Analiza Matematyczna II
Lista zada´n
Jacek Cicho´n
Informatyka, WPPT PWr
Wrocław 2011
1
Przestrze ´n R
n
Zadanie 1 — Oblicz k ˛
at pomi˛edzy wektorami (1, 1, 1) i (0, 0, 1).
Zadanie 2 — Niech A = (1, 2), B = (3, 4), C = (−2, −1). Korzystaj ˛
ac z iloczynu
skalarnego oblicz długo´sci boków oraz wszystkie k ˛
aty w trójk ˛
acie ABC.
Zadanie 3 — Niech A = (1, 2, 1), B = (3, 4, 1), C = (−2, −1, 3). Korzystaj ˛
ac z
iloczynu skalarnego oblicz długo´sci boków oraz wszystkie k ˛
aty w trójk ˛
acie ABC
Zadanie 4 — Napisz równanie płaszczyzny przechodz ˛
acej przez punkty (1, 2, 0), (0, 1, 2),
(1, 1, 1) oraz oblicz odległos´c punktu (2, 2, 1) od tej płaszczyzny.
Zadanie 5 — Poka˙z, ˙ze dla dowolnego x ∈ R
n
mamy |x| ≤
P
n
i=1
|x
i
|.
Zadanie 6 — Poka˙z, ˙ze je´sli hx, yi = 0 to |x + y|
2
= |x|
2
+ |y|
2
.
Zadanie 7 — Przekształcenie liniowe T : R
n
→ R
n
zachowuje norm˛e je´sli |x| =
|T (x)| oraz zachowuje iloczyn skalarny je´sli hx, yi = hT (x), T (y)i dla dowolnych
x, y ∈ R
n
.
1. Poka˙z, ˙ze odwzorowanie liniowe T zachowuje norm˛e wtedy i tylko wtedy, gdy
zachowuje iloczyn skalarny.
2. Poka˙z, ˙ze przekształcenie liniowe zachowuj ˛
ace norm˛e jest ró˙znowarto´sciowe.
Zadanie 8 — Odwzorowanie liniowe T : R
n
→ R
n
zachowuje k ˛
aty je´sli
∠(x, y) =
∠(T (x), T (y)) dla dowolnych x, y ∈ R
n
. Poka˙z, ˙ze je´sli T zachowuje norm˛e to za-
chowuje k ˛
aty.
Zadanie 9 — Niech T : R
2
→ R
2
b˛edzie odwzorowaniem liniowym o macierzy
M
T
=
cos t
sin t
− sin t
cos t
.
1. Poka˙z, ˙ze T zachowuje k ˛
aty.
2. Poka˙z, ˙ze
∠(x, T (x)) = t dla ka˙zdego x ∈ R
n
.
Zadanie 10 — Na przestrzeni R
2
okre´slamy metryk˛e wzorem d
1
((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)) =
|x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
|.
1. Sprawd´z, ˙ze funkcja ta jest metryk ˛
a.
2. Wyznacz K((0, 0), 1) w tej metryce
3. Poka˙z, ˙ze metryka ta jest niezmiennicza na translacje
1
Zadanie 11 — Na przestrzeni R
2
okre´slamy metryk˛e wzorem d
∞
((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)) =
max{|x
1
− x
2
|, |y
1
− y
2
|}.
1. Sprawd´z, ˙ze funkcja ta jest metryk ˛
a.
2. Wyznacz K((0, 0), 1) w tej metryce
3. Poka˙z, ˙ze metryka ta jest niezmiennicza na translacje
Zadanie 12 — Niech (X, d) b˛edzie przestrzeni ˛
a metryczn ˛
a z metryk ˛
a d okre´slon ˛
a
wzorem
d(x, y) =
0
:
x = y
1
:
x 6= y
1. Niech x ∈ X. Wyznacz K(x, 1) oraz K(x, 2).
2. Niech (a
n
) b˛edzie ci ˛
agiem elementów przestrzeni X oraz g ∈ X Poka˙z, ˙ze
(lim
n
a
n
= g) ⇔ (∃n)(∀m > n)(a
n
= g)
Zadanie 13 — Oblicz granice nast˛epuj ˛
acego ci ˛
agu
a
n
=
n + 1
n + 2
,
2n + 1
2n + n
2
,
n
p
n
2
+ 1,
1 −
2
n
n
.
punktów przestrzeni R
4
.
