EGZAMIN z ALGEBRY
luty 2013
Imię i nazwisko
grupa
(dużymi literami)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. Podać definicję podprzestrzeni wektorowej U przestrzeni wektorowej V. Wykazać, że jądro
F
Ker
odwzorowania liniowego
W
V
F
→
:
jest podprzestrzenią przestrzeni V. Wyznaczyć
F
Ker
oraz
F
Im
odwzorowania
3
3
:
R
R
F
→
,
(
) (
)
z
y
x
z
y
x
y
x
z
y
x
F
2
2
2
,
4
2
,
3
,
,
−
+
−
+
+
=
.
Podać interpretację geometryczną tych zbiorów. Czy wektor
(
)
F
v
Im
10
,
7
,
2
∈
=
? Czy wektor
(
)
4
,
2
,
6
−
=
w
jest wektorem własnym odwzorowania F ?
2. Pierwiastek równania
0
13
2
2
=
+
−
z
z
spełniający warunek
(
)
1
−
<
−
z
i
i
z
jest
pierwiastkiem 6-tego stopnia pewnej liczby zespolonej
w
. Wyznaczyć (w postaci
algebraicznej) dwa dowolne inne pierwiastki liczby
w
. W rozwiązaniu zadania powołać się na
odpowiednie własności liczb zespolonych.
3. Wyznaczyć prostą styczną i płaszczyznę ściśle styczną do krzywej o przedstawieniu
parametrycznym
R
t
t
e
e
t
t
r
t
t
∈
−
+
−
=
−
−
),
3
2
,
1
,
1
3
(
)
(
w punkcie
(
)
2
,
2
,
1
−
. Czy krzywa jest
płaska? Zinterpretować parametr τ (skręcenie) i obliczyć skręcenie w punktach
1
P
i
2
P
odpowiadających parametrom
1
1
−
=
t
oraz
1
2
=
t
.
4. Sprowadzić formę kwadratową
(
)
3
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
4
3
,
,
x
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
+
=
do postaci kanonicznej,
znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma kwadratowa jest
istotnie (ściśle) ujemnie określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?
5. Uzasadnić, że proste
=
−
+
=
−
+
+
0
4
2
0
5
2
2
:
1
z
y
z
y
x
l
i
t
z
t
y
t
x
l
+
=
−
−
=
+
−
=
5
,
2
2
,
2
:
2
wraz płaszczyzną
0
5
2
=
−
+
+
z
y
x
tworzą trójkąt. Wyznaczyć jego pole.
6. Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne
1
−
F (podać wzór) dla odwzorowania liniowego
2
2
:
R
R
F
→
,
(
) (
)
2
1
2
1
2
1
2
,
3
5
,
x
x
x
x
x
x
F
+
−
−
=
oraz
)
1
,
5
(
1
−
−
F
.
Znaleźć macierz odwzorowania F w bazie
( ) ( )
{
}
2
,
1
,
1
,
1
−
=
B
.
