1. 

Omówi  

ogólnie 

podstawowe 

operacje 

na 

sygna ach. 

Co 

nazywamy 

dyskretyzacj

, uci

glan iem i aproksymacj

 sygna u?  

Glowna cecha sygnalu jest to ze neisie on informacje o zachowaniu systemow i naturze 

zjawisk. Obecnie dokonuje sie czesto zamiany sygnalu analogowgo na cyfrowy. Proces ten 

nazywamy dyskretyzacja.( digitalizacja ) Jest to przetwarzanie sygna u ci g ego

(analogowego) na sygna  dyskretny (cyfrowy). Sygna  analogowy, b d cy funkcj  ci g

okre lonego parametru (np. napi cia, temperatury itp.), najcz

ciej wzgl dem czasu, podlega 

próbkowaniu, tzn. jego warto

 mierzona jest w bardzo krótkich odst pach czasu. Pe ny

zakres warto ci sygna u dzielony jest na przedzia y (operacja kwantowania, kwantyzacji), 

którym przypisywane s  kody liczbowe, tzw. s owa kodowe, zapisywane zwykle w systemie 

dwójkowym (binarnym). Ka dy przedzia  musi posiada  inne s owo kodowe, dlatego 

maksymalna liczba przedzia ów zale na jest od liczby mo liwych kombinacji znaków w 

s owie, ta za  od d ugo ci s owa kodowego.Poszczególne warto ci sygna u (próbki) 

kwalifikowane s  do przedzia ów, w zakresie których si  mieszcz , a nast pnie s  im 

przydzielane kody liczbowe tych przedzia ów. W ten sposób sygna  ci g y zamieniany jest na 

zbiór kodów wyra aj cych jego warto ci dla wybranych warto ci czasu lub innej zmiennej 

niezale nej. Im wi cej próbek i wi ksza liczba przedzia ów warto ci, tym wierniej sygna

cyfrowy oddaje przebieg sygna u analogowego. Sygna y w postaci dyskretnej mog  by

przesy ane w sposób pewny, z wyeliminowaniem zniekszta ce  i mo liwo ci zagubienia 

sygna ów ma ej mocy w tzw. szumach; mog  te  by  magazynowane i analizowane w 

systemach komputerowych oraz wykorzystywane w urz dzeniach cyfrowych, a tak e - po 

przetworzeniu ponownie na sygna y ci g e - wykorzystywane w urz dzeniach analogowych. 

D.s. przeprowadza si  za pomoc  przetworników analogowo-cyfrowych. D.s. stanowi 

podstaw  techniki cyfrowej

.

Procesem odwrotnym jest uciaglanie sygnalu i do tego 

wykorzystuje sie aproksymacje. Do najbardziej znanych przyk adów dyskretyzacji nalezy 

numeryczne rozwiazywanie rownan w ktorych wszystkie operacje sa wykonywane na 

sygnalach cyfrowych.Obecnie wszelkie operacje dt/ obserwacji i sterowania systemami 

odbywaja sie  w dziedzinie dyskretnej, poniewaz znacznie latwiej prowadzic obserwacje na 

dziedzinie dyskretnej niz ciaglej. Proces uciaglania prowadzimy w celu znalezienia bardziej 

ogolnych prawidlowosci rzadzacych systemami. 

2. Poda  i omówi  klasyfikacje sygna ów.  

Sygna y dzieli si  na ci g H²ZLHONR

 reprezentuj ca wiadomo

 mo e przyjmowa

dowolne warto ci z ci g ego ich zbioru, i dyskretne (nieci g H²ZLHONR

 mo e przyjmowa

tylko pewne warto ci ze sko czonego ich zbioru, przy czym zarówno sygna y ci g e, jak i 

dyskretne mog  by : z czasem ci g ym, kiedy zmiany wielko ci przebiegaj  w dowolnych 

chwilach z ci g ego ich zbioru, i z czasem dyskretnym, kiedy zachodz  w  ci le okre lonych

chwilach; sygna y ci g e z czasem ci g ym to np. sygna y telefoniczne w telefonii tradycyjnej 

i sygna y radiofoniczne; sygna y ci g e z czasem dyskretnym to sygna y otrzymane w wyniku 

próbkowania sygna ów ci g ych z czasem ci g ym; sygna y dyskretne z czasem ci g \P²

np. sygna y na wyj ciu rejestratora cz stek wysy anych podczas rozpadu 

promieniotwórczego, sygna y telegraficzne i kodowe; sygna y dyskretne z czasem 

G\VNUHWQ\P²V\JQD y otrzymane w wyniku kwantowania sygna ów ci g ych z czasem 

dyskretnym. W technice bywa stosowany podzia  sygna ów na analogowe i cyfrowe; sygna y

analogowe s  to sygna y ci g e z czasem ci g ym,  

Sygnaly dzielimy na dyskretne i ciagle. Wsrod ciaglych wyrozniamy - ograniczone co do 

wartosci czyli takie ktorych wartosci liczbowe w calym zakresie zmiennej niezaleznej n nie 

przekraczaja pewnej liczby; o skonczonym czasie trwania czyli sygnaly rozne od zera w 

ograniczonym przedziale czasu oraz rowne zeru dla czasu spoza tego przedzialu; o 

ograniczonym widmie - zbior sygnalow, ktorych widmo X(jw) jest ograniczone przez stala 

W(widmo sygnalu - transformata Fouriera sygnalu x[n]) 

Sygnaly dyskretne moga miec skonczona lub nieskonczona dlugosc. Sygnal dyskretny o 

skonczonej dlugosci zawiera sie w przedziale od N1 do N2 przy czym N2>N1Czas twarnia 

sygnalu N=N2-N1+1 

sygnaly te dzielimy na kwantowane w pionie, poziomie oraz cyfrowe. 

3. Poda  klasyfikacje sygna ów dyskretnych. Jaki sygna  nazywamy cyfrowym?  

Sygnaly dyskretne moga miec skonczona lub nieskonczona dlugosc. Sygnal dyskretny o 

skonczonej dlugosci zawiera sie w przedziale od N1 do N2 przy czym N2>N1Czas twarnia 

sygnalu N=N2-N1+1 

sygnaly te dzielimy na kwantowane w pionie, poziomie oraz cyfrowe 

Sygna y cyfrowe to sygna y dyskretne, w przypadku których kolejne warto ci wielko ci

reprezentuj cej wiadomo

 s  liczbami nale

cymi do sko czonego zbioru, zwykle 

wynosz cymi 0 lub 1 (elementy binarne, dwójkowe, bity); najbardziej charakterystycznym 

parametrem takiego sygna u (zwanego sygna em binarnym) jest tzw. szybko

 bitowa, 

stanowi ca liczb  bitów przypadaj cych na dany przedzia  czasu; wyra a si  j  w bitach na 

sekund  (bit/s). Oddzia ywanie wiadomo ci na sygna  cyfrowy odbywa si  za po rednictwem 

odpowiedniego kodu; sygna y cyfrowe s

atwiejsze do przesy ania i przetwarzania, 

odporniejsze na zak ócenia i zniekszta cenia.  

Ze wzgl du na cz sto

 powtarzania mo na podzieli  je na:  

* sygna y o zadanym wzorze  

* sygna y losowe (wzór sygna u nie powtarza si  i nie da si  przewidzie  jaki b dzie w 

przysz o ci)

* sygna y pseudolosowe (wzór sygna u powtarza si , ale dopiero po d ugim czasie, w 

stosunku do czasu trwania pojedy czego bitu; sekwencja do czasu jej powtórzenia ma rozk ad

podobny do losowego). Przyk adem takiego sygna u jest sygna  zawieraj cy sekwencje 

PRBS.

