P
O
LI
TE
CH
NIKA
Ś
L
Ą
S
K
A
W
Y
D
ZIA
Ł TRANSP
O
R
T
U
Temat
ć
wiczenia
Analiza cz
ę
stotliwo
ś
ciowa
P
O
LI
TE
CH
NIKA
Ś
L
Ą
S
K
A
W
Y
D
ZIA
Ł TRANSP
O
R
T
U
Temat
ć
wiczenia
Analiza cz
ę
stotliwo
ś
ciowa
Analiza cz
ę
stotliwo
ś
ciowa sygnałów
1. Wprowadzenie
Analiz
ę
cz
ę
stotliwo
ś
ciow
ą
stosuje si
ę
powszechnie w wielu dziedzinach
techniki. Umo
Ŝ
liwia ona okre
ś
lenie cz
ę
stotliwo
ś
ci składowych zawartych w
przebiegu czasowym funkcji. Je
Ŝ
eli funkcja jest okresowa, to korzystaj
ą
c z
przekształcenia Fouriera mo
Ŝ
na okre
ś
li
ć
warto
ś
ci amplitud cz
ę
stotliwo
ś
ci
podstawowej i harmonicznych. Z tego powodu analiza cz
ę
stotliwo
ś
ciowa bywa
równie
Ŝ
nazywana analiz
ą
harmoniczn
ą
. Analiza cz
ę
stotliwo
ś
ciowa mo
Ŝ
e by
ć
równie
Ŝ
stosowana
do
funkcji
nieokresowych.
Stosuje
si
ę
wówczas
przekształcenie całkowe Fouriera.
Szeregi Fouriera stosuje si
ę
jedynie w odniesieniu do funkcji okresowych.
Szczególn
ą
cech
ą
przebiegu okresowego jest jego powtarzalno
ść
:
T
f
n
nT
t
x
t
x
1
2
....;
2
,
1
,
0
);
(
)
(
0
0
=
=
=
±
=
π
ω
Szereg Fouriera funkcji okresowej ma posta
ć
:
)
sin
cos
(
2
)
(
1
1
1
0
∑
=
+
+
=
n
k
k
k
t
k
b
t
k
a
a
t
x
ω
ω
gdzie:
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
2
2
2
2
2
2
1
1
0
sin
)
(
2
;
cos
)
(
2
;
)
(
1
T
T
T
T
T
T
k
k
tdt
k
t
x
T
b
tdt
k
t
x
T
a
dt
t
x
T
a
ω
ω
Wykres współczynników Fouriera przedstawiaj
ą
c udział poszczególnych
harmonicznych w przebiegu x(t) daje obraz rozkładu jego cz
ę
stotliwo
ś
ci. Wykres
ten
jest
nazywany
widmem
cz
ę
stotliwo
ś
ciowym.
Podczas
pomiaru
współczynników Fouriera za pomoc
ą
analizatora harmonicznego okre
ś
la si
ę
warto
ś
ci c
k
2
=a
k
2
+b
k
2
. Warto
ś
ci te s
ą
przedstawiane jako widmo funkcji okresowej.
2. Przebieg
ć
wiczenia
W trakcie
ć
wiczenia nale
Ŝ
y okre
ś
li
ć
widma cz
ę
stotliwo
ś
ciowe dla przebiegów:
- sinusoidalnego
- prostok
ą
tnego
- trójk
ą
tnego
- zmodulowanego.
2.1. Analiza sygnałów niemodulowanych
Porówna
ć
wyniki analizy cz
ę
stotliwo
ś
ciowej z szeregiem Fouriera i wykre
ś
li
ć
widma cz
ę
stotliwo
ś
ciowe.
Szeregi Fouriera dla przebiegu:
prostok
ą
tnego
....)
5
sin
5
1
3
sin
3
1
(sin
4
)
(
1
1
1
+
+
+
=
t
t
t
A
t
x
ω
ω
ω
π
trójk
ą
tnego
....)
