza (XVII wiek), którym posłużył się w celu uzasadnienia
wiary we własne istnienie, można sformułować następująco:
Jeżeli wiem, że istnieję, to istnieję. Wiem, że istnieję, jeżeli wiem, że myślę i wiem, że
myślę, jeżeli myślę. Ale myślę, więc jestem.
Schemat powyższego rozumowania zapiszemy następująco:
p → q, (r → p) ∧ (s → r) / s → q
Wykazanie poprawności tego rozumowania nie nastręcza trudności. Zakładamy
niewprost, że obie przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wtedy s = 1 a
q = 0 (jedyny przypadek, gdy implikacja jest fałszywa). Ponieważ pierwsza przesłanka
jest prawdziwą implikacją, ale q = 0, więc i p = 0. Obie implikacje tworzące drugą
przesłankę też są prawdziwe, zatem skoro s = 1, to r = 1, ale skoro p = 0, to r = 0.
Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż r nie może być równocześnie prawdziwe i fałszywe.
To oznacza, że nasze założenie o fałszywości wniosku było błędne, zatem wniosek
wynika z przesłanek.
Poprawność tego rozumowania może być wykazana również w inny sposób — przez
odwołanie się do omawianych w temacie 2 i 4 reguł lub tautologii. Zauważmy,
że jeżeli zastosujemy rozłączenie obu członów koniunkcji zgodnie z jedną z reguł
podanych dla tego spójnika, to otrzymamy 3 przesłanki o postaci implikacji. Jeżeli
zmienimy teraz ich kolejność, przestawiając pierwszą z trzecią, to otrzymujemy
3-przesłankowy przypadek sylogizmu hipotetycznego, w którym łańcuch 3 implikacji
zaczyna się od „s” a kończy na „q”. Wniosek po prostu łączy skrajne zdania.
22
5.2. Trochę teorii
Umiejętność sprawnego analizowania rozumowań wymaga dobrego zapamiętania
definicji spójników, co sprowadza się do sprawnego obliczania wartości argumentów
w oparciu o ustaloną wartość łączącego je spójnika bądź odwrotnie, do ustalania
wartości zdania złożonego w oparciu o wartość argumentów. Warto zapamiętać to
w postaci reguł:
a) jeżeli p ∧ q = 1, to p = 1 i q = 1 (i odwrotnie: jeżeli p = 1 i q = 1, to p ∧ q = 1),
b) jeżeli p ∨ q = 0, to p = 0 i q = 0 (i odwrotnie),
c) jeżeli p → q = 0, to p = 1 i q = 0 (i odwrotnie),
d) jeżeli p ∧ q = 0 i jeden składnik jest prawdziwy (p albo q), to drugi jest fałszywy,
e) jeżeli p ∨ q = 1 i jeden składnik jest fałszywy, to drugi jest prawdziwy,
f) jeżeli p → q = 1 i p = 1, to q = 1,
g) jeżeli p → q = 1 i q = 0, to p = 0,
h) jeżeli p ↔ q = 1 i jedna ze stron ma ustaloną wartość (1 lub 0), to druga ma taką
samą,
i) jeżeli p ↔ q = 0 i jedna ze stron ma ustaloną wartość (1 lub 0), to druga ma
odwrotną,
j) jeżeli p = 1, to p ∨ q = 1, q ∨ p = 1, q → p = 1,
k) jeżeli p = 0, to p ∧ q = 1, q ∧ p = 1, p → q = 1.
Pominęliśmy reguły dla negacji jako dość oczywiste. Przypadki a)–c) podają sytuacje,
kiedy można ustalić wartość obu argumentów w oparciu o wartość zdania złożonego
(lub odwrotnie). Przypadki d)–i) pokazują, kiedy z wartości całego zdania i jednego
z argumentów można wydedukować wartość drugiego. Przykładowo, powyżej
w analizie rozumowania skorzystaliśmy z c), f) i g). Natomiast j) i k) to przypadki,
kiedy wartość tylko jednego składnika pozwala ustalić wartość całości.
5.3. Coś z życia
Rozważmy następujące rozumowanie:
Jeżeli Alicja pojechała do Galerii, to kupiła nową sukienkę lub torebkę. Alicja
nie kupiła torebki. Zatem nie pojechała do Galerii.