4.  Poda   klasyfikacje  sygna ów  ze  wzgl

du  na  moc  i  energi

.  Obliczy

  moc  i 

energi

 okresowego sygna u pr

du sinusoidalnego postaci: i(t)=14 sin 314t, A

Sygnaly o skonczonej energii E<oo. Takie sygnaly MUSZA miec zerowa moc srednia - 

sygnal energii. przykladem sygnalu o skonczonej energii i zerowej mocy jest sygnal bramki 

sygnaly o skonczonej mocy sredniej i nieskonczonej energii. Jesli sygnal niesie niezerowa 

moc srednia to w nieskonczonym przedziale czasu uzyskamy nieskonczona ilosc energii. 

przykladem takiego sygnalu jest kazdy sygnal staly oraz sygnaly okresowe - sygnal mocy np. 

stalu x[n]=4 ktorego moc srednia wynosi 16 zas energia jest nieskonczenie duza 

syganaly ktorych moc i energia w nieskonczonym przedziale czasu maja nieskonczona 

wartosc.

5.  Poda   przyk ady  sygna ów  mocy  i  sygna ów  energii.  Obliczy   energi

  i  moc 

nast

puj

cego sygna u dyskretnego: x[n]=(1/2)

n

u[n]

Sygna y o sko czonej energii, E< . Takie sygna y musz  mie  zerow  moc  redni -sygna

energii. Przyk adem sygna u o sko czonej energii i zerowej mocy jest sygna  bramki. Sygna y

o sko czonej mocy  redniej i niesko czonej energii. Je li sygna  niesie niezerow  moc 

redni , to w niesko czonym przedziale czasu uzyskamy niesko czon  ilo

 energii. 

Przyk adem takiego sygna u jest ka dy sygna  sta y oraz sygna y okresowe-sygna  mocy, np. 

sygna  sta y x[n]=4, którego moc  rednia wynosi 16, za  energia jest niesko czenie du a.

Sygna y, których moc i energia maj  w niesko czonym przedziale czasu niesko czon

warto

.

Sygna  sta y: x(t)=1, tÎ(-oo,oo), x(t) jest sygna em o sko czonej mocy. 

6.  Omówi   transformacje  sygna ów  w  dziedzin ie  zmien nej  niezale nej.  Poda

przyk ady.  

3U]HVXQL FLHZF]DVLH, zwane przesuni FLHPID]RZ\P±V\JQD y opó nione i wyprzedzaj ce

(y[n]=x[n-nR@±Z]DOH no ci od znaku n

o

 system wprowadza opó nienie-n

o

>0 lub 

przyspieszenie nR‡

2GZUyFHQLHV\JQD X w dziedzinie czasu (odbicie wzgl dem pocz tku uk adu

wspó rz dnych) y[n]=x[-n] 

7. Podzia  sygn a ów deterministycznych  ze wzgl

du na czas trwania - przyk ady.

- sygna y o niesko czonym czasie trwania i o 

ograniczonej energii: 

> wyk adniczy malej cy

0

0

0

0

)

(

t

dla

t

dla

Ae

t

x

t

>sinusoidalny malej cy wyk adniczo 

0

0

0

0

),

sin(

)

(

0

t

dla

t

dla

t

Ae

t

x

t

>Sinc(t)

,...

2

,

1

,

0

,

1

,

2

...,

,

/

0

1

0

)

/(

)

sin(

)

(

0

0

0

0

k

k

t

dla

zerowe

miejsca

t

dla

t

dla

t

t

t

Sinc

>gaussowski 

x(t)=e

^(-

r

2

)

- sygna y impulsowe o ograniczonej energii: 

>impuls prostok tny 

5

.

0

|

|

1

5

.

0

|

|

5

.

0

5

.

0

|

|

0

)

(

)

(

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

x

>impuls trójk tny:

1

|

|

|

|

1

1

|

|

0

)

(

)

(

t

dla

t

t

dla

t

t

x

>impuls kosinusoidalny 

0

0

/

cos

)

(

t

t

t

x

>impuls wyk adniczy:

0

,

2

/

)

(

T

T

t

e

t

x

t

8.  Sygna   okresowy.  Poda   warunek  okresowo

ci  sygna u.  Czym si

  ró

ni  sygna

okresowy od sygna u prawie okresowego.  

6\JQD RNUHVRZ\

Definicja (sygna  okresowy). Sygna em okresowym nazywamy sygna  x(t) spe niaj cy

dla ka dego czasu t równo

:

x(t) = x(t +T) (2.7)

Obserwacje. Liczb  T nazywamy okresem sygna u. Najmniejsza liczba T spe niaj ca

(2.7) to okres podstawowy.

6\JQD \SUDZLHRNUHVRZH

'HILQLFMD%RKUD

Funkcj

[W  okre lon   i  ci g   dla  W 



  nazywamy  prawie  okresow   i  jednostajnie 

ograniczon , je eli  dla  dowolnego  ! istnieje liczba  O  taka,  e  ka dy  przedzia  [W WO ], 

zawiera co najmniej jedn  liczb 7 , zwan

-okresem, dla której 

'HILQLFMD%HVLFRYLWFKD

Funkcj

[W  okre lon   i  ci g   dla  W 



  nazywamy  prawie  okresow   i  jednostajnie 

ograniczon , je eli dla dowolnego  ! istnieje wielomian trygonometryczny 

taki,

e

3U]\N DG

Ruch Ksi

yca wokó  Ziemi opisuje funkcja prawie okresowa. Po o enia jego powtarzaj  si

w przybli eniu co 7 =27,5, 358, 1460, ... dni z rosn c  dok adno ci  (  maleje). 

3U]\N DG

Funkcja VLQ



WVLQ



W jest  okresowa  wtedy  i  tylko wtedy, gdy  iloraz 







 PQ, czyli jest 

liczb  wymiern . Wówczas okres wynosi 7  Q



  P



.

7ZLHUG]HQLH

Dla ka dej funkcji prawie okresowej x(t) istnieje ci g liczb rzeczywistych ^

` i zespolonych 

^; ` taki,  e szereg 

jest przy Q

 zbie ny w sensie normy __ __

0

 do [W, czyli 

t

x

T

t

x

sup

t

t

j

e

X

t

j

n

n

t

e

X

t

x

sup

n

n

t

j

e

X



GW

H

;

W

[

7



OLP

OLP



W

M

Q

Q





7





7

BBBBB

7

Q

9. 

Modulacja 

sygna ów. 

Jakie 

rodzaje 

modulacji 

sygna ów 

rozró QLDP\

±

wymien i . Omówi  modulacj

 amplitudow

.

Modulacja sygna u to samorzutna lub celowa zmiana parametrów sygna u.

Przyk adem mo e by  modulowany d wi k syreny alarmowej, w którym zmienia si

cz stotliwo

 generowanego przez syren  d wi ku.Rozró niamy 3 g ówne

modulacje  : 1. amplitudy 2.FAZY i 3.CZ STOTLIWOS I.

Je eli modulowany jest sygna  o charakterze sinusoidalnym, to proces ten mo e

powodowa  zmiany amplitudy. Modulacja amplitudy to jedna z trzech podstawowych 

rodzajów modulacji. Polega na zakodowaniu(modulator) sygna u informacyjnego 

(szerokopasmowego o ma ej cz stotliwo ci) w chwilowych zmianach amplitudy 

sygna u no nego (inaczej nazywanej fal  no n ). Uzyskany w wyniku sygna

zmodulowany jest sygna em w skopasmowym, który nadaje si  si  np. do transmisji 

drog  radiow .