Zadanie 14 — Poka˙z, ˙ze definicja granicy w przestrzeni metrycznej jest okre´slona
jednoznacznie, czyli, ˙ze je´sli lim
n
a
n
= g
1
oraz lim
n
a
n
= g
2
to g
1
= g
2
.
Wska-
zówka: Załó˙z, ˙ze g
1
6= g
2
. Niech r = d(g
1
, g
2
). Wtedy r > 0. Poka˙z, ˙ze B(g
1
, r/2) ∩
B(g
2
, r/2) = ∅. Skorzystaj teraz z definicji granicy.
Zadanie 15 — Niech (a
n
)
n≥0
b˛edzie ci ˛
agiem elementów przestrzeni metrycznej (X, d)
oraz niech g ∈ X. Poka˙z, ˙ze lim
n
a
n
= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n
d(a
n
, g) = 0.
Zadanie 16 — Niech (X, ρ) oraz (Y, η) b˛ed ˛
a przestrzeniami metrycznymi. Na pro-
dukcie X × Y okre´slamy funkcj˛e
d ((x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)) =
p
ρ
2
(x
1
, x
2
) + η
2
(y
1
, y
2
) .
1. Poka˙z, ˙ze (X × y, d) jest przestrzeni ˛
a metryczn ˛
a.
2. Niech ((x
n
, y
n
))
n≥0
b˛edzie ci ˛
agiem elementów przestrzeni X × Y oraz niech
g = (g
1
, g
2
) ∈ X × Y . Poka˙z, ˙ze lim
n
(x
n
, y
n
) = g wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
n
x
n
= g
1
oraz lim
n
y
n
= g
2
3. Uogólnij to zadanie na produkt dowolnej sko´nczonej liczby przestrzeni me-
trycznych.
Zadanie 17 — Niech A, B b˛ed ˛
a podzbiorami otwartymi przestrzeni metrycznej X.
Poka˙z, ˙ze A ∩ B jest równie˙z otwartym podzbiorem przestrzeni X.
Zadanie 18 — Niech F b˛edzie dowoln ˛
a rozdzin ˛
a podzbiorów otwartych przestrzeni
metrycznej X. Poka˙z, ˙ze
S F jest równie˙z otwartym podzbiorem przestrzeni X.
Zadanie 19 — Niech A, B b˛ed ˛
a podzbiorami domkni˛etymi przestrzeni metrycznej X.
Poka˙z, ˙ze A ∩ B jest równie˙z domkni˛etym podzbiorem przestrzeni X.
Zadanie 20 — Niech F b˛edzie dowoln ˛
a rozdzin ˛
a podzbiorów domknietych przestrzeni
metrycznej X. Poka˙z, ˙ze
T F jest równie˙z domkni˛etym podzbiorem przestrzeni X.
2
2
Granice funkcji, ci ˛
agło´s´c
Zadanie 21 — Oblicz nast˛epuj ˛
ace granice (lub poka˙z, ˙ze granice te nie istniej ˛
a)
1. lim
(x,y)→(1,2)
(x + xy + 2, x sin(x + y))
2. lim
(x,y)→(0,0)
x
2
y
x
2
+y
2
3. lim
(x,y)→(0,0)
x
2
−y
2
x
2
+y
2
, lim
(x,y)→(0,0)
xy
x
2
+y
2
, lim
(x,y)→(0,0)
x−y
x
2
+y
2
4. lim
(x,y)→(0,0)
2x
2
y
x
2
+y
2
, lim
(x,y)→(π,π)
x sin
x+y
2
5. lim
(x,y)→(0,0)
x ln(x
2
+ y
2
).