Rozumowanie to ma następujący schemat (gdzie r oznacza zdanie „kupiła
torebkę”):
p → (q ∨ r), ¬r / ¬p
Ponownie szukamy wartościowania falsyfikującego. Ponieważ p = 1 (skoro jego
negacja — czyli wniosek — jest fałszywa), więc następnik pierwszej przesłanki jest
prawdziwą alternatywą. Skoro r = 0 (gdyż druga przesłanka jest prawdziwa), to q = 1.
Nie otrzymaliśmy sprzeczności, zatem analizowane rozumowanie jest niepoprawne.
Wydaje się to zgodne z intuicyjną oceną tego rozumowania, gdyż druga przesłanka
nie wyklucza, że Alicja była w Galerii i kupiła tam nową sukienkę. Poprawne
rozumowanie otrzymamy, jeżeli obecny wniosek zastąpimy np. następującym: „Alicja
nie pojechała do Galerii lub kupiła nową sukienkę”.
23
Inny przykład:
Jeżeli Kazik odebrał wypłatę, to poszedł do pubu. Jeżeli nie przepuścił
pieniędzy z kolegami, to oddał je żonie. Jednak nie jest prawdą, że jeżeli
odebrał wypłatę, to oddał pieniądze żonie. Więc poszedł do pubu i przepuścił
pieniądze z kolegami.
W wyniku formalizacji otrzymujemy schemat:
p → q, ¬r → s, ¬(p → s) / q ∧ r
Zakładamy, że przesłanki są prawdziwe a wniosek fałszywy. Ani wniosek, ani dwie
pierwsze przesłanki nie pozwalają na ustalenie wartości argumentów. Natomiast p
→ s = 0, więc p = 1 a s = 0. Zatem q = 1, a wtedy r = 0. Jeżeli teraz dopasujemy
uzyskane wartości r i s do drugiej przesłanki, to otrzymamy prawdziwy poprzednik
i fałszywy następnik, co daje sprzeczność, gdyż z założenia ta implikacja jest
prawdziwa. Zatem podane rozumowanie jest poprawne.
5.4. Bóg i zło
Na koniec rozważymy trochę bardziej skomplikowany przykład. W taki właśnie
sposób w III wieku gnostycy uzasadniali swój pogląd, że stwórcą świata nie jest
doskonały Bóg, ale jakaś podrzędna istota duchowa.
Doskonałość Boga polega na tym, że jest on zarazem wszechwiedzący, wszechmogący
i nieskończenie dobry. Jeżeli zło istnieje, to Bóg o nim nie wie albo wie o nim, ale nie
może lub nie chce go powstrzymać, o ile jest stwórcą tego świata. Jednak — jeżeli nie
wie, że zło istnieje — to nie jest wszechwiedzący. Jeżeli nie może zła powstrzymać,
to nie jest wszechmogący. Natomiast jeżeli nie chce go powstrzymać, to nie jest
nieskończenie dobry. Zatem, skoro zło istnieje, to Bóg nie jest doskonały lub nie On
stworzył świat.
Proponujemy następującą formalizację, w której kolejne zmienne reprezentują
zdania: p — Bóg jest doskonały, q — Bóg jest wszechwiedzący, r — Bóg jest
wszechmogący, s — Bóg jest nieskończenie dobry, t — zło istnieje, u — Bóg wie
o istnieniu zła, v — Bóg może zło powstrzymać, w — Bóg chce zło powstrzymać,
z — Bóg stworzył świat.
p ↔ (q ∧ r ∧ s), z → (t → {¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)]}), ¬u → ¬q, ¬v → ¬r,
¬w → ¬s / t → (¬p ∨ ¬z)
Po przypisaniu prawdy przesłankom, zaś fałszu wnioskowi, mamy: t = p = z = 1.
Skoro p = 1, to z pierwszej przesłanki mamy: q = r = s = 1. Stosując te wartości
do następników przesłanek trzeciej, czwartej i piątej, otrzymujemy: u = v = w =
1. Skoro z = 1 i t = 1, to z drugiej przesłanki mamy ¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)] = 1.
Ponieważ u = 1, więc ¬u = 0 i u ∧ (¬v ∨ ¬w) = 1. Zatem ¬v ∨ ¬w = 1, co jest
jednak niemożliwe, skoro v = 1 i w = 1.