10.  Rozk ad  sygna ów  n a  sk adowe.  Poda   jak  wyznaczamy  sk adow

  zmienn

  i 

sta

 sygn a u, sk adow

 parzyst

 i nieparzyst

.

- warto

rednia sygna u w przedziale czasu: 

2

1

)

(

1

1

2

t

t

dt

t

x

t

t

x

 - sygna  ci g y

2

1

]

[

1

1

1

2

n

n

n

n

x

n

n

x

 -

sygna   dyskretny 

- warto

rednia ca ego sygna u:

dt

t

x

x

)

(

2

1

lim

 -

sygna   ci g y

N

N

n

N

N

n

x

N

x

]

[

1

2

1

lim

 - 

 sygna   dyskretny 

- warto

rednia sygna u okresowego: 

okres

T

dt

t

x

T

x

T

t

t

T

,

)

(

1

0

0

;(ci g y)

)

1

(

0

0

],

[

1

N

n

n

n

N

n

x

N

x

 N- okres; (dyskretny) 

sk adow  sta

 sygna u jest jego warto

rednia, sk adowa zmienna to ró nica sygna u i jego 

sk adowej sta ej, 

sk adowa parzysta:

x

p

(t)=1/2[x(t)+x(-t)] 

sk adowa nieparzysta:

x

n

(t)=1/2[x(t)-x(-t)] 

x(t)=x

p

(t)+x

n

(t)

11. Wyznaczy  sk adow

 sta

 i zmienn

 nast

puj

cego sygna u ..x(t)=2sin

2

t.

sk adowa sta a:

x=

1

T

T

2

T

2

x t dt

sk adowa zmienna: 

x=xt-x

sin

2

x dx =

x

2

sin2x

4

C

x=

1

T

[

T

4

sinT

4

T

4

sinT

4

]=

1

T

T

2

=

1

2

x= 2 sin

2

t

1

2

12. 

Wyznaczy  

sk adow

 

parzysta 

i 

nieparzyst

 

nast

puj

cego 

sygn a u

.y(t)=4e

j10t

.

Ev {x(t)} = 

0,5*[xt*x-t]

Od {x(t)} = 

0,5*[xt-x-t]

y(t) = 4ej10t = 4cos(10t)+4j*sin(10t) 

y(-t) = 4ej10(-t) = 4cos(-10t)+4j*sin(-10t) = 4cos(10t)-4j*sin(10t) 

Ev {y(t)} =  

 

 

=4cos(10t) 

Od {y(t)} =  

 

 

=4j*sin(10t)

13.  Wymieni   sygna y  impulsowe  o  ograniczonej  energii  i  wyznaczy   energi

  dla 

dowolnie wybranego sygn a u.  

Energia dla impulsu prostok

tnego: 

E=

lim

T

T

x

2

t dt

=

lim [

0. 5

0 dt

0. 5

0. 5

1 dt

0.5

0 dt ]

= 0+1+0=1 

(pod limensem jest,  e T d

y do + niesko

czono

)

14.  Wymieni   sygna y  o  niesko

czonym  czasie  trwania  i  o  ograniczonej  energii  i 

wyzn aczy  energi

 dla wybranego sygna u.  

Energia  dla  wyk adniczego  malej

cego,  zak adam,  ze  A=1  i  L=1,  wiec  dla 

t

0

x(t)= e

-t

E=

lim

T

T

x

2

t dt

=

lim

0

T

e

2t

dt

=

lim [

e

2T

2

1

2

]

=

1

2

(pod limensem jest,  e T d

y do + niesko

czono

)

15.  Wymieni   sygna y  o  ograniczonej  mocy 

redniej.  Wyznaczy   moc  dla 

wybranego sygna u.

Moc dla skoku jednostkowego: 

P=

lim

1

2T

T

T

x

2

t dt

=

lim

1

2T

[

T

0

0 dt

0

T

1 dt ]

=

lim

1

2T

T

=

1

2

(pod limensem jest,  e T d

y do + niesko czono

)

16.  Wymieni   sygna y  okresowe  o  ograniczonej  mocy 

redniej  i  dla  wybranego 

wyzn aczy  moc 

redni

 za okres.

1.sygna  sinusoidalny 

2.fala prostok tna bipolarna 

3.fala prostok tna unipolarna 

id90182305 pdfMachine by Broadgun Software  - a great PDF writer!  - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com  http://www.broadgun.com 

19.  Poda   definicj   warto ci

redniej  sygna u. Jak  interpretujemy  fizycznie 

warto

redni  

pr du 

elektrycznego?

 

Wyznaczy  

warto

redni

nast puj cego sygna XLW VLQWGODW¼ LLW GODW¼ , 2 )

'HILQLFMDZDUWR FL UHGQLHMV\JQD XRNUHVRZHJR

Wartosciq sredniq polokresowq sygnalu okresowego o okresie Tnazywa-my sredniq 

arytmetycznq tego sygnalu obliczonq dla polowy okresu

Warto ci  sredni  ca ookresow  sygnalu okresowego o okresie Tnazy-wamy sredniq 

arytmetycznq tego sygnalu obliczonq dla jednego okresu T

fizycznie warto

redni  pr du elektrycznego

 -jest to taka warto

 pr du sta ego, przy 

przep ywie której przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie T/2 zostanie przesuni ty adunek 
elektryczny, jaki by by przesuni ty przy przep ywie pr du zmiennego w tym samym czasie 

 3RGD  GHILQLFM  ZDUWR FL UHGQLHM V\JQD X RNUHVRZHJR ,OH Z\QRVL

ZDUWR

UHGQLD V\JQD X SU]HPLHQQHJR" ± SRGD  GRZyG QD Z\EUDQ\P

SU]\N DG]LH

'HILQLFMDZDUWR FL UHGQLHMV\JQD XRNUHVRZHJR

Wartosciq sredniq polokresowq sygnalu okresowego o okresie Tnazywa-my sredniq 

arytmetycznq tego sygnalu obliczonq dla polowy okresu

Wartosciq sredniq calookresowq sygnalu okresowego o okresie Tnazy-wamy sredniq 

arytmetycznq tego sygnalu obliczonq dla jednego okresu T

,OHZ\QRVLZDUWR

UHGQLDV\JQD XSU]HPLHQQHJR"±SRGD GRZyGQDZ\EUDQ\PSU]\N DG]LH

Jak wynika z porównania wzoru 

 i   

warto

rednia ca o okresowa sygna ów przemiennych jest równ  zeru. 

Przyk adem mo e by  np. funkcja sin(x) 

22.  Zdefiniowa   warto

  skuteczn

  sygna u  okresowego.  Jak  interpretujemy 

fizycznie warto

 sku teczn

 okresowego zmiennego pr

du elektrycznego?

Warto ci  skuteczn  sygna u okresowego o okresie T nazywamy pierwiastek kwadratowy z 

warto ci redniej kwadratu sygna u obliczonej dla jednego okresu T. 

Warto ci  skuteczn  pr du okresowego nazywamy tak  warto

 pr du sta ego który 

przep ywaj c przez niezmienn  rezystancj  R w czasie okresu T, spowoduje wydzielenie na 

tej rezystancji takiej samej ilo ci ciep a, co pr d okresowo zmienny w tym samym czasie.

25.  Sygna \ G\VWU\EXF\MQ H ± ]GHILQLRZD   sygna   Diraca,  poda   jego  zwi

zek  z 

sygna em skoku jednostkowego.  

