Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 1

Funkcja kwadratowa

Zad.1

Narysuj wykresy podanych funkcji kwadratowych. Podaj miejsce zerowe, punkt przecięcia z

osią OY , przedziały monotoniczności funkcji oraz znak funkcji.

Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli, jej postać iloczynową i kanoniczną:

a) y = 2x

2

+ 1 ;

b) y = −

1
2

x

2

+ 3 ;

c) y = (x − 1)

2

;

d) y = 2x

2

+ 6x − 8 ;

e) y = −x

2

+ 2x − 1 ;

f) y = x

2

− x − 2 ;

g) y = −3x

2

+ 6x ;

h) y = −2x

2

− 3x −

1
8

;

i) y = x

2

− 2x + 3 ;

Zad.2

Naszkicuj wykresy funkcji:

a) y = |x

2

− 4x + 3| ;

b) y = |x

2

+ 4x − 12| ;

c) y = |−3x

2

+ 8x| ;

d) y = |x

2

+ 6x + 8| ;

e) y = |−x

2

+ 2x + 3| ;

c) y = |−x

2

− x + 1| ;

d) y = x

2

− 2 |x| ;

e) y = 3x

2

+ 6 |x| + 3 ;

f) y = x

2

+ 4 |1 − x| ;

g) y = |x

2

+ 1| + |x| ;

h) y = (x + 1) |x − 2| ;

i) y =

|

x

2

−4

|

x

2

−4

x

2

;

Zad.3

Rozwiąż równania:

a) x

2

+ 8x + 12 = 0 ;

b) x

2

− x − 30 = 0 ;

c) x

2

+ 12x − 108 = 0 ;

d) 3x

2

− 4x = 39 ;

e) x

2

+ 2

2
3

x − 1 = 0 ;

c)

3
4

x

2

− 5x + 8 = 0 ;

d) −7x

2

+ 42x = 0 ;

e)

1
4

x

2

−

1
9

= 0 ;

f) (x − 1)(x − 2) = 20 ;

g) 4(x

2

− 1) = 4x − 1 ;

h) (x + 3)

2

− (x + 4)

2

= 3x

2

;

i) x

2

+ 3x +

√

5 = 0 ;

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 2

Zad.4

Rozwiąż równania kwadratowe z wartością bezwzględną:

a) x

2

− 5 |x| + 4 = 0 ;

b) 2x

2

− |x − 3| = 0 ;

c) −4x

2

+ 12 |x| − 1 = 0 ;

d) |3x

2

− 3| − 4x = 0 ;

e) (x − 1) |x + 1| − 3 = 0 ;

f) 2x

2

− 3x = |x

2

− 4| + 2 ;

g) |x

2

− 1| = |x + 1| ;

h) |x

2

− 1| = 2 |x

2

− 3|

Zad.5

Rozwiąż algebraicznie i graficznie równania:

a) |x

2

− 2x| = 1 ;

b) |x

2

+ 6x + 5| = 3 ;

c) |−x

2

+ 2x + 25| = 10 ;

d) |x

2

− 6x + 7| = 2 ;

e) |−x

2

+ 5x − 6| =

1
4

;

c) |x

2

+ 4x + 4| = 4 ;

d) |−2x

2

+ 3x − 4| = 2, 8

Zad.6

Rozwiązać równania:

a) f (x − 1) = 4, jeśli f (x) = x

2

+ x − 2 ;

b) f (x) = 0, jeśli f (x − 1) = x

2

+ 3x − 2 ;

Zad.7

Rozwiąż nierówności kwadratowe:

a) x

2

− 6x < 0 ;

b) 2x

2

− 3x − 2 ­ 0 ;

c) 3x

2

− 12x + 25 > 0 ;

d) −x

2

+ 8x + 12 ­ 0 ;

e) |−x

2

+ 5x| < 3x + 1 ;

f) |x

2

+ 4x + 4| ¬ 4 ;

g) |x

2

− 4| ­ |x + 1|

Zad.8

Obliczyć wartość funkcji f (x) = x

2

+

1

x

2

w punktach, w których x +

1
x

= 5.

Zad.9

Wyznaczyć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego y = x

2

+ 4x + 1.

Zad.10

Znaleźć maksimum funkcji y =

2

√

2x

2

−4x+3

.

Zad.11

Dla jakich ”k” funkcja f (x) = x

2

+ kx + 1 jest malejąca w przedziale (−∞, 1) i tylko w tym

przedziale?

Zad.12

Wykres funkcji y = ax

2

+ bx + c przechodzi przez punkty A(−2, 6) , B(8, 16), a wierzchołek

paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej x = 0. Wyznacz tę funkcję.

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Zad.13

Dla jakich wartości parametru ”t” wyrażenie

x

√

x

2

−8x+|t|

jest określone dla każdego x ∈ R?

Zad.14

Dla jakich wartości parametru ”m” najmniejsza wartość funkcji

f (x) = (3m − 5)x

2

− (2m − 1)x +

1
4

(3m − 5) jest liczbą dodatnią?

Zad.15

Dla jakich wartości parametru ”m” równanie ma dokładnie jeden pierwiastek?