5
sin
25
1
3
sin
9
1
(sin
8
)
(
1
1
1
2
−
+
−
=
t
t
t
A
t
x
ω
ω
ω
π
Schemat blokowy układu pomiarowego w przypadku sygnałów niezmodulowanych:
GENERATOR
FUNKCYJNY
ANALIZATOR
NANOWOLTOMIER
Z SELEKTYWNY
OSCYLOSKOP
2.2. Analiza sygnałów zmodulowanych
Proces oddziaływania jednego sygnału zwanego sygnałem moduluj
ą
cym
x(t)=X
m
cos
ω
t na inny sygnał zwany no
ś
nym i
c
=I
cm
cos
Ω
0
t nazywa si
ę
modulacj
ą
.
Sygnał zmodulowany ma nast
ę
puj
ą
cy przebieg:
( )
t
m
I
t
m
I
t
I
t
cm
cm
cm
)
cos(
2
)
cos(
2
cos
0
0
0
ω
ω
ϕ
−
Ω
+
+
Ω
+
Ω
=
gł
ę
boko
ść
modulacji okre
ś
lana jest nast
ę
puj
ą
co:
1
0
;
≤
≤
=
m
I
X
m
cm
m
Widmo sygnału zmodulowanego zawiera składow
ą
o cz
ę
sto
ś
ci
Ω
0
oraz du
Ŝ
e
składowe boczne
Ω
0
±
ω
.
Schemat blokowy układu pomiarowego dla sygnałów modulowanych:
3. Wytyczne do sprawozdania
1. wykre
ś
li
ć
widma analizowanych sygnałów niemodulowanych
2. wykre
ś
li
ć
widma analizowanych sygnałów zmodulowanych
3. wyznaczy
ć
widma teoretyczne analizowanych sygnałów
GENERATOR
SYGNAŁU
NOŚNEGO
MODULATOR
ANALIZATOR
NANOWOLTOMIER
Z SELEKTYWNY
OSCYLOSKOP
Tabela pomiarowa 1
warto
ś
ci kolejnych amplitud harmonicznych sygnałów
niemodulowanych
przebieg
I
II
III
IV
V
uwagi
A=
T=
A=
T=
A=
T=
A=
T=
A=
T=
A=
T=
Tabela pomiarowa 2
warto
ś
ci amplitud składowych sygnału
zmodulowanego
gł
ę
boko
ść
modulacji
m
Ω
0
=
ω
=
Ω
0
+
ω
Ω
0
-
ω
uwagi
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
Analiza częstotliwościowa z wykorzystaniem programu MatLab.
Widok programu po otwarciu.
W oknie Workspace wyświetlane są informacje dotyczące danych (wektorów macierzy ). Za
pomocą komend File- Open otworzyć pliki z sygnałami do analizy ( .mat)
Analizę częstotliwościową w środowisku Matlab umoŜliwia dodatek o nazwie Signal
Procesing Toolbox . Uruchomienie toolboxa polega na wpisaniu komendy sptool w wierszu
okna komend Matlaba i zatwierdzeniu enter-em.
Za pomocą komendy File-Import w oknie SPtool wprowadzić sygnały. Wpisać kaŜdorazowo
częstotliwość próbkowania (sampling frequency) 5000.
Po zatwierdzeniu (ok) pojawi się zaimportowany sygnał w podoknie Signals okna SPtool.
Oznaczyć zaimportowany sygnał i wyświetlić (View).
Aby wyznaczyć FFT sygnału czasowego (szybką transformate Fouriera) w oknie SPtool
nacisnąć Create pod zakładką Spectrum.
W opcjach metod wybrać FFT, w okienku Nfft wpisać liczbę próbek (długość sygnału). Z
menu Options wybrać Magnitude Scale i zmienić na Linear.
Za pomocą markerów przesuwanych myszką wyznaczyć wartości częstotliwości
charakterystycznych sygnału (x- połoŜenie na osi częstotliwości, y – wartość amplitudy ) i
wpisać wyniki na kartę pomiarową.
Przebieg ćwiczenia:
Wykonać analizy FFT dla wskazanych przez prowadzącego sygnałów (sinusoida , fala
prostokątną trójkatna itd.)