Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´
S, r. 2003/2004
I. Cz¸e´s´
c zadaniowa
1. Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = x +
ln(3 + x)
x
.
2. Wyznaczy´c ekstrema funkcji g(x) = (x
2
− 2x)
2/3
.
3. Obliczy´c caÃlki
a)
Z
ln
2
(x +
p
1 + x
2
) dx
b)
Z
4
√
x + 2
x(
3
√
x + 4
6
√
x)
dx
4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot dookoÃla osi OX obszaru ograniczonego krzywymi
y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x ≥ 0. Wykona´c rysunek.
5. Wyznaczy´c dla jakich dodatnich warto´sci parametru a poni˙zszy ukÃlad ma rozwi¸azanie:
2
0
4
0 1 + a 0
1
0
2
− a · I
x
y
z
=
h
a
2
a 1
i
T
6. Obliczy´c z =
µ
1 + i
√
2
¶
26
.
Przedstawi´c na pÃlaszczy´znie zespolonej z
a
, gdzie a jest granic¸a
nast¸epuj¸acego ci¸agu liczbowego: a
n
=
3 + 5 + ... + (2n + 1)
3n
2
+ 2
.
II. Cz¸e´s´
c teoretyczna
T.1 SformuÃlowa´c warunek konieczny i wystarczaj¸acy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-
stawie tego twierdzenia zbada´c istnienie lim
x→0
x − 1
1 + 2
1/x
. Poda´c definicj¸e ci¸agÃlo´sci funkcji w punkcie.
T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie Kroneckera–Capelli’ego. Poda´c definicj¸e rz¸edu macierzy. Poda´c przykÃlad
macierzy rz¸edu trzeciego nie b¸ed¸acej macierz¸a kwadratow¸a.
T.3 Poda´c definicj¸e caÃlek niewÃla´sciwych drugiego rodzaju. Zilustrowa´c dwa przypadki rysunkami.
Poda´c po jednym przykÃladzie caÃlki do ka˙zdego z nich (bez rozwi¸azania).
Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´
S, r. 2003/2004
I. Cz¸e´s´
c zadaniowa
1. Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = x +
ln(3 + x)
x
.
2. Wyznaczy´c ekstrema funkcji g(x) = (x
2
− 2x)
2/3
.
3. Obliczy´c caÃlki
a)
Z
ln
2
(x +
p
1 + x
2
) dx
b)
Z
4
√
x + 2
x(
3
√
x + 4
6
√
x)
dx
4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot dookoÃla osi OX obszaru ograniczonego krzywymi
y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x ≥ 0. Wykona´c rysunek.
5. Wyznaczy´c dla jakich dodatnich warto´sci parametru a poni˙zszy ukÃlad ma rozwi¸azanie:
2
0
4
0 1 + a 0
1
0
2
− a · I
x
y
z
=
h
a
2
a 1
i
T
6. Obliczy´c z =
µ
1 + i
√
2
¶
26
.
Przedstawi´c na pÃlaszczy´znie zespolonej z
a
, gdzie a jest granic¸a
nast¸epuj¸acego ci¸agu liczbowego: a
n
=
3 + 5 + ... + (2n + 1)
3n
2
+ 2
.
II. Cz¸e´s´
c teoretyczna
T.1 SformuÃlowa´c warunek konieczny i wystarczaj¸acy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-
stawie tego twierdzenia zbada´c istnienie lim
x→0
x − 1
1 + 2
1/x
. Poda´c definicj¸e ci¸agÃlo´sci funkcji w punkcie.
T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie Kroneckera–Capelli’ego. Poda´c definicj¸e rz¸edu macierzy. Poda´c przykÃlad
macierzy rz¸edu trzeciego nie b¸ed¸acej macierz¸a kwadratow¸a.
T.3 Poda´c definicj¸e caÃlek niewÃla´sciwych drugiego rodzaju. Zilustrowa´c dwa przypadki rysunkami.
Poda´c po jednym przykÃladzie caÃlki do ka˙zdego z nich (bez rozwi¸azania).