Znajdź ten pierwiastek.

a) mx

2

+ 2(m − 1)x + m − 3 = 0

b) (8m − 11)x

2

− 5x + m − 1 = 0

c) (m − 1)x

2

− 2(m + 1)x + m − 2 = 0

Zad.16

Dla jakich wartości parametru ”m” funkcja:

a) f (x) = x

2

− mx + 1

b) f (x) = mx

2

− x + m

przyjmuje tylko wartości dodatnie?

Zad.17

Dla jakich wartości parametru ”m” liczba 2 leży między pierwiastkami równania

x

2

+ 4mx + 3m

2

= 0?

Zad.18

Dla jakich wartości parametru ”m” równanie mx

2

− x − 3 = 0 ma dwa pierwiastki spełniające

warunki x

2
1

+ x

2
2

= 7?

Zad.19

Dla jakich wartości parametru ”a” suma kwadratów pierwiastków równania x

2

+ ax + 4 = 0

jest dwa razy większa od sumy tych pierwiastków?

Zad.20

Dla jakich wartości parametru ”k” suma kwadratów pierwiastków równania

x

2

+ (k − 3)x + k − 5 = 0 jest najmniejsza?

Zad.21

Sporządź wykes funkcji f (m) , gdzie f (m) jest liczbą pierwiastków równania

(m − 1)x

2

+ m

√

7x + m

2

+ m + 1 = 0?

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 4

Zad.22

Dla jakich wartości parametru ”m” równanie x

2

+ 3x −

m−2
m−3

= 0 ma pierwiastki rzeczywiste?

Wyznacz wartość parametru ”m”, dla którego suma sześcianów pierwiastków tego równania

równa jest −9.

Zad.23

Dla jakich wartości parametru ”m” różnica pierwiastków równania (m − 2)x

2

−(m −4)x −2 = 0

wynosi 3?

Zad.24

Dla jakich wartości parametru ”m” pierwiastki równania x

2

− 2mx + m

2

− 1 = 0 są zawarte

miedzy −2 i 4 ?

Zad.25

Znaleźć trójmian kwadratowy znając sumę jego pierwiastków 8, sumę odwrotności jego pier-

wiastków

2
3

i wiedząc, że dla x = 0 przyjmuje on wartość 24.

Zad.26

Dana jest funkcja y = (2m − 3)x

2

+ 4mx + m − 1

a) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta przyjmuje wartości ujemne dla każdego x ∈ R?

b) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta ma różne miejsca zerowe spełniające warunek

−mx

1

x

2

< x

1

+ x

2

?

c) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta jest funkcją liniową?

Zad.27

Dane jest równanie (m − 5)x

2

− 4mx + m − 2 = 0. Dla jakich wartości parametru m równanie:

a) Posiada dokładnie jeden pierwiastek. Dla wyznaczonych wartości m oblicz ten pierwiastek.

b) Posiada dwa pierwiastki różnych znaków.

Zad.28

Wyznacz liczbę rzeczywistych pierwiastków równania x |x| = x + c w zależności od parametru

c.

Zad.29

Niech f (m) oznacz liczbę pierwiastków równania |4x

2

− 4x − 3| = m. Narysować wykres funkcji

m → f (m).

Zad.30

Znaleźć liczby p i q takie, aby trójmian x

2

+ px + q dla wartości x spełniających warunek

1 < x < 5 i tylko dla tych wartości, był mniejszy od x.

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 5

Zad.31

Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax

2

+bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (3, 0)

i y

max

= 12 dla x = 1.

Zad.32

Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax

2

+bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (1, 1)

i y

min

= 0 dla x = 3.

Zad.33

Pierwiastkami wielomianu f (x) = ax

2

+ bx + c, a 6= 0, są liczby −1 i 2. Obliczyć

f (1)

f (0)

.

Zad.34

Wykres funkcji y = −2x

2

+ 4x − 5c jest styczny do osi odcietych. Wyznaczyć wartość parametru

c.

Zad.35

Z kawałka płótna w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie 2 m i wysokości opusz-

czonej na tą podstawę równej 1 m, hafciarka chce wyciąć prostokątną serwetę o największym

polu powierzchni. Jakie wymiary powinna mieć ta serweta?

Zad.36

Tabela pokazuje częściowe wyniki obserwacji dotyczącej związku między liczbą osób zwiedza-

jących muzeum a porą dnia. Muzeum otwarte jest w godzinach: 9

00

− 19

00

.

pora dnia

10

00

12

00

18

00

liczba osób zwiedzających

58

40

10

.

Przyjmując, że funkcja f (x) = −1, 5x

2

+bx+c, gdzie x-oznacza porę dnia wyrażoną w godzinach,

dobrze opisuje tez związek:

a) wyznacz współczynniki b oraz c

b) uzupełnij tabelę.

Zad.37

Kierowca ustalił, że drogę długości 208km może przejechać z pewną stałą prędkością V

"

km

h

#

,

w czasie t [h]. Gdyby zaś jechał z predkością o 13

km

h

większą, wówczas trasę tę pokonałby w

czasie 0, 8h krótszym. Oblicz, jaką predkość ustalił kierowca.