1
Prawdopodobienstwo całkowite
Niech H
1
, H
2
, . . . , H
n
∈ F będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki: H
i
∩ H
j
= ∅, i 6= j,
n
S
j=1
= Ω, oraz
P [H
j
] > 0 dla j = 1, . . . , n wtedy dla dowolnego zdarzenia A ∈ F
P [A] =
n
P
j=1
P [A|H
j
] · P [H
j
]
Dowód
Z założeń wynika, że
A = A ∩ Ω = A ∩ (
n
[
j=1
H
j
) =
n
[
j=1
(A| ∩ H
j
)
przy czym
(A ∩ H
i
) ∩ (A ∩ H
j
) = ∅ dla i 6= j
Stąd
P [A] = P [
n
[
j=1
(A ∩ H
j
] =
n
X
j=1
P [A ∩ H
j
] =
n
X
j=1
P [A|H
j
] · P [H
j
]
gdyż
P [A|H
j
] =
P [A ∩ H
j
]
P [H
j
]
dla j = 1, . . . , n
Uwaga! Wzór na prawdopodobieństwo całkowite można łatwo uogólnić na nieskończoną przeliczalną ilość
zdarzeń H
1
, H
2
, . . . ∈ F spełniających warunki H
i
∩ H
j
= ∅, i 6= j,
∞
S
n=1
H
n
= Ω, oraz P [h
j
] 0 dla j 1
1