Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´

S, r. 2003/2004

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = x +

ln(3 + x)

x

.

2. Wyznaczy´c ekstrema funkcji g(x) = (x

2

− 2x)

2/3

.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

Z

ln

2

(x +

p

1 + x

2

) dx

b)

Z

4

√

x + 2

x(

3

√

x + 4

6

√

x)

dx

4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot dookoÃla osi OX obszaru ograniczonego krzywymi

y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x ≥ 0. Wykona´c rysunek.

5. Wyznaczy´c dla jakich dodatnich warto´sci parametru a poni˙zszy ukÃlad ma rozwi¸azanie:













2

0

4

0 1 + a 0
1

0

2







− a · I













x
y

z







=

h

a

2

a 1

i

T

6. Obliczy´c z =

µ

1 + i

√

2

¶

26

.

Przedstawi´c na pÃlaszczy´znie zespolonej z

a

, gdzie a jest granic¸a

nast¸epuj¸acego ci¸agu liczbowego: a

n

=

3 + 5 + ... + (2n + 1)

3n

2

+ 2

.

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 SformuÃlowa´c warunek konieczny i wystarczaj¸acy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-

stawie tego twierdzenia zbada´c istnienie lim

x→0

x − 1

1 + 2

1/x

. Poda´c definicj¸e ci¸agÃlo´sci funkcji w punkcie.

T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie Kroneckera–Capelli’ego. Poda´c definicj¸e rz¸edu macierzy. Poda´c przykÃlad

macierzy rz¸edu trzeciego nie b¸ed¸acej macierz¸a kwadratow¸a.

T.3 Poda´c definicj¸e caÃlek niewÃla´sciwych drugiego rodzaju. Zilustrowa´c dwa przypadki rysunkami.

Poda´c po jednym przykÃladzie caÃlki do ka˙zdego z nich (bez rozwi¸azania).

Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´

S, r. 2003/2004

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = x +

ln(3 + x)

x

.

2. Wyznaczy´c ekstrema funkcji g(x) = (x

2

− 2x)

2/3

.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

Z

ln

2

(x +

p

1 + x

2

) dx

b)

Z

4

√

x + 2

x(

3

√

x + 4

6

√

x)

dx

4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot dookoÃla osi OX obszaru ograniczonego krzywymi

y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x ≥ 0. Wykona´c rysunek.

5. Wyznaczy´c dla jakich dodatnich warto´sci parametru a poni˙zszy ukÃlad ma rozwi¸azanie:













2

0

4

0 1 + a 0
1

0

2







− a · I













x
y

z







=

h

a

2

a 1

i

T

6. Obliczy´c z =

µ

1 + i

√

2

¶

26

.

Przedstawi´c na pÃlaszczy´znie zespolonej z

a

, gdzie a jest granic¸a

nast¸epuj¸acego ci¸agu liczbowego: a

n

=

3 + 5 + ... + (2n + 1)

3n

2

+ 2

.

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 SformuÃlowa´c warunek konieczny i wystarczaj¸acy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-

stawie tego twierdzenia zbada´c istnienie lim

x→0

x − 1

1 + 2

1/x

. Poda´c definicj¸e ci¸agÃlo´sci funkcji w punkcie.

T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie Kroneckera–Capelli’ego. Poda´c definicj¸e rz¸edu macierzy. Poda´c przykÃlad

macierzy rz¸edu trzeciego nie b¸ed¸acej macierz¸a kwadratow¸a.

T.3 Poda´c definicj¸e caÃlek niewÃla´sciwych drugiego rodzaju. Zilustrowa´c dwa przypadki rysunkami.

Poda´c po jednym przykÃladzie caÃlki do ka˙zdego z nich (bez rozwi¸azania).