0

0

0

)

(

t

dla

t

dla

t

1

)

( dt

t

ci gi aproksymuj ce dystrybucj  Diraca: 

2

2

1

)

,

(

)

,

(

lim

)

(

0

t

e

t

t

t

zwi zki ze skokiem jednostkowym: 

)

(

)

(

1

)

(

1

'

)

'

(

t

t

dt

d

t

dt

t

t

:\PLHQL

LRPyZL

Z D

FLZR

FLV\JQD XLPSXOVRZHJR

taki sygna  to np. 

W a ciwo ci dyskretnego sygn a u impulsowego: 

1)

w a ciwo

 powtarzania 

2)

w a ciwo

 przemienno ci

3)

w a ciwo

 filtracji 

4)

w a ciwo

 parzysto ci

 zmiana skali



2PyZL



V\JQD \

G\V WU\EXF\MQH

L

LFK

URO



Z DQDOL]LH

V\JQD yZ

L

V\VWHPyZ :\PLHQL

 QDMZD

QLHMV ]H V\JQD \ G\VWU\EXF\MQH VWRVRZDQH

ZSU]HWZDU]DQLXV\JQD yZ

W wielu zagadnieniach  teorii sygna ów bardzo uzytecznymi modelami sygna ów sa 

wielkosci matematyczn e zwane dystrybucjami (funkcjami uogólnionymi). Dystrybucje 

nie sa funkcjami w sensie przyjetym w klasycznej analizie matematyczn ej i sa 

definiowane w sposób odmienny niz zwyk e funkcje. Najwazniejsza z n ich jest impuls 

Diraca (n azywany takze dystrybucja Diraca lub delta Diraca). 

Sygna y dystrybucyjne: 

1.

Impuls Diraca (delta Kronekera) 

2.

Ci

gi aproksymuj

ce

dystrybucj

 Diraca 

W a ciwo ci dystrybu cji Diraca: 

mno enie przez sta

zmiana skali 

parzysto

 dystrybucji 

w a ciwo

 próbkowan ia 

dystrybucji 

w a ciwo

 powtarzania 

w a ciwo

 filtracji 

Najwa niejsze sygna y

dystrybucyjne stosowane w 

przetwarzaniu sygna ów:

Dystrybucja grzebieniowa (funkcja 

sza)

Ciag  funkcji  Gaussa  aproksymujacy  impuls 

Diraca

'\VNUHWQ\V\JQD LPSXOVRZ\SUyENDLMHJR]ZL

]HN ]V\JQD HPVN RNX

MHGQRVWN RZHJR

Odpowiedzi

 systemu cyfrowego na sygna  w postaci impulsu Diraca 

[n], nazywamy 

odpowiedzi

 impu lsow

 i oznaczamy h[n], za  odpowied  systemu na sygna  skoku 

jednostkowego u[n], oznaczamy przez s[n]i nazywamy odpowiedzi

 skokow

(na 

skok jednostkowy).

 6\JQD  Z\N DGQLF]\ G\VNUHWQ\ ± ]DSLVD

 DQDOLW\F]QLH L QDU\VRZD

 PR OLZH SU]\SDGNL

V\JQD X

Zapis analityczny:

Mo liwe przypadki sygna u:

>1

0<

<1

-1<

<0 

<-1 

 6\JQD  G\VNUHWQ\ VLQXVRLGDOQ\ :DUXQHN RNUHVRZR

FL 3RGD

 Uy

QLFH PL

G]\

V\JQD HPRNUHVRZ\PZ\N DGQLF]\PDQDORJRZ\PLG\VNUHWQ\P

Warunek okresowo ci:

N

m

m

N

e

e

e

N

j

n

j

N

n

j

2

2

1

0

0

)

(

0

0

0

sygna  okresowy wyk adniczy (x(t)=e^(j t):

- niesko czenie wiele sygna ów harmonicznych harmonicznych tym samym okresie (pulsacji) podstawowym, 

- ró ne sygna y dla ró nych k

0

,

okresowy dla ka dej warto ci

0

sygna  okresowy dyskretny (x[n]=e^(j n)): 

- sko czona liczba harmonicznych równa okresowi N 

- te same sygna y dla cz stotliwo ci ró ni cych si  o 2 ,

- okresowy tylko dla 

0

=2 m/N 

31. Wymieni  w a ciwo ci systemów. Omówi  poj

cie liniowo ci i stacjonarno ci systemu.

/LQLRZR

V\VWHPX]DVDGDDGG\W\ZQR FLKRPRJHQLF]QR FL ]DVDGDVXSHUSR]\FML

x[n]= x

1

[n]+  x

2

[n] 

y[n]= y

1

[n]+  y

2

[n] 

6WDFMRQDUQR

V\VWHPX

x[n]=x

1

[n-n

 0

]

y[n]=y

1

[n-n

 0

]

32.Omówi  poj

cia pami

ci, odwracalno ci i przyczynowo ci systemu. Poda  przyk ady. 

System jest z pami ci , je eli potrafi gromadzi  warto ci sygna u wej ciowego i wyj ciowego z przesz o ci.

Konsekwencja tej w a ciwo ci jest to,  e w systemach bez pami ci warto

 sygna u wyj ciowego w chwili 

nzale y tylko od warto ci sygna u wej ciowego w tej samej chwili. Systemy bez pami ci opisane s  równaniami 

algebraicznymi, za  systemy z pami ci  równaniami ró nicowymi. Przyk adami systemów dyskretnych z 

pami ci  s  sumator (akumulator) i filtr  redniej ruchomej.

Odwracalno ci  systemu 

System jest odwracalny, je eli jest mo liwe znalezienie takiego systemu, który w czony z nim kaskadowo da na 

wyj ciu sygna  wej ciowy.

PRZYCZYNOWO CI  SYSTEMU  

Je eli y1[n]i y2[n]s odpowiedziami systemu na sygna y wej ciowe odpowiednio x1[n]i x2[n], a ponadto sygna y

te dla n<N, s  sobie równe to:

x

1

[n] = x

2

[n] dla n<N                     y

1

[n] = y

2

[n] dla n<N 

System  jest przyczynowy je eli odpowied  jego zale y tylko od warto ci sygna ów wej ciowych i wyj ciowych 

w przesz o ci i w badanej chwili.Systemy nieprzyczynowe, zwane wyprzedzaj cymi, to takie,w których warto

sygna u wyj ciowego w badanej chwili zale y tak e od przysz ych warto ci sygna u na wej ciu. Przyk adami 

takich systemów s : ·systemy,w których zmienn  niezale n   nie jest czas (np. systemy cyfrowego przetwarzanie 

obrazów),·systemy w których u redniamy dane zebrane w pewnym okresie czasu (ceny akcji na gie dzie, dane 

demograficzne, sygna y meteorologiczne), i w których interesuje nas okre lenie wolnozmiennych trendów w 

danych, zawieraj cych tak e szybkozmienne (cz sto przypadkowe) fluktuacje.  

33.Wymieni  w a ciwo ci systemów. Omówi  poj

cia stabilno ci, stacjonarno ci i liniowo ci. 

6WDELOQR

V\VWHPyZ

|x[n]|<B

x

   dla ka dego n,

|y[n]|<B

y

    dla ka dego n,

gdzie:B

x

  i B

y

  s   dowolnymi sko czonymi sta ymi.

W literaturze angloj zycznejokre lamy ,  e uk ad jest stabilny w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output)

/LQLRZR

V\VWHPX]DVDGDDGG\W\ZQR FLKRPRJHQLF]QR FL ]DVDGDVXSHUSR]\FML

x[n]= x

1

[n]+  x

2

[n] 

y[n]= y

1

[n]+  y

2

[n] 

6WDFMRQDUQR

V\VWHPX

x[n]=x

1

[n-n

 0

]

y[n]=y

1

[n-n

 0

]

34.  Omówi   poj

cie  stabilno ci  systemu.  Jak  okre lamy  stabilno

  na  podstawie  odpowiedzi 

impulsowej systemu?  

