Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 1
2007-03-20
3.5. Zasada obliczeń wartości kątów z róŜnicy azymutów.
Azymuty liczone są ze współrzędnych (pośrednich) podanych w
punkcie 1.4.
Kąt o wierzchołku w B:
ϕ
ϕ
gdzie: A - azymut
A
BA ⇒
φ
BA
= arctg
B
A
B
A
x
x
y
y
−
−
= …
ϕ
BA
= …
IV ćw.
⇒
A
BA
= 360,0°- φ
BA
=…
Proszę do obliczenia azymutów pozostawić jak najdłuŜszy
ułamek dziesiętny. Kąty obliczane tą metodą są podawane w
stopniach (chyba, Ŝe ktoś przestawi kalkulator na grady).
A
BC ⇒
ϕ
BC
= arctg
B
C
B
C
x
x
y
y
−
−
= …
III ćw.
⇒
A
BC
= 180,0°+ φ
BC
=
< ABC = A
BA
- A
BC
⇒
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 2
2007-03-20
Kąt o wierzchołku w A:
A
AC ⇒
φ
AC
= arctg
0
,
86
0
,
579
4
,
1125
5
,
1116
−
−
= …
II ćw.
⇒
A
AC
=180,0°- φ
AC
= ...
A
AB ⇒
φ
AB
= φ
BA
II ćw.
⇒
A
AB
= 180,0°- φ
AB
= ...
<BAC = A
AC
- A
AB
⇒
…
Azymut AC
< BAC
C
Azymut AB
N
A
B
AB
AC
IV
I
II
III
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 3
2007-03-20
Kąt o wierzchołku w C:
A
CA ⇒
φ
CA
= φ
AC
IV ćw.
⇒
A
CA
= 360,0°- φ
CA
=...
A
CB ⇒
φ
CB
= φ
BC
I ćw.
⇒
A
CB
= φ
CB
= ...
<ACB = 360°- (A
CA
- A
CB
)
⇒
PowyŜszego wzoru do obliczania kąta o wierzchołku w
punkcie C uŜywamy tylko w przypadku gdy kierunek północy
znajduje się wewnątrz kąta (jak na rysunku powyŜej).
Obliczenia azymutów dla sytuacji z mapy w skali 1: 2000.
C
N
A
Azymut CA
< ACB
B
Azymut CB
CB
CA
IV
III
I
II
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 4
2007-03-20
Zestawienie wartości pomierzonych i obliczonych Tabela nr 3
Ozna-
czenie
kątów
Wartości
kątów
pomierzo-
ne w [
g
]
Wartości kątów
przeliczone z [
g
] na [
o
] wg
3.1
Kąty obliczone
metodą azymutów
wg 3.5 [
o
]
RóŜnica
kol.3 - kol.4
1
2
3
4
5
ABC
ACB
BAC
Suma
200,0
g
180,00
o
180
o
00’
180,00
o
180
o
00’
4.Pomiar wysokości punktów A,B,C.
Do obliczeń zastosowano następujące wzory (rysunek 2):
D
– odległość pomiędzy poziomicami
d
1
– odległość od niŜszej poziomicy do punktu
d
2
– odległość od wyŜszej poziomicy do punktu
∆
H
– odległość w pionie pomiędzy poziomicami
dh
1
, dh
2
– odległość w pionie punktu od niŜszej i wyŜszej
poziomicy.
4.1. Punkt A
d
1
= ...
d
2
= … D = …
∆
H = ...
dh
1
= ?
dh
2
= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.
H
A(1)
= 172,0 + dh
1
= …m
H
A(2)
= 173,0 - dh
2
= … m
( )
( )
m
H
H
H
A
A
A
....
2
2
1
=
+
=
4.2. Punkt B
d
1
= ...
d
2
= … D = …
∆
H = ...
dh
1
= ?
dh
2
= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 5
2007-03-20
4.3. Punkt C
d
1
= ...
d
2
= … D = …
∆
H = ...
dh
1
= ?
dh
2
= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.
Pozostałe obliczenia jak dla punktu A.
5. Pomiar i obliczenie powierzchni trójkąta ABC.
5.1. Metoda analityczna.
Do pomiaru powierzchni uŜyto współrzędnych pośrednich z punktu
1.4. (przed zaokrągleniem).