Zadanie 22 — Niech f (x, y) =
x
2
x
2
+y
2
. Poka˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby a ∈ [0, 1] istnieje
taki ci ˛
ag punktów ((x
n
, y
n
))
n≥0
zbie˙zny do punktu (0, 0) taki, ˙ze lim
n
f (x
n
, y
n
) = a.
Zadanie 23 — Jakie jest globalne minimum funkcji f (x, y) = (x−2y)
2
+1 i w jakich
punktach jest ono osi ˛
agane?
Zadanie 24 — Jakie jest globalne maksimum funkcji g(x, y) =
2
x
2
+y
2
+1
i w jakich
punktach jest ono osi ˛
agane?
Zadanie 25 — Niech w
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , w
k
(x
1
, . . . , x
n
) b˛ed ˛
a funkcjami wymier-
nymi zmiennych x
1
, . . . , x
n
. Niech F : R
n
→ R
k
b˛edzie okre´slona wzorem
F (x
1
, . . . , x
n
) = (w
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , w
k
(x
1
, . . . , x
n
)) .
Poka˙z, ˙ze F jest ci ˛
agła. Opisz jej dziedzin˛e.
Zadanie 26 — Niech (X, d) b˛edzie przestrzeni ˛
a metryczn ˛
a zdefiniowan ˛
a w zadaniu
12.
1. Niech (Y, ρ) bedzie dowolna przestrzeni ˛
a metryczn ˛
a. Poka˙z, ˙ze ka˙zda funkcja
f : X → Y jest ci ˛
agła.
2. Poka˙z, ˙ze jesli f : R → (X, d) jest ci ˛
agła, to jest stała.
Zadanie 27 — Niech f : (X, d) → (Y, ρ) b˛edzie ci ˛
agła oraz niech b ∈ Y . Poka˙z, ˙ze
zbiór f
−1
({b}) jest zbiorem domkni˛etym.
3
Ró˙zniczkowanie
Zadanie 28 — Oblicz pochodne cz ˛
astkowe nast˛epuj ˛
acych funkcji:
1. f (x, y, z) = x
y
2. f (x, y, z) = x
y+z
3. f (x, y, z) = x
4. f (x, y) = sin(x cos y)
5. f (x, y, z) = (x + y)
z
6. f (x, y) = sin(xy).
Zadanie 29 — Wyznacz wszystkie pochodne cz ˛
astkowe rz˛edu ≤ 3 funkcji f (x, y, z) =
x
4
y
3
z
2
.
Zadanie 30 — Niech f (x, y, z) =
1
√
x
2
+y
2
+z
2
. Poka˙z, ˙ze funkcja f spełnia nast˛epu-
j ˛
ace równanie
∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
+
∂
2
f
∂y
2
= 0
3
Zadanie 31 — Załó˙zmy, ˙ze funkcja g : R → R jest ci ˛
agła. Znajd´z pochodne cz ˛
ast-
kowe nast˛epuj ˛
acych funkcji
1. f (x, y) =
R
x+y
a
g(t)dt.
2. f (x, y) =
R
y
x
g(t)dt.
Zadanie 32 — Niech f, g : R → R b˛ed ˛
a funkcjami rózniczkowalnymi. Niech h(x, t) =
f (x + at) + g(x − at) Poka˙z, ˙ze funkcja h spełnia nast˛epuj ˛
ace równanie
∂
2
h
∂t
2
= a
2
∂
2
h
∂x
2
Zadanie 33 — Niech f : R
2
→ R b˛edzie okreslona wzorem f(x, y) =
p|xy|. Po-
ka˙z, ˙ze f nie jest rózniczkowalna w punkcje (0, 0).
Zadanie 34 — Załó´zmy, ˙ze f : R
n
→ R spelnia nierównosc |f(x)| ≤ |x|
2
. Poka˙z, ˙ze
f jest ró˙zniczkowalna w punkcie 0.