Stabilno

 systemu 

|x[n]|<Bx      dla ka dego n,

|y[n]|<By      dla ka dego n,

Liniowy system stacjonarny jest stabilny je eli jego odpowied  impulsowa jest absolutnie sumowaln  (ma 

sko czon  sum )

Odpowied  y[n] systemu liniowego stacjonarnego na dowolny sygna  x[n], wyznaczamy znaj c odpowied

impulsow  h[n] tego systemu z zale no ci:

36.  Zdefiniowa   poj

cie  odpowiedzi  impulsowej  systemu  i  jej  rol

  w  analizie  czasowej  systemów 

liniowych stacjonarnych  

Uk ad liniowy, stacjonarny maj cy wej cie u(t) i wyj cie y(t) mo e by  scharakteryzowany 

przez jego odpowied  impulsow  g(t), która definiuje przebieg czasowy wyj cia, gdy na 

wej cie podany zostanie jednostkowy sygna  impulsowy Q(t). odpowied  impulsowa mo e

równie  zosta  wyznaczona na podstawie transmitancji operatorowej poprzez 

zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a. 

g(t) = 

£

1

{G(s)} 

Klasycznym sposobem modelowania uk adów liniowych jest zastosowanie WUDQVPLWDQFML

RSHUDWRURZHMdo opisu zale no ci pomi dzy zmiennymi wej ciowymi i wyj ciowymi. Jednym ze 

sposobów definiowania transmitancji jest zastosowanie RGSRZLHG]LLPSXOVRZHj. 

Transmitancja liniowego uk adu stacjonarnego definiowana jest jako transformata Laplace'a 

odpowiedzi impulsowej ze wszystkimi warunkami pocz tkowymi równymi zero. Niech G(s) 

oznacza 

transmitancj  uk adu z pojedynczym wej ciem u(t) i wyj ciem y(t), g(t) natomiast odpowied

impulsow , wówczas transmitancj  G(s) definiuje si  jako 

*V 

{

JW`

Transmitancja operatorowa G(s) najcz

ciej wyra ana jest przy u yciu transformaty Laplace'a 

wej cia i wyj cia poprzez nast puj c zale no

 : 

*V= 8V<V

ze wszystkimi warunkami pocz tkowymi równymi zero, Y(s) oraz U(s) s transformatami Laplace'a 
odpowiednio y(t) oraz u(t).

37.  Zdefiniowa   poj

cie  odpowiedzi  skokowej  (na  skok  jednostkowy)  systemu  i  jej  rol   w  analizie 

czasowej systemów liniowych stacjonarnych  

'HI]HVNU\SWX3ROLWHFKQLNL ZL WRNU]\VNLHM

Odpowied  skokowa h(t) jest to odpowied  uk adu w postaci sygna u jaki otrzymamy na wyj ciu

po podaniu na wej cie wymuszenia skokowego, przy zerowych warunkach pocz tkowych. 

Najcz

ciej przyjmuje si

e amplituda sygna u wej ciowego wynosi 1. Oznacza to  e

wymuszeniem jest sygna  skoku jednostkowego. 

Odpowied  skokowa bardzo dobrze charakteryzuje w asnosci dynamiczne elementów i 

uk adów automatyki. To ona jest najcz

ciej stosowana w celu porównywania w asno ci

uk adów. Do wiadczalnie wyznacza si j  jak ka d  inn  charakterystyk  dynamiczn ,

tzn. po podaniu na wej cie wymuszenia jednostkowego 1(t) rejestruje si  przebieg 

zmian sygna u wyj ciowego. Je eli model uk adu stanowi opis matematyczny w formie 

równania ró niczkowego, wówczas odpowied  skokowa mo na wyznaczy  analitycznie, 

korzystaj c z przekszta cenia Laplace'a. Aby otrzyma  posta  operatorow  odpowiedzi 

skokowej H(s)nale y pomno y  transmitancj  operatorow  uk adu G(s) przez 

transformat skoku jednostkowego 1(s): 

H(s) G(s)*1(s) 

W praktyce podaje si  jako charakterystyk  dynamiczn  jeden z dwóch przebiegów 

Kt) albo y(t). Tak otrzymane wykresy ró ni  si  tylko skal  osi warto ci 

prostok tnego uk adu wspó rz dnych. Kszta t uzyskanej charakterystyki lub rodzaj 

równa  opisuj cych uk ad decyduj o podziale elementów i uk adów lub modeli na 

liniowe i nieliniowe.

38.  Systemy  o  sko

czonej  i  niesko

F]RQHM RGSRZLHG]L LPSXOVRZHM ± Z\MD ni ,  na  czym  polega 

ró nica i poda  przyk ady.  

Systemy o Sko czonej Odpowiedzi Impulsowej - SOI s  jednymi z dwóch rodzajów systemów cyfrowych, drugi 

typ to system NOI-Niesko czona Odpowied  Impulsowa. W systemach SOI  nie wyst puje p tla sprz

enia 

zwrotnego i reakcja na wyj ciu tego uk adu, na sko czone pobudzenie, jest sko czona. Brak sprz

enia

zwrotnego wida  na poni szym schemacie.  

SOI -  Na powy szym schemacie cz RQ\ÄE>L@´R]QDF]DM

wspó czynniki filtra, wielomian realizuj cy zera jest opisany 

za pomoc  tych wspó czynników, cz RQ\Ä=´V  to 

opó nienia.  

 NOI-   Na powy szym schemacie modu \Ä=´R]QDF]DM

opó nienie sygna XQDWRPLDVWÄD>L@´RUD]ÄE>L@´V

wspó czynniki filtra, wielomian opisuj cy zera jest opisany 

wspó F]\QQLNDPLÄE>L@´]D  wielomian realizuj cy bieguny 

jest opisany wspó F]\QQLNDPLÄD>L@´

SOI-  s  obecnie cz

ciej stosowane ni  NOI, z powodu nast puj cych zalet: 

Jest je  atwo zaimplementowa  w programach do projektowania.  

Nie mog  by  niestabilne, gdy  w ich funkcji transmitancji wyst puj  tylko zera, a nie ma biegunów, mog cych 

spowodowa  niestabilno

.

Maj  sko czon  odpowied  impulsow , za  technika cyfrowa 

i tak wprowadza ograniczenie rozdzielczo ci wyników.  

atwo jest uzyska  w tego typu filtrach liniow  faz , filtry z 

liniow  faz  opó niaj  sygna  z wej cia, ale nie zmieniaj  jego 

fazy.  

SOI  posiadaj  te  pewne wady w porównaniu z NOI: 

Potrzebuj  wi cej pami ci.

NOI -  s  rzadziej stosowane ni  SOI. Gdy  nie maj  tylu zalet co SOI. Pod pewnymi jednak wzgl dami s

lepsze: Zu ywaj  mniej pami ci.  

U ywaj  mniejszej liczby oblicze

Ich wadami s : Trudniej si  je implementuje w porównaniu z filtrami FIR.  

Z powodu niesko czonej odpowiedzi impulsowej wprowadzaj  wi cej problemów, ni  filtry FIR, np. generuj

szum.  

Nie da si  ich zaimplementowa  jako filtrów o liniowej fazie, czyli takich, które opó niaj  sygna , ale nie 

zmieniaj  jego fazy.  

