1
1
Pomoc dydaktyczna (5 stron) do sprawdzianu S1
z przedmiotu „Mechanika i Wytrzymało
ść
Materiałów”
przeznaczona dla studentów I roku studiów stacjonarnych I stopnia
w kierunku „Metalurgia” na Wydziale Energetyki i Paliw
w roku akademickim 2013/2014
Autor : Marek Płachno
dr hab. in
ż
., prof. ndzw. AGH
Wydział In
ż
ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH
Katedra Wytrzymało
ś
ci, Zm
ę
czenia Materiałów i Konstrukcji
e-mail: plachno@agh.edu.pl
Informacja stanowi przedmiot prawa autorskiego okre
ś
lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach
pokrewnych (Dz. U. z 2006 r. nr 90 poz,631, nr 94 poz. 658, nr 121 poz. 843, z 2007 r. nr 99 poz. 662,
Nr 181 poz. 1293.
Autor nie wyra
ż
a zgody na inne wykorzystywanie niniejszej informacji ni
ż
podane w jej przeznaczeniu.
2
Ć
wiczenie T2: Analiza statyczna obiektów mechanicznych - cz.2
Przykład sformułowania równa
ń
równowagi statycznej dla obiektu mechanicznego
Dla obiektu, którym jest wspornik pr
ę
towy z ci
ęż
arem własnym G
AB
+G
BC
oraz obci
ąż
eniem roboczym
Q, pokazany na rys.1, opracowano - w wyniku 1. cz
ęś
ci analizy statycznej - dwa układy płaskie ob-
ci
ąż
e
ń
AB i BC, o schematach jak na rys. 2 oraz 3. W oparciu o te schematy sformułowa
ć
równania
równowagi statycznej obiektu, umo
ż
liwiaj
ą
ce obliczenie sił wyst
ę
puj
ą
cych w jego zamocowaniu do
pionowej
ś
ciany
.
1. Analizowany obiekt mechaniczny oraz układy obci
ąż
e
ń
przyporz
ą
dkowane jego elementom
2
3
Dobór – oddzielnie do ka
ż
dego układu obci
ąż
e
ń
– bieguna, tj. punktu,
który b
ę
dzie dla tego układu pocz
ą
tkiem jego układu współrz
ę
dnych x, y,
a nast
ę
pnie narysowanie osi x, y na schemacie układu obci
ąż
e
ń
,
którego ten dobór dotyczył
2
.
4
3. Opracowanie szablonów dla tablic
sił i momentów
P
6
=
R
Cy
P
5
=
R
Cx
P
5
=
R
By
P
4
=
R
By
P
4
=
R
Bx
P
3
=
R
Bx
P
3
=
R
Ay
P
2
=
Q
P
2
=
R
Ax
P
1
=
G
BC
P
1
=
G
AB
kN
kN
m
kNm
kN
m
kN
-,
°
kNm, kN
kN
kN
m
kNm
kN
m
kN
-,
°
kNm, kN
M
uiy
P
ix
y
i
M
uix
P
iy
x
i
M
ij
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
M
uiy
P
ix
y
i
M
uix
P
iy
x
i
M
ij
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
4. Opracowanie kolumn 2÷6 w tablicach
sił i momentów
0
R
Cy
0
-
90°
P
6
=
R
Cy
0
0
0
-
0 °
P
5
=
R
Cx
a·
R
By
R
By
a
-
90°
P
5
=
R
By
- a·
R
By
- R
By
a
-
270°
P
4
=
R
By
0
0
0
-
0 °
P
4
=
R
Bx
0
0
0
-
180°
P
3
=
R
Bx
0
R
Ay
0
-
90°
P
3
=
R
Ay
- a· Q
- Q
a
-
270°
P
2
=
Q
0
0
0
-
0°
P
2
=
R
Ax
- 0,5·a· G
BC
- G
BC
0,5·a
-
270°
P
1
=
G
BC
-0,5·a· G
AB
-G
AB
0,5·a
-
270°
P
1
=
G
AB
kNm
kN
m
kN
-,
°
kNm, kN
kNm
kN
m
kN
-,
°
kNm, kN
M
uix
P
iy
x
i
M
ij
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
M
uix
P
iy
x
i
M
ij
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
,
i
i
ij
M
k
M
⋅⋅⋅⋅
====
di
i
iy
sin
P
P
α
αα
α
⋅⋅⋅⋅
====
iy
i
uix
P
x
M
⋅⋅⋅⋅
====
∑
∑
∑
∑
====
⋅⋅⋅⋅
====
5
1
i
iyAB
iAB
uxAB
P
x
M
By
BC
R
a
Q
a
G
a
5
,
0
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
By
Ay
AB
R
R
G
++++
++++
−−−−
====
By
AB
R
a
G
a
5
,
0
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
∑
∑
∑
∑
====
====
5
1
i
iyAB
yAB
P
W
∑
∑
∑
∑
====
⋅⋅⋅⋅
====
6
1
i
iyBC
iBC
uxBC
P
x
M
∑
∑
∑
∑
====
====
6
1
i
iyBC
yBC
P
W
Cy
By
BC
R
R
Q
G
++++
−−−−
−−−−
−−−−
====
,
0
M
0
0
i
ijAB
∑
∑
∑
∑
====
====
,
0
M
0
0
i
ijBC
∑
∑
∑
∑
====
====
5
.