Uzyskana sprzeczność pokazuje, że rozumowanie jest poprawne, natomiast otwartą
sprawą jest, czy wszystkie przesłanki są prawdziwe. Ponieważ jest to kurs logiki, nie zaś
teologii, więc tej sprawy dalej analizować nie będziemy. Zauważmy natomiast przy okazji,
że formalizacja rozumowań pozwala też często wyrazić je w bardziej zwięzłej formie.
Czytelnik zechce sprawdzić, że z → (t → {¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)]}) jest równoważne
prostszej formule z → [t → (¬u ∨ ¬v ∨ ¬w)]. Zatem w badanym rozumowaniu można
zastąpić drugą przesłankę zdaniem: „Jeżeli zło istnieje, to Bóg o nim nie wie albo nie
może lub nie chce go powstrzymać, o ile jest stwórcą tego świata”.
24
Bibliografia
1. Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS,Warszawa.
2. Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.
3. Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.
4. Forbes G., 1994: Modern Logic, Oxford University Press, Oxford.
5. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.
6. Hodges W., 1991: Logic, Penguin, London.
7. Hołówka T., 2005: Kultura logiczna w przykładach, PWN, Warszawa.
8. Kmita J., 1977: Wykłady z logiki i metodologii nauk, PWN, Warszawa.
9. Łukowski P., 1990: Ćwiczenia z logiki, OFEK, Łódź.
10. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo
Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.
11. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.
12. Stanosz B., 1984: Wprowadzenie do logiki formalnej, PWN, Warszawa.
13. Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.
14. Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.
15. Wójcicki R., 2003: Wykłady z logiki z elementami teorii wiedzy, Scholar,
Warszawa.
Bibliografia stron WWW
16. John Carroll University. Witryna internetowa.
www.jcu.edu/philosophy/gensler, stan z 20.12.2005.
25
Słownik
Argumenty
— typowe sposoby uzasadniania poglądów stosowane w dyskusji. Ich
ocena dotyczy raczej skuteczności, nie zaś logicznej poprawności. Niektóre można
jednak zdecydowanie uznać za nieuczciwe sposoby przekonywania, toteż określa
się je często jako fortele (sztuczki) erystyczne i traktuje jako rodzaj błędnych
rozumowań. Do najbardziej znanych należą argumentum ad autoritatem (odwołanie
się do autorytetu, odwoływanie się do litości dyskutanta lub audytorium),
argumentum ad verecundiam (odwoływanie się do nieśmiałości dyskutanta),
argumentum ad vanitatem (odwoływanie się do próżności naszego rozmówcy),
argumentum ad hominem (odwołanie się do poglądów oponenta, aby wykorzystać
je dla własnych celów), argumentum ad personam (argumenty, w których poglądy
oponenta podważa się w sposób pośredni, wskazując, że jest to osoba nieuczciwa,
niemoralna, niekompetentna itp.), argumentum ad baculum (odwołanie się „do kija”,
do gróźb), argumentum ad misericordiam (odwoływanie się do litości dyskutanta
lub audytorium), argumentum ad populum (używanie rozmaitych chwytów
demagogicznych „pod publiczkę”, aby zyskać jej poparcie).
Błędy definicji
— błędy popełniane podczas definiowania. Wyróżnić można m.in. błąd
ignotum per ignotum (niezrozumiałe przez niezrozumiałe) oraz błąd idem per idem,
zwany też błędnym kołem (circulus vitiosus) w definicji. Tutaj dodatkowo występują
dwa typy — błędne koło bezpośrednie (ten sam termin w definiendum i definiensie
tej samej definicji) oraz błędne koło pośrednie, gdzie mamy do czynienia z ciągiem
definicji takim, że każda następna wyjaśnia pewien termin występujący w definiensie
poprzedniej, a w definiensie ostatniej pojawia się ponownie termin z definiendum
pierwszej definicji. Inne rodzaje błędów dotyczą niezgodności zakresów definiensa
i definiendum. Definicja jest za szeroka, gdy zakres definiendum jest podrzędny
względem zakresu definiensa, natomiast za wąska, gdy zakres definiendum jest
nadrzędny względem zakresu definiensa.Może też zachodzić krzyżowanie się zakresów
lub tzw. błąd kategorialny, gdy zakresy obu członów definicji są rozłączne.