Posiadaj  zera i bieguny, wi c trzeba zadba  o to, aby bieguny nie znalaz y si  poza ko em jednostkowym, bo 

je li si  tam znajd  to filtr b dzie niestabilny  

40.  Wyznaczy   odpowied   impulsow

  systemu  dyskretnego  opisanego  równaniem  ró nicowym 

postaci: y[n]+1/2y[n-1]=x[n].  

y[n]+1/2y[n-1]=x[n] 

y[z]+1/2y[z]*z^-1=x[z] 

y[z](1+0.5z^-1)=x[z] 

H[z]=y[z]/x[z] 

H[z]=1/(1+0.5z^-1)=z/(z+0.5) 

ze slowniczka transformat mamy ze h[n]=(-0.5)^n czyli 

h[0]=1, h[1]=-0.5 itd 

lub mozna to zrobic tak: 

y[n]=x[n]-0.5y[n-1] 

y[0]=h[0]=x[0]-0.5y[-1]=1 

y[1]=h[1]=x[1]-0.5y[0]=-0.5*1=-0.5 

y[2]=h[2]=x[2]-0.5y[1]=-0.5*(-0.5)=0.25 itd.  

-DNPR HP\Z\]QDF]\ RGSRZLHG ZG]LHG]LQLHF]DVXV\VWHPXOLQLRZHJRVWDFMRQDUQHJRQD

GRZROQ\V\JQD ZHM FLRZ\"

Odp: 

x[n] 

h[n] 

y[n] 

Odpowied

\[Q] systemu liniowego stacjonarnego na dowolny sygna [[Q], wyznaczamy znaj c

odpowied  impulsow

K[Q] tego systemu, z zale no ci:

gdzie

y [ n]= h [ n] ° x [ n]

jest splotem 

y [ n]=

k =

h [ k ] x [ n

k ]

=GHILQLRZD SRM FLHVSORWXGZyFKV\JQD yZ:MDNLPFHOXZ\NRU]\VWXMHP\RSHUDFM VSORWX

ZWHRULLV\JQD yZ"

Odp: 

Splotem y[n] nazywamy z o enie dwóch sygna ów h[n] oraz x[n], takim,  e

h [ n ] ° x [ n ]= y [ n ]= x [ n

h [ n

k ]

Operacj  splotu w teorii sygna ów wykorzystujemy przy wyznaczaniu odpowiedzi systemu liniowego 

stacjonarnego na jaki  sygna , przy czym znamy odpowied  impulsow  tego systemu (patrz pyt. 41, 

44).

Odpowied y[n] systemu liniowego stacjonarnego na dowolny sygna x[n], wyznaczamy znaj c odpowied

impulsow h[n] tego systemu, z zale no ci: 

gdzie 

y [ n ]= h [ n ] ° x [ n ]

jest splotem. 

Odpowied  impulsowa szeregowo po czonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach 

impulsowych równych odpowiednio h1[n] i h2[n] jest równa splotowi odpowiedzi impulsowych:

h [ n]= h

1

[ n ]° h

2

[ n ]

6FKHPDW\EORNRZHV\VWHPyZRPyZL SRGVWDZRZHVSRVRE\SR

F]HQLDHOHPHQWyZ

VFKHPDWyZEORNRZ\FK

Odp: 

Element opó niaj cy:  

Element ca kuj cy i ró niczkuj cy: 

Element mno

cy:  

-DNZ\]QDF]DP\RGSRZLHG LPSXOVRZ SR

F]RQ\FKV]HUHJRZRV\VWHPyZOLQLRZ\FK

VWDFMRQDUQ\FKR]QDQ\FKRGSRZLHG]LDFKLPSXOVRZ\FK"

Odp: 

Odpowied  impulsowa szeregowo po

czonych systemów liniowych stacjonarnych o odpowiedziach 

impulsowych równych odpowiednio K1[Q] i K2[Q] jest równa splotowi odpowiedzi impulsowych: 

h [ n]= h

1

[ n ]° h

2

[ n]

:\]QDF]\ RGSRZLHG LPSXOVRZ GZyFKSR

F]RQ\FKUyZQROHJOHV\VWHPyZOLQLRZ\FK

VWDFMRQDUQ\FKRRGSRZLHG]LDFKLPSXOVRZ\FKRGSRZLHGQLRK>Q@ 

QX>Q@LK

>Q@ 

QX>Q@"

1DU\VRZD Z\]QDF]RQ RGSRZLHG LPSXOVRZ 

Odp: 

46. Systemy opisane równaniami ró niczkowymi i ró QLFRZ\PL±V\VWHP\12,L62,

Równania ró niczkowe i ró nicowe 

W dziedzinie czasu relacja mi

dzy sygna em wej ciowym i wyj ciowym dla systemu LTI jest opisana 

liniowym równaniem ró niczkowym (dla uk adu analogowego ) b

d  ró nicowym (uk ad dyskretny) N-

tego rz

du o sta ych wspó czynnikach, postaci: 

Rozwi zanie równania 

ró niczkowego (ró nicowego) 

sk ada si  z rozwi zania równania 

jednorodnego (rozwi zanie ogólne-

odpowied  swobodna) oraz 

rozwi zania szczególnego 

(odpowied  wymuszona):  

Rozwi zanie wymaga podania dodatkowych warunków pocz tkowych. Je li system jest liniowy, stacjonarny i 

przyczynowy to mo emy zapisa :

Dla uk adów liniowych stacjonarnych i przyczynowych odpowied  systemu y(t)/y[n] dla czasu t>t0(n>n0) mo na

zatem wyznaczy  z równa  (1) dla nast puj cych warunków pocz tkowych: 

Równanie (1) mo na zapisac w postaci: 

które dla przypadku równania ró nicowego nazywamy równaniem rekurencyjnym-warto ci sygna u wyj ciowego 

w czasie nzale

 od warto ci wej cia i wyj cia w tym czasie i w chwilach wcze niejszych. 

Dla N=0, równania upraszczaj  si  do postaci: 

równanie ró nicowe dla N=0 nazywamy równaniem nierekurencyjnym-dla 

wyznaczenia warto ci sygna u wyj ciowego w czasie nwystarczy znajomo

warto ci sygna u wej ciowego w czasie ni w chwilach wcze niejszych. 

Gdy N 1, równanie jest nierekurencyjnei wymaga do rozwi zania 

warunków pocz tkowych, których liczba okre lona jest rz dem równania. 

6\VWHP\RSLVDQHUyZQDQLHPUHNXUHQF\MQ\PPDM RGSRZLHG
LPSXOVRZ QLHVNR F]RQ V\VWHP\12,]D V\VWHP\RSLVDQH

UyZQDQLHPQLHUHNXUHQF\MQ\PV\VWHP\62,PDM VNR F]RQ
RGSRZLHG LPSXOVRZ 

48.  Poda   podstawowe  elementy  schematu  blokowego  systemu  analogowego  opisanego  równaniem 

ró niczkowym.  

Narysowa  schemat/y blokowy/e dla systemu opisanego równaniem ró niczkowym postaci 2dy(t)/dt+y(t)=x(t).  

a)

Element mno

cy 

Element ca kój cy, ró niczkuj cy 

Element opó niaj cy

b)chyba tak ale nie wiem 

49.  Poda   podstawowe  elementy  schematu  blokowego  systemu  dyskretnego  opisanego  równaniem 

ró nicowym.  