Zadanie 35 — Niech f (t) = (r cos(ωt), r sin(ωt)).
1. Wyznacz f
0
(t), |f
0
(t)|, f
00
(t), |f
00
(t)|.
2. Poka˙z, ˙ze hf (t), f
0
(t)i = 0 i podaj fizyczn ˛
a interpretacj˛e tego faktu.
Zadanie 36 — Niech f (x, y) = hx, yi. Wyznacz f
0
(x, y).
Zadanie 37 — Załó˙zmy, ˙ze f : R
n
→ R jest taka, ˙ze f
0
(x) = 0 w ka˙zdym punkcie
x. Poka˙z, ˙ze f jest funkcj ˛
a stał ˛
a.
Zadanie 38 — Niech f (0, 0) = 0 oraz
f (x, y) = xy
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
,
jesli
(x, y) 6= (0, 0)
Poka˙z, ˙ze
1. f ,
∂f
∂x
,
∂f
∂y
s ˛
a ci ˛
agłe.
2. Pochodne cz ˛
astkowe
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
2
f
∂y∂x
istniej ˛
a w ka˙zdym punkcie przestrzeni R
2
i s ˛
a
ci ˛
agłe poza punktem (0, 0).
3.
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) = 1,
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) = −1
Zadanie 39 — Znajd´z ekstrema lokalne funkcji:
1. f (x, y) = x
2
+ y
2
+
2
xy
2. g(x, y) = xy ln(x + y)
3. h(x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 15x − 12y
4. k(x, y) = xy +
1
x
+
1
y
5. l(x, y) = e
2x
x + y
2
+ 2y
6. n(x, y) = sin(x) sin(y) sin(x + y)
7. m(x, y) = sin(x) + cos(y) + cos(x − y)
8. p(x, y) = x
3
− 2xy + y
2
− x
Zadanie 40 — Poka˙z, ˙ze funkcja f (x, y) = (1 + e
x
) cos(y) + xe
x
ma niesko´nczenie
wiele lokalnych minimów ale nie ma ˙zadnego lokalnego maksimum.
Zadanie 41 — Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
1. f (x, y, z) = x
4
− y
3
+ 2z
3
− 2x
2
+ 6y
2
− 3z
2
4
2. g(x, y, z) = x
3
+ xy + y
2
− 2xz + 2z
2
+ 3y − 1
3. h(x, y, z) = xyz(4 − x − y − z)
4. m(x, y, z) = sin(x + y + z) − sin x − sin y − sin z
Zadanie 42 — Rozwi´n w szereg Taylora funkcj˛e f (x, y) = x
2
+ y
2
− 2xy w punkcie
(1, 1).
Zadanie 43 — Rozwi´n w szereg Taylora funkcj˛e f (x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
− 3xyz
w punkcie (1, 1, 1).
Zadanie 44 — Wyznacz przybli˙zenie Taylora rz˛edu 2 funkcji f (x, y) =
cos x
cos y
w punk-
cie (0, 0).
Zadanie 45 — Wyznacz przybli˙zenie Taylora rz˛edu 2 funkcji f (x, y, x) =
1
1+x
2
+y
2
+z
2
w punkcie (0, 0, 0).
Zadanie 46 — Poka˙z, ˙ze int(A) jest najwi˛ekszym (w sensie inkluzji) zbiorem otwar-
tym zawartym w zbiorze A.
Zadanie 47 — Poka˙z, ˙ze int(A) = (cl(A
c
))
c
oraz cl(A) = (int(A
c
))
c
.
Zadanie 48 — Poka˙z, ˙ze cl(A) jest najmniejszym zbiorem domkni˛etym zawieraj ˛
a-
cym zbiór A.
Zadanie 49 — Poka˙z, ˙ze
1. int(int(A)) = int(A),
2. cl(cl(A)) = cl(A),
3. int(A) ∩ int(B) = int(A ∩ B),
4. cl(A) ∪ cl(B) = cl(A ∪ B),
5. int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B),
6. cl(A ∩ B) ⊆ cl(A) ∩ cl(B).