Błędy logiczne
— różne rodzaje wykroczeń przeciwko regułom użycia języka,
powodujące zakłócenia w komunikacji, wynikające m.in. z wieloznaczności,
nieostrości, niedookreśloności, używania wyrażeń okazjonalnych, niezrozumiałych.
Typowym przykładem takiego błędu jest amfibologia, czyli wadliwa składnia
umożliwiająca różną interpretację tekstu.
Błędy rozumowań
— tradycyjnie dzieli się je na materialne (fałszywość przynajmniej
jednej przesłanki) i formalne (niepoprawny schemat rozumowania). Dodatkowo
wyróżnia się wiele szczególnych przypadków. Do najważniejszych należą ekwiwokacja
(użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w obrębie jednego rozumowania)
oraz logomachia (użycie pewnego terminu w różnych znaczeniach w dyskusji).
Błąd formalny
— brak wynikania w rozumowaniu, które przedstawia się jako
poprawne (niezawodne).
Błąd materialny
— fałszywość co najmniej jednej przesłanki w rozumowaniu.
Definicja
— językowy sposób wyjaśnienia znaczenia jakiegoś wyrażenia (definicja
nominalna) lub podanie charakterystyki przedmiotu (definicja realna). Definicja
składa się z trzech części: definiendum (część zawierająca termin definiowany),
łącznika definicyjnego (zwanego często spójką definicyjną) i definiensa (część
wyjaśniająca znaczenie). Ze względu na spełniane zadania wyróżnia się trzy
26
rodzaje definicji: definicje sprawozdawcze — inaczej słownikowe — które służą
do wyjaśniania, w jakim znaczeniu dane wyrażenie jest obecnie w pewnym języku
używane; definicje regulujące — które służą precyzacji znaczenia danego wyrażenia,
np. w przypadku nazw nieostrych podają propozycję uściślenia ich zakresu; definicje
projektujące — powstające wówczas, gdy pojawia się potrzeba nazwania nowego
zjawiska w danym języku.
Funkcje komunikacyjne
— ogół celów realizowanych przez użycie języka. Do funkcji
komunikacyjnych należą: funkcja ekspresywna (wyrażanie stanów wewnętrznych
użytkownika języka), funkcja perswazyjna (oddziaływanie na słuchacza), funkcja
fatyczna (utrzymywanie kontaktu między użytkownikami), funkcja opisowa
(przekazywanie informacji).
Indukcja
— ogólna nazwa klasy schematów rozumowania, z których większość jest
zawodna, ale często wykorzystywana w praktyce. Można tu wyróżnić: indukcję
eliminacyjną, indukcję enumeracyjną oraz indukcję matematyczną. Najpopularniejsza
(często zwana po prostu indukcją) jest indukcja enumeracyjna, czyli przez wyliczenie.
Na podstawie skończonej liczby przesłanek, które są zdaniami szczegółowymi,
dochodzi się do wniosku ogólnego. W indukcji eliminacyjnej stosuje się tzw. kanony,
czyli pewne dodatkowe schematy rozumowania. Należą do nich m.in. kanony:
jedynej zgodności i jedynej różnicy.
Języki sztuczne
— języki konstruowane do specjalnych celów, np. w logice do analizy
znaczenia wybranych wyrażeń. Charakteryzują się prostą i konsekwentną gramatyką,
a w semantyce brakiem wieloznaczności.
Kategoria syntaktyczna
— zbiór wyrażeń, które mogą być wzajemnie wymienialne bez
utraty składniowej spójności kontekstu, w którym ta wymiana się odbywa. Kategorie
syntaktyczne dzielimy na samodzielne (zdania i nazwy) oraz niesamodzielne
(funktory).
Klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK)
— podstawowy rachunek logiczny, zwany
często po prostu logiką klasyczną (również rachunek predykatów, rachunek 1-go
rzędu, rachunek funkcyjny).
Klasyczny rachunek zdań (KRZ)
— elementarna część logiki klasycznej, w której jedyne
wyróżnione stałe logiczne to pewne spójniki ekstensjonalne.