Narysowa  

schemat 

blokowy 

dla 

systemu 

opisanego 

równaniem 

ró nicowym 

postaci: 

y[n]+1/2y[n-1]=3x[n].

a)

Element mno

cy 

Element ca kój cy, ró niczkuj cy 

Element opó niaj cy

b)

49. Poda  podstawowe elementy schematu blokowego systemu dyskretnego opisanego równaniem 

ró nicowym.  Narysowa   schemat  blokowy dla  systemu opisanego  równaniem  ró nicowym  postaci: 

y[n]+1/2y[n-1]=3x[n].  

a)

Element mno

cy 

Element ca kój cy, ró niczkuj cy 

Element opó niaj cy

b)

51. 

Wyznaczy  

odpowied  

uk adu 

liniowego 

stacjonarnego 

opisanego 

równaniem 

dy(t)/dt+y(t)=3x(t) na sygna  impulsowy, zak adaj

c,  e y(0)=0

52.  Wyznaczy   odpowied   uk adu  liniowego  stacjonarnego  opisanego  równaniem  ró niczkowym 

dy(t)/dt+3y(t)= x(t) na sygna  wyk adniczy postaci x(t)=e

-t

, zak adaj

c,

e y(0)=0

53. Wyznaczy   odpowied   uk adu  liniowego  stacjonarnego  opisanego równaniem ró nicowym  y[n] 

- 1/3y[n-1]= x[n] na nast

puj

cy sygna  impulsowy x(t)=5

(t), zak adaj

c,

e y[-1]=0  

y[n]-1/3*y[n-1]=x[n] 

sygnal impulsowy: x[n]=5*d[n] 

y[-1]=0 

wiec  _ 

        |  0 dla n<>0 

d[n]=| 

        |_1 dla n=0 

y[n]=x[n]+1/3*y[n-1] 

y[0]=x[0]+1/3*y[-1]=5 

y[1]=x[1]+1/3*y[0]=5*(1/3) 

y[2]=x[2]+1/3*y[1]=5*(1/3)^2 

y[3]=x[3]+1/3*y[2]=5*(1/3)^3 

.. 

.

y[n]=x[n]+1/3*y[n-1]=5*(1/3)^n 

i z tego wychodzi ze odpowiedz impulsowa wynosi: 

h[n]=5*(1/3)^2*u[n] 

54.  Przekszta FHQLH /DSODFH¶D

L ± SRGD   zale no

  na  transformat

L (przekszta cenie  proste)  i 

orygina   (przekszta cenie  odwrotne).  Wyznaczy   transformat

  nast

puj

cego  sygna u:  y(t)=cost 

+sint  

55. 

Przekszta cenie 

Laurenta 

(transformacja 

Z



±

SRGD  

zale no

 

na 

transformat

Z

(przekszta cenie 

proste) 

i 

orygina  

(przekszta cenie 

odwrotne). 

Wyznaczy  

transformat

nast

puj

cego sygna u: y[n]=2

n

u[n]+ 2

[n]+ 2

-n

u[n]  

56.  Poda  PHWRG\ Z\]QDF]DQLD RGZURWQHM WUDQVIRUPDW\ /DSODFH¶D

L. Wyznaczy   orygina   y(t)  je li

transformata sygna u ma posta :Y(s)=(s+1)/(s-2)(s+2)  

Wyznaczenia orygina u transformaty odwrotna transformata Laplace'aW celu wyznaczenia orygina u

transformaty wykorzystuje si :

‡WDEOLFHRU\JLQD ów i transformat 

‡PHWRG  residuów bazuj ca na twierdzeniu Heaviside'aStosowanie tablic orygina ów i transformat jest najprostsz

metod  i zawsze, gdy to mo liwe, tak wyznaczamy orygina x(t).

Metoda  residuów  bazuje  na  mo liwo ci  przedstawienia  transformaty  w  postaci  ilorazu  wielomianów  funkcji 

wymiernych zmiennej zespolonej s, 

przy czym zak adamy,  e:-u amek L(s)/M(s) jest nieskracalny,-stopie  licznika jest mniejszy od stopnia 

mianownika.  

Twierdzenie Heaviside'amówi, e funkcj  operatorow X(s) posiadaj ca bieguny jednokrotne mo na roz o y  na 

u amki proste: 

gdzie: n-jest stopniem wielomianu M(s) i oznacza liczb  biegunów funkcji X(s) 

Wspó czynniki od A1 do An wyznaczamy ze wzoru na residuum funkcji X(s), wed ug:  

Poniewa , transformata odwrotna:  

wi c orygina  funkcji operatorowej wyrazimy: 

Podstawowy wzór +HDYLVLGH D

Je li jeden z biegunów funkcji operatorowej X(s) jest biegunem zerowym 

s0=0, wtedy funkcje operatorow  przedstawiamy w postaci: 

a orygina  liczymy z zale no ci: 

57. Poda  metody wyznaczania odwrotneMWUDQVIRUPDW\/DXUHQWD¶

Z. Wyznaczy  orygina  h[n] je li

transformata sygna u ma posta : H(z)=(1+z

-1

)/(2 + z

--1

- z

--2

).

H(z)=(1+z

-1

)/(2 + z

--1

- z

--2

).

Transformata odwrotna przekszta cenia Z 

Przekszta cenie odwrotne dyskretne przyporz dkowuje funkcji zmiennej zespolonej F(z) sygna  dyskretny (ci g

liczbowy) f[n].Omówione zostan  2 metody. Obie dotycz  wymiernej funkcji F(z), któr  mo na przedstawi  w 

postaci iloczynu funkcji wymiernych postaci: 

przy czym zak adamy ,  e m>= .

‡0HWRGDUR]ZLQL cia w szereg pot gowyW metodzie mno ymy licznik i mianownik transformaty F(z) przez z-m.

Dziel c nast pnie licznik tak otrzymanego wyra enia przez mianownik otrzymuje si  szereg: 

którego kolejne wspó czynniki s  wyrazami poszukiwanego ci gu.Metod  stosujemy, gdy chcemy wyznaczy

kilka pocz tkowych wyrazów sygna u.  

‡0HWRGDUR]N adu na u amki proste -odpowiednik metody bazuj cej na twierdzeniu +HDYLVLGH D

Orygina f[n] funkcji operatorowej F(z) wyrazimy nast puj co: 

59.  Szereg  Fouriera  sygna u  okresowego.  Poda   zale no

  na  wspó czynniki  szeregu  Fouriera 

sygna u okresowego ci

g ego.  

Szereg Fouriera funkcji okresowej ci g ej 

Wspó czynniki szeregu Fouriera: 

Równanie analizy szeregu Fouriera  funkcji okresowej ci g ej: 

60. Poda  równanie analizy i syntezy szeregu Fouriera dla sygna u dyskretnego.  

Sygna  dyskretny okresowy i jego widmo Fouriera. Równania analizy i syntezy: 

                                                                                

X[n]= --->> równanie syntezy 

a_k =-->> równanie analizy 

63. Na czym polega efekt Gibbsa?. Dla jakich sygna ów jest obserwowany?  

)(IHNW*LEEVD wyst puje w punktach nieci g o ci sygna u lub w tych w których sygna  aproksymowany zmienia si  w sposób nag y  a 

objawia si  jako nadmierne oscylacje aproksymacji sko czonym szeregiem Fouriera poziom oscylacji jest niezale ny od dlugosci 

aproksymacji. 

Efekt ten jest obserwowany dla sygna ów ci g ych(tego nie jestem pewien bo nigdzie o tym informacji nie znlazlem) Najczesciej jest 

obserwowany dla sygna u który zmiena sie w sposób nag y np. Sygna  bramki. 

Efekt Gibbsa 

64.  Do  czego  s u y  zale no

  Parsevala?  Korzystaj

c  z  zale no ci  Parsevala  wyznaczy   energi

nast

puj

cego sygna u: y(t)=1/2 + 2 cos

2

0

t + sin

0

t.  