7. Podaj przykład dwóch zbiorów A, B ⊆ R takich, ˙ze int(A)∪int(B) 6= int(A∪
B).
Zadanie 50 — Niech A = ([0, 1] ∩ Q) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ [5, 6]. Wyznacz zbiory cl(A),
int(A), cl(int(A)), int(cl(A)), int(cl(int(A))), cl(int(cl(A))).
Zadanie 51 — Napisz równania płaszczyzn stycznych oraz wektora normalnego do
powierzchni w R
3
wyznaczonych podan ˛
a funkcj ˛
a w podanym punkcie:
1. f (x, y) = 1 − (x
2
+ y
2
), P = (1, 1, f (1, 1))
2. f (x, y) = xe
x+y
, P = (0, 0, 0)
Zadanie 52 — Wyznacz waro´s´c minimaln ˛
a oraz maksymaln ˛
a funkcji f (x, y) = x
2
−
x + y
2
− 4y na zbiorze D = {(x, y) ∈ R
2
: 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∧ x + y ≤ 3}.
Zadanie 53 — Wyznacz waro´s´c minimaln ˛
a oraz maksymaln ˛
a funkcji f (x, y) =
e
x−y
x
2
+y
2
na zbiorze D = {(x, y) ∈ R
2
: 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 9}.
Zadanie 54 — Poka˙z, ˙ze suma dwóch zbiorów zwartych jest zwarta.
Zadanie 55 — Poka˙z, ˙ze przekrój dowolnej rodziny zbiorów zwartych jest zwarta.
Zadanie 56 — Korzystaj ˛
ac z twierdzenia o funkcji uwikłanej znajd´z równanie prostej
stycznej do hiperboli zadanej równaniem
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 w punkcie (x
0
, y
0
).
5
Zadanie 57 — Załó˙zmy, ˙ze z = F (x, y) jest funkcj ˛
a klasy C
1
, F (a, b) = 1 oraz
∂F
∂x
(a, b) 6= 0 lub
∂F
∂y
(a, b) 6= 0. Poka˙z, ˙ze
∂F
∂x
(a, b)(x − a) +
∂F
∂y
(a, b)(y − b) = 0
jest równaniem prostej stycznej do krzywej zadanej równaniem F (x, y) = 0 w punkcie
(a, b).
Zadanie 58 — Wyznacz równanie prostej stycznej do krzywej y + ln y + x
3
= 0 w
punkcie (−1, 1).
Zadanie 59 — Korzystaj ˛
ac z metody mno˙zników Lagrange’a wyznacz maksimum i
minimum funkcji f (x, y) = 5x − 3y na zbiorze D = {(x, y) : x
2
+ y
2
= 136}.
Zadanie 60 — Korzystaj ˛
ac z metody mno˙zników Lagrange’a wyznacz maksimum i
minimum funkcji f (x, y) = 4x
2
+ 10y
2
na zbiorze D = {(x, y) : x
2
+ y
2
≤ 4}.
Zadanie 61 — Wyznacz ekstrema funkcji f (x, y, z) = 4y − 2z na zbiorze wyznaczo-
nym przez warunki 2x − y − z = 2 oraz x
2
+ y
2
= 1.
Zadanie 62 — Zmaksymalizuj funkcj˛e f (x
1
, . . . , x
n
) = −
P
n
i=1
x
1
ln x
1
na zbiorze
D = {~
x ∈ R
n
:
P
i
x
1
= 1 ∧ x
1
> 0 ∧ . . . ∧ x
n
> 0}.
4
Całkowanie
Zadanie 63 — Załó˙zmy, ˙ze A
0
⊇ A
1
⊇ A
2
⊇ . . . jest ci ˛
agiem niepustych zbiorów
zwartych. Poka˙z, ˙ze
T
n
A
n
6= ∅. Czy podobny fakt jest prawdziwy dla zbiorów
domkni˛etych?