Klasyfikacja odpowiedzi
— wśród wielu rodzajów możliwych odpowiedzi na różne
rodzaje pytań można wyróżnić odpowiedź właściwą — uzupełnienia pewnego
schematu, który sugeruje pytanie; odpowiedź częściową — zdanie, z którego nie
wynika żadna odpowiedź właściwa, ale które wyklucza niektóre spośród nich;
odpowiedź wyczerpującą — zdanie prawdziwe, z którego wynikają wszystkie
odpowiedzi właściwe i prawdziwe.
Kwadrat logiczny
— graficzny sposób prezentacji relacji logicznych zachodzących
między zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku.
Kwantyfikatory
— wyrażenia określające, czy chodzi o wszystkie elementy danego
zbioru (kwantyfikator ogólny), czy o ich część (kwantyfikator szczegółowy).
Kwantyfikator zawsze występuje wraz z symbolem zmiennej nazwowej, która jest
przez niego związana.
Operacja formalizacji tekstu
— przekład z języka naturalnego na język KRK lub inny
język sztuczny w celu wyeliminowania wieloznaczności. Poprawna formalizacja musi
zachować co najmniej warunki prawdziwości zdań tłumaczonych.
Podział logiczny
— jest to podstawowy zabieg porządkujący określoną dziedzinę
badań. Podział — aby był logiczny — musi spełniać warunek adekwatności (suma
zbiorów będących członami podziału musi dawać w rezultacie zbiór dzielony),
27
warunek rozłączności (zbiory będące członami podziału muszą być parami rozłączne),
warunek niepustości (każdy człon podziału musi coś zawierać). Skrzyżowanie różnych
podziałów to klasyfikacja, zaś uporządkowanie członów podziału to systematyzacja.
Pytania
— wypowiedzi, których zasadniczym celem jest zdobycie informacji. Składają
się zazwyczaj z partykuły pytajnej i tzw. datum questionis (danej pytania). Wyróżnić
można pytania otwarte i pytania zamknięte (pytania zamknięte dopełnienia, pytania
zamknięte rozstrzygnięcia).
Rachunek nazw (tradycyjny)
— system logiki stworzony przez Arystotelesa,
w którym analizuje się pewne formy rozumowań zachodzących pomiędzy zdaniami
kategorycznymi.
Reguły niezawodne
— schematy rozumowań, w których wniosek wynika z przesłanek,
np. modus ponendo ponens, sylogizm hipotetyczny, dylemat konstrukcyjny prosty.
Relacje logiczne
— zachodzą między zdaniami w sensie logicznym. Do najważniejszych
należy pięć niżej wymienionych:
— Z
2
w y n i k a z Z
1
wtw, „Jeżeli Z
1
, to Z
2
” jest zdaniem analitycznie prawdziwym.
— Z
1
i Z
2
są r ó w n o w a ż n e wtw, „Z
1
wtw, Z
2
” jest zdaniem analitycznie
prawdziwym.
— Z
1
i Z
2
w y k l u c z a j ą s i ę wtw, „Z
1
i Z
2
” jest zdaniem kontradyktorycznym.
— Z
1
i Z
2
d o p e ł n i a j ą s i ę wtw, „Z
1
lub Z
2
” jest zdaniem analitycznie
prawdziwym.
— Z
1
i Z
2
są s p r z e c z n e wtw, „Z
1
wtw, Z
2
” jest zdaniem kontradyktorycznym.
Relacje między zakresami nazw
— w przypadku nazw ogólnych można wyróżnić pięć
rodzajów relacji zachodzących między ich zakresami. Ekstensje dwóch nazw mogą:
— być r ó w n o w a ż n e (tożsame), gdy jest to ten sam zbiór, np. „kobieta”
i „niewiasta”,
— być w relacji p o d r z ę d n o ś c i (ostrego zawierania się), gdy każdy desygnat jednej
nazwy jest desygnatem drugiej, ale nie odwrotnie (ta druga nazwa jest wtedy
w relacji n a d r z ę d n o ś c i względem pierwszej), np. „ssak”, „kręgowiec”,
— w y k l u c z a ć s i ę (być rozłączne), gdy nie mają wspólnych desygnatów, np.
