Zadania2008 Dzienne
str 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 .
a) Ocenić w przybliŜeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy, obliczając wartość
funkcji
z = f(x,y),
jeŜeli przyjęte do obliczeń x i y są niedokładne, przy czym oszacowania
∆
x
i
∆
y są niewielkie.
b) Ocenić błąd bezwzględny i błąd względny długości przekątnej prostokąta o bokach x = 5 cm
i y = 4 cm , jeŜeli błąd przyrządu pomiarowego uŜytego do pomiaru wynosi
∆
= 0.2 cm
.
Komentarz
Zakładamy, Ŝe zamiast dokładnych wartości (X,Y) znamy wartości przybliŜone (x,y) oraz oszacowania
błędów bezwzględnych:
X
x
−
∆
x
≤
, Y
y
−
∆
y
≤
.
NaleŜy ocenić błędy: |f(X,Y) - f(x,y)| oraz |f(X,Y) - f(x,y)| / |f(x,y)|.
Rozwiązanie
(a)
ZałoŜymy, Ŝe funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie na pewnym otoczeniu
punktu (x,y) oraz x
∆
x
+
y
∆
y
+
,
(
)
jest punktem z tego otoczenia. Wtedy istnieje taka liczba
Θ,
0 <
Θ
< 1, Ŝe
f X Y
,
(
)
f x y
,
(
)
−
x
f x y
,
(
)
∂
∂
X
x
−
(
)
y
f x y
,
(
)
∂
∂
Y
y
−
(
)
+
=
+
+ 0.5 d
2
⋅
f x
Θ
X
x
−
(
)
+
y
Θ
Y
y
−
(
)
+
,
(
)
X
x
−
Y
y
−
,
(
)
(porównaj - Twierdzenie 6.8 Taylora, sem.1 wykład analizy matematycznej). PowyŜszą równość
nazywamy wzorem Taylora (dla funkcji dwóch zmiennych z 2-gą resztą).
Dla dostatecznie małych
∆
x i
∆
y, ostatni składnik (róŜniczka drugiego rzędu funkcji f) po prawej stronie
wzoru Taylora jest mały w porównaniu z pozostałymi składnikami (róŜniczka funkcji f). Zatem dla
błędów |f(X,Y) - f(x,y)| oraz |f(X,Y) - f(x,y)| / |f(x,y)| moŜna przyjąć następujące oceny przybliŜone
∆
f
x
f x y
,
(
)
∂
∂
∆
x
y
f x y
,
(
)
∂
∂
∆
y
+
=
,
δ
f
∆
f x y
,
(
)
f x y
,
(
)
=
.
(b)
f x y
,
(
)
x
2
y
2
+
=
,
x
f x y
,
(
)
∂
∂
x
x
2
y
2
+
=
,
y
f x y
,
(
)
∂
∂
y
x
2
y
2
+
=
;
x = 5, y = 4;
∆
=
∆
x =
∆
y = 0.2 ;
f 5 4
,
(
)
41
=
,
∆
f
9
41
0.2
⋅
=
,
δ
f
9
41
0.2
⋅
=
;
Zadania2008 Dzienne
str 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2.
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) punktów x
0
x
1
,
....
,
x
n
,
, przy czym
a = x
0
< x
1
< ... < x
n
= b.
Punkty x
i
(i = 0, 1, 2, ...., n) są węzłami funkcji sklejanej.
a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zaleŜy taka funkcja ?
b) Narysować wszystkie funkcje bazowe
Φ
i
takie, Ŝe
Φ
i
x
0
( )
1
=
.
0
1
2
3
4
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
Rozwiązanie
(a)
Funkcję s(x) określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia trzeciego, jeŜeli
1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwyŜej trzeciego na kaŜdym podprzedziale
(x
i
, x
i+1
) , i = 0,1,... , n-1 ;
2) s(x) jest funkcją klasy C
2
([a,b]) .
Funkcja sklejana stopnia trzeciego zaleŜy od (n + 3) parametrów.
(b)
rysunek
0
1
2
3
4
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
Zadania2008 Dzienne
str 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3.
RozwaŜamy zagadnienie przybliŜonego obliczania całki
1
−
1
x
f x
( )
⌠
⌡
d .
a) Omówić prosty wzór trapezów i wzór Gaussa-Legendre'a oparty na 2 węzłach.
b) Za pomocą tych wzorów wyznaczyć przybliŜoną wartość całki
1
−
1
x
3 x
2
⋅
1
+
x
−
(
)
⌠
⌡
d
.
Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. Podać wzory, przedstawić interpretację geometryczną.
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
3 x
2
⋅
1
+
x
−
=
Rozwiązanie
(a)
prosty wzór trapezów: S(f) = f(-1) + f(1) + interpretacja geometryczna;
2-punktowy wzór Gaussa-Legendre'a: S f
( )
f
1
−
3
f
1
3
+
=
+ interpretacja geometryczna;
(b)
f x
( )
3x
2
1
+
x
−
=
wzór trapezów: S(f) = 4 + rysunek
wzór Gaussa-Legendre'a: S f
( )
2 2
=
+ rysunek
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Zadania2008 Dzienne
str 4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4.
Zakładamy, Ŝe zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x
0
) = y
0
(*)
ma jednoznaczne rozwiązanie rozwijalne w szereg Taylora w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
a) Omówić metodę rozwijania w szereg Taylora rozwiązania zagadnienia (*).
b) Wyznaczyć dwa pierwsze i trzy pierwsze wyrazy takiego rozwinięcia, gdy
y ' = - y
2
- 2x
2
+ 2 , y(1) = 1. Obliczenia zilustrować graficznie.
1 1.25 1.5 1.75 2
1
0.75
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
1
y - rozwiązanie dokładne
Rozwiązanie
(a)
Zakładamy, Ŝe rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego (*) ma postać szeregu potęgowego w pewnym
otoczeniu punktu x
0
y x
( )
0
∞
k
a
k
x
x
0
−
(
)
k
⋅
∑
=
=
,
a
k
y
k
( )
x
0
( )
k
!
=
.
W kaŜdym przedziale domkniętym zawartym w tym otoczeniu, sumy częściowe tego rozwinięcia
s
n
x
( )
0
n
k
a
k
x
x
0
−
(
)
k
⋅
∑
=
=
stanowią przybliŜone rozwiązania.
Sumy częściowe s
n
, jako wielomiany, określone są dla dowolnego x . Stanowią one przybliŜone rozwiązania
(przybliŜenia rozwiązania dokładnego) jedynie w przedziałach domkniętych, w których rozwiązanie (dokładne)
jest rozwijalne w szereg potęgowy.
1 1.25 1.5 1.75 2
1
0.75
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
1
(b)
a
0
= 1, a
1
= y ' (1) = -1, s
1
(x) = 1 - (x-1); y "(x) = -2y(x)y '(x) - 4x,
y "(1) = -2, a
2
= -1, s
2
(x) = 1 - (x-1) - (x-1)
2
; rysunek
y = s
1
(x) (linia typu "kropka-kropka")
y = s
2
(x) (linia typu "kreska-kreska")