Zadanie 64 — Niech A ⊆ R
n
oraz x ∈ R
n
. Niech A + x = {a + x : a ∈ A}. Poka˙z,
˙ze λ
∗
(A) = λ
∗
(A + x).
Zadanie 65 — Niech ~a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
n
. Rozwa˙zmy odwzorowanie liniowe
L : R
n
→ R
n
okre´slone wzorem L(x) = h~a, xi. Poka˙z, ˙ze dla dowolnego A ⊆ R
n
mamy λ
∗
(L(A)) = a
1
· · · a
n
· λ
∗
(A).
Wskazówka: Poka˙z to najpierw dla dowolnego
przedziału; skorzystaj z tego, ˙ze dla dowolnego przedziału P ⊂ R
n
mamy λ
∗
(P ) =
vol(P ).
Zadanie 66 — Poka˙z, ˙ze funkcja f : R
n
→ R jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnych a, b ∈ R zbiór f
−1
((a, b)) jest mierzalny.
Zadanie 67 — Poka˙z, ˙ze ka˙zdy otwarty podzbiór R jest sum ˛
a przeliczalnej rodziny
odcinków otwartych.
Zadanie 68 — Poka˙z, ˙ze funkcja f : R
n
→ R jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnego zbioru otwartego U ⊆ R zbiór f
−1
(U ) jest mierzalny.
Wskazówka:
Skorzystaj z poprzedniego zadania.
Zadanie 69 — Niech (X, d) i (Y, ρ) b˛ed ˛
a przestrzeniami metrycznymi. Niech f :
X → Y . Poka˙z, ˙ze funkcja f jest ci ˛
agła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
zbioru otwartego U ⊆ R zbiór f
−1
(U ) jest otwarty.
Zadanie 70 — Załó˙zmy, ˙ze funkcje f, g : R
n
→ R s ˛a mierzalne. Poka˙z, ˙ze zbiory
{x : f (x) < g(x)}, {x : f (x) = g(x)}, {x : f (x) ≤ g(x)} s ˛
a mierzalne.
Wskazówka:
Zauwa˙z, ˙ze f (x) < g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy (∃q ∈ Q)(f (x) < q < g(x)).
Zadanie 71 — Oblicz całki z nast˛epuj ˛
acych funkcji prostych:
6
1.f
1
(x) = 1
Q
(x), (x ∈ R)
2.f
2
(x) = 1
[0,1]
(x) + 2 · 1
[0,2]
(x), (x ∈ R)
3.f
3
(x) = a · 1
P
(x), (x ∈ R
n
), gdzie P jest dowolnym przedziałem w R
n
i a jest
ustalon ˛
a liczba rzeczywist ˛
a.
4.f
4
(x) = 1
[0,2]×[0,2]
(x) + 1
[1,3]×[1,3]
(x), gdzie x ∈ R
2
.
Zadanie 72 — Oblicz nast˛epuj ˛
ace całki
1.
R
[0,1]×[1,2]
(xy
2
)dxdy
2.
R
[1,2]
2
x
y
dxdy
3.
R
1
0
R
1
0
xe
x+y
dxdy
4.
R
π
0
R
π
0
| sin(x + y)|dxdy
5.
RR
D
byc dxdy, gdzie D = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
< y < 1}
6.
R
1
0
R
1
0
max(x, 2y)dxdy
7.
RR
D
x sin(xy)dxdy, gdzie D = [0, 1] × [0, 2π].
8.
R
1
0
R
1
0
e
x−y
dxdy
9.
R
1
0
R
1
0
|x − y|dxdy
Zadanie 73 — Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛
a funkcjami całkowalnymi zmiennej rze-
czywistej. Poka˙z, ˙ze
R
R
2
f (x)g(y)dxdy =
R
R
f (x)dx ·
R
R
g(y)dy.
Zadanie 74 — Oblicz nast˛epuj ˛
ace całki:
1.