„piernik” i „wiatrak”,
— k r z y ż o w a ć s i ę , gdy mają jakieś desygnaty wspólne i każda z nich ma
desygnaty, które nie należą do zakresu drugiej, np. „ssak”, „drapieżnik”.
Rozumowanie
— jako czynność: proces psychiczny zmierzający do uznania pewnych
zdań (wniosków) na podstawie innych zdań (przesłanek); jako rezultat: tekst
językowy, w którym pewne zdania występują w funkcji przesłanek, a inne w funkcji
wniosków.
Rozumowanie entymematyczne
— rozumowanie, w którym pominięto przesłanki lub
uznano za oczywiste, lub zdania w oczywisty sposób z nich wynikające a prowadzące
do wniosku końcowego.
Rozumowanie poprawne (dedukcyjne, niezawodne)
— takie rozumowanie, w którym
pomiędzy przesłankami a wnioskiem zachodzi relacja wynikania.
Rozumowanie uprawdopodobniające
— rozumowanie, w którym nie zachodzi
wynikanie między przesłankami a wnioskiem, ale w którym prawdziwość przesłanek
zwiększa prawdopodobieństwo zachodzenia wniosku, np. różne formy indukcji czy
rozumowania przez analogię.
Semiotyka logiczna
— dział logiki zajmujący się badaniem systemów znakowych.
Dzieli się na syntaktykę, badającą reguły składni, semantykę, badającą relacje między
znakami i ich znaczeniem oraz pragmatykę, badającą relacje między znakami a ich
użytkownikami.
28
Semantyka KRZ
— (czyli teoria znaczenia języka) jest ekstensjonalna — oznacza to,
że nie uwzględnia się w niej formalnie sądów logicznych, a tylko wartości logiczne
zdań. Podstawowe jest tutaj pojęcie wartościowania zmiennych. Wartościowaniem
nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru zmiennych zdaniowych w zbiór
{1,0}. Definicje znaczenia spójników pokazują, w jaki sposób dane wartościowanie
należy poszerzyć na dowolną formułę złożoną.
Sprzeczność w KRZ
— zbiór formuł X jest sprzeczny wtw, nie istnieje wartościowanie,
przy którym wszystkie formuły z tego zbioru są prawdziwe.
Stałe logiczne
— są to wyróżnione wyrażenia, których znaczenie jest precyzyjnie
ustalone na gruncie semantyki danej logiki. W KRZ są to spójniki, czyli funktory
zdaniotwórcze: funktor negacji oraz dwuargumentowe funktory koniunkcji,
alternatywy, implikacji, równoważności.
Tautologia KRZ
— formuła, która jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu
(prawda logiczna). Formuła, która przy każdym wartościowaniu jest fałszywa, to
kontrtautologia albo fałsz logiczny. Formuły, których wartość logiczna nie jest stała,
lecz zmienia się — w zależności od wartościowania — to formuły kontyngentne.
Przykłady tautologii KRZ:
— prawo wyłączonego środka p∨¬p,
— prawo (nie)sprzeczności ¬(p∧¬p),
— prawo tożsamości p → p (lub, w mocniejszej postaci p ↔ p),
— sylogizm hipotetyczny [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),
— modus ponendo ponens [(p → q) ∧ p] → q.
Wynikanie w KRZ: ze zbioru X wynika p wtw, dla dowolnego wartościowania V,
przy którym V(X) = 1, to V(p) = 1.
Wnioskowania bezpośrednie
— reguły niezawodne, w których wniosek wyprowadza
się z jednej przesłanki (np. obwersja, konwersja, kontrapozycja).
Wnioskowania pośrednie (sylogizmy)
— reguły niezawodne, w których wniosek
wyprowadza się z dwóch przesłanek. W sylogizmie występują trzy różne terminy,
każdy po dwa razy w całym rozumowaniu ale tylko raz w danym zdaniu. Termin
występujący w obu przesłankach to termin średni, orzecznik wniosku to termin
większy a podmiot wniosku to termin mniejszy.
Wynikanie
— wniosek wynika z przesłanek wtw, jeżeli jest n i e m o ż l i w e , żeby
wszystkie przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy.