A ( X
A
; Y
A
)
B ( X
B
; Y
B
)
C ( X
C
; Y
C
)
Do obliczenia powierzchni zastosowano następujący wzór:
2P = Σ [x
i
(y
i+1
- y
i-1
)]
to znaczy:
)
Y
Y
(
X
)
Y
Y
(
X
)
Y
Y
(
X
P
2
B
A
C
A
C
B
C
B
A
−
+
−
+
−
=
P=2P/2
Dla sprawdzenia otrzymanych wartości skorzystano ze wzoru:
-2P = Σ [y
i
(x
i+1
- x
i-1
)]
to znaczy:
)
X
X
(
Y
)
X
X
(
Y
)
X
X
(
Y
P
2
B
A
C
A
C
B
C
B
A
−
+
−
+
−
=
−
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 6
2007-03-20
5.2. Metoda graficzna.
Do obliczeń metodą graficzną wykorzystano wzór Herona:
)
c
s
)(
b
s
)(
a
s
(
s
P
−
−
−
=
∆
gdzie: s – to połowa obwodu trójkąta,
a, b, c – to długości boków trójkąta
(
).
Do obliczeń przyjmujemy wartości pomierzone.
m
AC
c
m
....
...
BC
=
b
...m
=
AB
=
a
=
=
=
m
c
b
a
...
2
s
=
+
+
=
)
c
s
)(
b
s
)(
a
s
(
s
P
−
−
−
=
∆
5.3. Metoda mechaniczna (za pomocą planimetru
biegunowego)
Planimetr przykładowy pokazano na rysunku 3.
Pole obszaru obliczamy z wzoru:
P
∆
= c* n
k
Gdzie stałą c dla danej skali ustala się za pomocą wzoru na
podstawie znanego obszaru, kwadratu rozpiętego na krzyŜach
kresek (dla danego przykładu powierzchnia P=40000 m
2
):
k
n
P
c
=
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 7
2007-03-20
gdzie:
c - stała planimetru,
n
k
- średnia (czterokrotnie) zmierzonego planimetrem
obwodu zadanej powierzchni,
P - dla kwadratu o wymiarach 200 x 200 m na mapie w
skali 1: 2000, P = 40000 m
2
Kolejne pomiary planimetrem kwadratu (przy n wpisujemy
odczyty z planimetru:
n
1
=…
n
2
=…
n
3
=…
n
4
=…
n
5
=…
n
k
= (
Σ
∆
n
i
)/ 4 = …
lub
...
4
n
1
5
=
−
=
n
n
k
2
k
m
.....
n
kwadratu
Pole
c
=
=
Kolejne pomiary planimetrem trójkąta ABC:
n
1
=…
n
2
=…
n
3
=…
n
4
=…
n
5
=…
n
k
= (
Σ
∆
n
i
)/ 4 = …
lub
...
4
n
1
5
=
−
=
n
n
k
P
∆
= c * n
k
= ... m
2
∆
n
1
= n
2
-n
1
= 1016
∆
n
2
= n
3
-n
2
= 1015
∆
n
3
= n
4
-n
3
= 1012
∆
n
4
= n
5
-n
4
= 1010
RóŜnica pomiędzy róŜnicami
odczytów nie większa niŜ 20
jednostek pomiędzy najmniejszą a
największą wartością !!!!!
∆
n
1
= n
2
-n
1
= 1016
∆
n
2
= n
3
-n
2
= 1015
∆
n
3
= n
4
-n
3
= 1012
∆
n
4
= n
5
-n
4
= 1010
RóŜnica pomiędzy róŜnicami
odczytów nie większa niŜ 20
jednostek pomiędzy najmniejszą a
największą wartością !!!!!
Ć
wiczenie z mapą cd. wzory
ElŜbieta Kokocińska-Pakiet
Strona 8
2007-03-20
RóŜnica pomiędzy pomiarem analitycznym, a pomiarem
mechanicznym
m
138,6
P
-
P
2
M
A
=
Błąd procentowy pomiaru:
....
100%
P
P
P
A
M
A
=
⋅
−
Błąd obliczamy w porównaniu do metody analitycznej.
ZAWSZE !!!!
5.4. Zestawienie wyników
Tabela nr 4
Metoda
Analityczna
Graficzna
(Herona)
Mechaniczna
1
2
3
4
Powierzchnia
[m
2
]
56076,5
56247,3
56215,1
kol.2 – kol.2
kol.3 – kol.2
kol.4 – kol.2
Błąd [%]
0,0
0,3
0,25
RóŜnica [m
2
]
0,0
+ 170,8
+ 138,6
6.Wnioski:
Proszę podać przyczynę ewentualnych błędów.