Zaleznosc Parsevala 

            sygna  ciagly   

 

 

sygna  dyskretny 

   

68. Klasyfikacja filtrów. Narysowa  charakterystyki cz

stotliwo ciowe filtrów idealnych.  

dolnoprzepustowe 

e

j

; | |<

c

H

LP

(e

j

)=

0; | |>

c

górnoprzepustowe 

0; | |<

c

H

LP

(e

j

)=

e

j

; | |>

c

pasmowe 

rodkowozaporowe 

e

j

;

(

c1

,

c2

)

H

BS

(e

j

)=

0; 

(

c1

,

c2

)

rodkowoprzepustowe 

0; 

(

c1

,

c2

)

H

BP

(e

j

)=

e

j

;

(

c1

,

c2

)

69. Filtry NOI i SOI, poda  ró nice i przyk ady filtrów.  

62,: Funkcja przej cia tych filtrów odpowiada sko czonej odpowiedzi impulsowej 

Zalety: 

-

s  zawsze stabilne (brak biegunów); 

-

mog  by  minimalno-fazowe; 

-

mog  mie  liniow  faz ;

-

s  odporne na b dy realizacji cyfrowej (brak efektu kumulacji b dów; 

Filtr nierekursywny górnoprzepustowy:

12,: Funkcja przej cia tych filtrów odpowiada niesko czonej odpowiedzi impulsowej (przyk ady powy ej) 

Zalety: 

-

mog  by  reprezentowane za pomoc  niewielkiej liczby parametrów; 

Wady: 

-

s  bardziej ni  filtry typu SOI wra liwe na b dy realizacji cyfrowej; 

-

maj  nieliniow  faz ;

)LOWUUHNXUV\ZQ\,±U]

du:

a=-0,6 

a=0,6 

71. 

Poda  

przyk ad 

analogowego 

filtra  górnoprzepustowego, 

wyznaczy  

i 

narysowa  

jego 

charakterystyk

 cz

stotliwo ciow

 |H(j

)| i fazow .

73. Poda  przyk ad dyskretnego filtra górnoprzepustowego, wyznaczy  jego odpowied  impulsow

 i 

cz

stotliwo ciow

.

)LOWUJyUQRSU]HSXVWRZ\ to uk ad elektroniczny, (b d

algorytm

) przepuszczaj cy cz stotliwo ci sygna u

powy ej ustalonej cz stotliwo ci granicznej, a t umi sk adowe widma le

ce w dolnej jego cz

ci.

W zale no ci od konstrukcji filtr taki zbudowany jest jako: 

1.

reaktancyjne L, C, zbudowane z cewek i kondensatorów,  

2.

bezindukcyjne, pasywne R, C,  

3.

piezoceramiczne,  

4.

aktywne - zawieraj ce wzmacniacze,  

5.

cyfrowe.  

Filtr górnoprzepustowy typu RC 

Dla filtrów miarodajne s  charakterystyki cz stotliwo ciowe. Na podstawie 

charakterystyki zmienno ci w funkcji cz stotliwo ci takich wielko ci jak 

wspó czynnik t umienia i wspó czynnik fazowy okre la si  warunki 

przenoszenia sygna ów przez filtr. W idealnym filtrze w pa mie przepustowym 

wspó czynnik t umienia powinien by  równy zero, natomiast w pa mie 

t umieniowym powinien by  du y. Znajomo

 charakterystyki 

cz stotliwo ciowej wspó czynnika fazowego pozwala na okre lenie zmiany fazy napi cia i pr du przy przej ciu 

sygna u przez filtr. Poniewa  filtry reaktancyjne powinny pracowa  w warunkach dopasowania falowego, tzn. 

przy obci

eniu filtra impedancj  charakterystyczn , podaje si  dla filtrów równie  charakterystyki 

cz stotliwo ciowe impedancji charakterystycznej. 

Dla filtra RC cz stotliwo

 graniczna okre lona jest wzorem: 

Gdzie f cz stotliwo

 w hercach R

opór rezystora w ohmach i C to 

pojemno

 kondensatora faradach 

Przyk ad filtra 

górnoprzepustowego: 

Brak kontaktu kabla w gnie dzie

oscyloskopu jest równowa ny

pojemno ci, która wraz z rezystancj  wej ciow  tworzy filtr górnoprzepustowy mog cy powodowa

ró niczkowanie sygna ów wej ciowych.

74. 

Próbkowanie 

sygna ów. 

Poda  

twierdzenie 

o 

próbkowaniu. 

Wymieni  

operacje 

jakim 

poddawany jest sygna  próbkowany.  

7ZLHUG]HQLHRSUyENRZDQLX

3UyENRZDQLHVN DGDVL ]QDVW SXM F\FKRSHUDFML

‡

Powielanie okresowe widma X(j

) sygna u x(t),

‡)LOWURZDQLHSRZLHORQHJRZLGPD;

p

(j

) za pomoc  idealnego filtru dolno-

przepustowego o cz stotliwo ciach odci cia ±

c,

takiej,  e:

M

<| 

c

|<

s

-

M

‡3U]HNV]WD canie przefiltrowanego widma 

X(j

) na sygna  w dziedzinie czasu x(t).

75. Wymieni  g ówne

ród a b

dów podczas operacji próbkowania.  

niepoprawny dobór cz stotliwo ci próbkowania, 

za o enie idealno ci filtru dolnoprzepustowego, 

za o enie idealno ci impulsów  

Pobieranie próbek z czestotliwoscia mniejsza od czestotliwosci Nyquista prowadzi zawsze do utraty 

czesci informacji zawartej w sygnale. 

efekt stroboskopowy. Efekt ten wyst puje przy zbyt wolnym próbkowaniu sygna ów okresowych

Jitter W idealnych warunkach twierdzenia o próbkowaniu zak ada sie, ze przy równomiernym 

próbkowaniu sygna u z okresem Ts próbki sa pobierane dok adnie w chwilach nTs. W rzeczywistosci, na 

skutek niedok adnosci uk adów próbkujacych, faktyczne chwile pobierania próbek odchylaja sie losowo 

od za o onych chwil teoretycznych. Rozrzut rzeczywistych chwil pobierania próbek wokó  chwil nTs jest 

nazywany jitterem (wahaniem chwil próbkowania). 

Szum kwantowania- b d ten jest zwi zany

ze sko czon  dok adno ci  reprezentacji liczb w uk adach

przetwarzania.

E DGDOLDVLQJX
b ad wynikajacy z 

próbkowania 

sygna u z czestotliwoscia mniejsza od 

czestotliwosci Nyquista 

E DGV]XPNZDQWRZDQLD
b ad powstajacy podczas 

operacji kwantowania 

sygna u spróbkowanego, 

wynikajacy z przyblizenia dok adnych wartosci 

próbek 

wartosciami skwantowanymi 

E DGXFLHFLDSDVPD
b ad wynikajacy z odfiltrowania z 

widma 

sygna u za pomoca 

filtru dolnoprzepustowego 

sk adowych o czestotliwosciach wiekszych od pewnej czestotliwosci 

progowej 

E DGXFLHFLDZF]DVLH
b ad wynikajacy z rozpatrywania sygna u w przedziale czasu mniejszym 

od czasu jego trwania

F]HVWRWOLZRVF1\TXLVWD
najmniejsza czestotliwosc z jaka nalezy próbkowac 

sygna  o ograniczonym 

pasmie

, aby w jego próbkach zosta a zachowana pe na informacja o sygnale