Zasada brzytwy Ockhama
— zasada nawołująca do tego, by nie mnożyć bytów bez
potrzeby.
Zasada dwuwartościowości
— każde zdanie (w sensie logicznym) posiada jedną
z dwóch wartości logicznych: jest prawdziwe lub fałszywe.
Zasada niesprzeczności
— żadne zdanie stwierdzające jakiś stan rzeczy nie może być
zarazem prawdziwe i fałszywe. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby jakiś stan rzeczy
zachodził i nie zachodził zarazem.
Zasada racji dostatecznej
— zasada mówiąca, że dla każdego twierdzenia należy podać
wystarczające uzasadnienie, czyli dostateczną rację dla jego uznania.
Zasada życzliwej interpretacji
— taki sposób interpretowania tekstu w procesie
formalizacji, który stara się zachować logiczne relacje i własności (np. wynikanie
i niesprzeczność).
Zbiór uporządkowany
— zbiór, na którego elementy nałożono pewną relację
porządkującą. Dwa ważne rodzaje takich relacji to relacja częściowego porządku
i relacja liniowego porządku.
29
Zdania kategoryczne (asertoryczne)
— zdania podmiotowo-orzecznikowe, których
analizą zajmował się już Arystoteles, tworząc pierwszy system logiki. Wyróżniamy:
zdania ogólno-twierdzące (Każde S jest P — SaP), zdania ogólno-przeczące (Żadne
S nie jest P — SeP), zdania szczegółowo-twierdzące (Niektóre S są P — SiP), zdania
szczegółowo-przeczące (Niektóre S nie są P — SoP).
Znaczenie wyrażeń
— informacja przekazywana przez wyrażenie. Wyróżnia się dwa
rodzaje znaczenia:
ekstensję
(zakres, odniesienie, denotację),
intensję
(sens, treść).
W przypadku nazw ekstensją jest zbiór desygnatów nazwy (obiektów, do których
odnosi), a intensją zbiór cech desygnatów. W przypadku zdań ekstensją jest ich
wartość logiczna, a intensją sąd logiczny (komunikowany w zdaniu stan rzeczy).
30
Spis symboli
n — nazwa
z — zdanie
z/z — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego
z/z,z — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
z/n — funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu nazwowego
z/n,n — funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych
n/n — funktor nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego
n/n, n — funktor nazwotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
(z/n)/(z/n) — funktor funktorotwórczy (tworzy funktor o kategorii z/n) od jednego
argumentu funktorowego kategorii z/n
Z
1
, Z
2
— zdania oznajmujące
p, q, r, s, t — zmienne zdaniowe (dowolne zdania oznajmujące)
X — zbiór zdań
X / p — schemat rozumowania o przesłankach X i wniosku p ( X, zatem p)
¬p — negacja p (nieprawda, że p)
(p ∧ q) — koniunkcja p i q (p i q)
(p ∨ q) — alternatywa p i q (p lub q)
(p → q) — implikacja o poprzedniku p i następniku q (jeżeli p, to q)
(p ↔ q) — równoważność p i q (p wtedy i tylko wtedy, gdy q)
1 — symbol prawdy
0 — symbol fałszu
S — podmiot (subiectum) zdania kategorycznego
P — orzecznik (predicatum) zdania kategorycznego
T — termin średni
S’ — nazwa zaprzeczona (nie-S)
SaP — zdanie ogólno-twierdzące (Każde S jest P)
SeP — zdanie ogólno-przeczące (Żadne S nie jest P)
SiP — zdanie szczegółowo-twierdzące (Niektóre S są P)
SoP — zdanie szczegółowo-przeczące (Niektóre S nie są P)
∅ — zbiór pusty
S∪P — suma zbiorów S i P
S∩P — iloczyn (przekrój) zbiorów S i P
31
S−P — różnica zbiorów S i P
−S — dopełnienie zbioru S
S ⊆ P — relacja zawierania (S jest podzbiorem P)
a, b, c — stałe nazwowe
x, y, z — zmienne nazwowe
A – Z — predykaty
∀x — kwantyfikacja ogólna (duża, uniwersalna) zmiennej x (dla każdego x)
∃x — kwantyfikacja szczegółowa (mała, egzystencjalna) x (dla pewnego x)