RRR
[0,1]
3
(xyz)dxdydz
2.
RRR
[0,1]
3
(x + y + z)dxdydz
3.
RRR
T
(x
2
+ y
2
+ z
2
)dxdydz, gdzie T = {(x, y, z) : x ≥ 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x ≥
0 ∧ x + y + z <= a}.
Zadanie 75 — Znajd´z obj˛eto´s´c przeci˛ecia dwóch cylindrów C
1
= {(x, y, z) : x
2
+
y
2
≤ r
2
} oraz C
2
= {(x, y, z) : x
2
+ z
2
≤ r
2
}.
Zadanie 76 — Wytnijmy z kuli K={(x, y, z) : x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1} paraboloid˛e B=
{(x, y, z) : z > x
2
+ y
2
}. Oblicz obj˛eto´s´c bryły K \ A.
Zadanie 77 — Niech f (x, y) =
x
2
−y
2
(x
2
+y
2
)
2
.
1. Poka˙z, ˙ze funkcja f jest lebesgowsko mierzalna.
2. Poka˙z, ˙ze funkcja f nie jest całkowalna w sensie Lebesque’a na zbiorze [0, 1]
2
.
3. Oblicz
R
1
0
R
1
0
f (x, y)dy)
dx.
Wskazówka: Przyda´c ci sie mo˙ze nast˛epuj ˛
aca
to˙zsamo´s´c (x
2
− y
2
)/(x
2
+ y
2
)
2
= (x
2
+ y
2
− 2y
2
)/(x
2
+ y
2
)
2
= 1/(x
2
+ y
2
) −
2y
2
/(x
2
+y
2
)
2
oraz nast˛epuj ˛
aca obserwacja yd(1/(x
2
+y
2
))/dy = −2y
2
/(x
2
+
y
2
)
2
.
4. Oblicz
R
1
0
R
1
0
f (x, y)dx)
dy
5. Porównaj otrzymane wyniki z twierdzeniem Fubbiniego.
Zadanie 78 — Oblicz całki
1.
R
[0,1]
n
max(x
1
, . . . , x
n
)dx
1
. . . dx
n
2.
R
[0,1]
n
min(x
1
, . . . , x
n
)dx
1
. . . dx
n
7
Zadanie 79 —
Zasada Cavalieriego
Niech A i B b˛ed ˛
a dwoma mierzalnymi
podzbiorami R
2
. Niech A
x
= {y : (x, y) ∈ A} oraz B
x
= {y : (x, y) ∈ B}. Załózmy,
˙ze dla ka˙zdego x ∈ R λ
(1)
(A
x
) = λ
(1)
(B
x
). Poka˙z, ˙ze λ
(2)
(A) = λ
(2)
(B).
Uogólnij to zadanie na wieksz ˛
a liczb˛e wymiarów.
Zadanie 80 — Niech T b˛edzie niezdegenerowanym trójk ˛
atem na płaszczy´znie R
2
o
wszystkich współrz˛ednych całkowitych. Poka˙z, ˙ze λ
2
(P ) ≥
1
2
. Uogólnij to zadanie na
trzy wymiary.
Zadanie 81 — Oblicz całki
RR
K
sin(x
2
+ y
2
)dxdy i
RR
K
sin
p
x
2
+ y
2
dxdy na kole
K = {(x, y) : x
2
+ y
2
≤ π
2
}.
Zadanie 82 — Wyprowad´z wzór na obj˛eto´s´c elipsoidy zadanej wzorem
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
≤ 1 sprowadzaj ˛
ac ten problem do wzoru na obj˛eto´s´c kuli.
Zadanie 83 — Oblicz całk˛e
RR
D
(x
2
+ y
2
)dxdy na obszarze D = {(x, y) : (x − a)
2
+
y
2
≤ a
2
}.
Zadanie 84 — Oblicz całki
RR
R
2
1
1+x
2
+y
2
dxdy oraz
RRR
R
3
1
1+x
2
+y
2
+z
2
dxdydz.
Wska-
zówka: Zastosuj współrz˛edne biegunowe i sferyczne.
Zadanie 85 — Policzy´c obj˛eto´s´c bryły ograniczonej przez powierzchni˛e sto˙zka z =
p
x
2
+ y
2
le˙z ˛
ac ˛
a nad powierzchni ˛
a koła x
2
+ y
2
≤ 1.
Wskazówka: Zastosuj współ-
rz˛edne walcowe.
Zadanie 86 — Oblicz obj˛eto´s´c bryły
D = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤
p
x
2
+ y
2
∧ x
2
+ y
2
≤ 1}
Wskazówka: Zastosuj współrz˛edne cylindryczne.
Zadanie 87 —
1. Oblicz obj˛eto´s´c bryły ograniczonej powierzchni ˛
a zadan ˛
a rów-
naniem (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
= x
2
+ y
2
.
Wskazówka: Zastosuj współrz˛edne cylin-
dryczne.
2. Oblicz obj˛eto´s´c bryły ograniczonej powierzchni ˛
a zadan ˛
a równaniem (
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
)
2
=
x
2
a
2
+
y
2
c
2
.
Wskazówka: Zastosuj odwzorowanie J (x, y, z) =
(ax, by, cz) i sprowad´z to zadanie do wynku z poprzedniego punktu.
Zadanie 88 — Niech L : R
n
→ R
n
b˛edzie odwzorowaniem liniowym. Niech D b˛e-
dzie mierzalnym podzbiorem zbiorem R
n
. Jaki jest zwi ˛
azek pomi˛edzy miarami zbio-
rów D oraz ~
L(D)?
Zadanie 89 — Załózmy, ˙ze σ > 0. Oblicz całk˛e
R
R
e
−
(x−µ)2
2σ2
dx.
Wskazówka: Zredu-
kuj to zadanie do wzoru
R
R
e
−x
2
dx =
√
π, który udowodnili´smy na wykładzie.
5
Elementy Analizy Wektorowej
Uwaga: całk˛e
R
γ
~
F • ~
dl oznaczamy równie˙z symbolem
R (F
1
(~
x)dx
1
+. . . +F
n
(~
x)d
xn
)
Zadanie 90 — Oblicz
R
γ
(xydx + (y − x)dy) po krzywej γ ł ˛
acz ˛
acej punkty (0, 0) i
(1, 1) wzdlu˙z nastepuj ˛
acych krzywych:
1. linia y = x
2. parabola y = x
2
3. paraboli y =
√
x
8
Zadanie 91 — Niech γ : [0, 2π] → R
2
b˛edzie parametryzacj ˛
a okr˛egu o promieniu
r oraz niech δ b˛edzie parametryzacj ˛
a kwadratu o wierzchołkach (0, 0), (π, 0),(π, π) i
(0, π). Oblicz nastepuj ˛
ace całki:
1.
R
γ
(xydx + (x + y)dy),
R
δ
(xydx + (x + y)dy)
2.
R
γ
((x − y)dx + (x + y)dy),
R
δ
((x − y)dx + (x + y)dy)
Zadanie 92 — Niech F (x, y, z) = (x, y, z) oraz r(t) = (cos t, sin t, t
2
) dla t ∈
[0, 2π]. Oblicz
R
r
~
F • ~
dl.
Zadanie 93 — Niech γ : [a, b] → R
n
b˛edzie gładkie i ~
F : R
n
→ R
n
b˛edzie polem
wektorowym. Definiujemy (−γ) : [a, b] → R
n
wzorem (−γ)(t) = γ((a − t) + b).
Poka˙z, ˙ze
R
(−γ)
~
F • ~
dl = −
R
γ
~
F • ~
dl.
Zadanie 94 — Poka˙z, ˙ze
R
γ
(F + G) • ~
dl =
R
γ
F • ~
dl +
R
γ
G • ~
dl.
9