Opracowanie kolumn 7÷9 w tablicach
sił i momentów
0
0
0
90°
P
6
=
R
Cy
0
R
Cx
0
0 °
P
5
=
R
Cx
0
0
0
90°
P
5
=
R
By
0
0
0
270°
P
4
=
R
By
0
R
Bx
0
0 °
P
4
=
R
Bx
-b·
R
Bx
- R
Bx
b
180°
P
3
=
R
Bx
0
0
0
90°
P
3
=
R
Ay
0
0
0
270°
P
2
=
Q
0
R
Ax
0
0°
P
2
=
R
Ax
0
0
0
270°
P
1
=
G
BC
0
0
0
270°
P
1
=
G
AB
kNm
kN
m
-,
°
kNm, kN
kNm
kN
m
-,
°
kNm, kN
M
uiy
P
ix
y
i
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
M
uiy
P
ix
y
i
k
i,
α
αα
α
di
M
i,
P
i
9
8
7
2
1
9
8
7
2
1
di
i
ix
cos
P
P
α
αα
α
⋅⋅⋅⋅
====
ix
i
uiy
P
y
M
⋅⋅⋅⋅
====
0
P
y
M
5
1
i
ixAB
iAB
uyAB
∑
∑
∑
∑
====
====
⋅⋅⋅⋅
====
Bx
R
b
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
∑
∑
∑
∑
====
====
5
1
i
ixAB
xAB
P
W
∑
∑
∑
∑
====
====
6
1
i
ixBC
xBC
P
W
Bx
Ax
R
R
++++
====
Cx
Bx
R
R
++++
−−−−
====
∑
∑
∑
∑
====
⋅⋅⋅⋅
====
6
1
i
ixBC
iBC
uyBC
P
y
M
4
6. Zestawienie wyników oblicze
ń
uzyskanych
za pomoc
ą
tablic sił i momentów
Bx
Ax
xAB
R
R
W
++++
====
uyAB
uxAB
5
1
i
ijAB
wAB
M
M
M
M
−−−−
++++
====
====
∑
∑
∑
∑
∑
====
====
0
0
i
ijAB
0
M
By
AB
uxAB
R
a
G
a
5
,
0
M
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
By
Ay
AB
yAB
R
R
G
W
++++
++++
−−−−
====
0
M
uyAB
====
Cx
Bx
xBC
R
R
W
++++
−−−−
====
R
b
M
Bx
uyBC
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
Cy
By
BC
yBC
R
R
Q
G
W
++++
−−−−
−−−−
−−−−
====
By
BC
uxBC
R
a
Q
a
G
a
5
,
0
M
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
uyBC
uxBC
6
1
i
ijBC
wBC
M
M
M
M
−−−−
++++
====
====
∑
∑
∑
∑
∑
====
====
0
0
i
ijBC
0
M
7
.
Algebraiczne przetworzenie wyników oblicze
ń
uzyskanych za pomoc
ą
tablic sił i momentów na zale
ż
no
ś
ci opisuj
ą
ce siły wypadkowe i momenty wypadkowe
układów obci
ąż
e
ń
AB iCD
Bx
Ax
xAB
R
R
W
++++
====
By
Ay
AB
yAB
R
R
G
W
++++
++++
−−−−
====
By
AB
wAB
R
a
G
a
5
,
0
M
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
Cx
Bx
xBC
R
R
W
++++
−−−−
====
Cy
By
BC
yBC
R
R
Q
G
W
++++
−−−−
−−−−
−−−−
====
Q
a
G
a
5
,
0
R
a
R
b
M
Bc
By
Bx
wBC
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
====
5
8
. Pocz
ą
tkowa posta
ć
równa
ń
równowagi statycznej wspornika pr
ę
towego
AC
AB
By
Ay
G
R
R
====
++++
0
R
R
Cx
Bx
====
++++
−−−−
AB
By
G
5
,
0
R
⋅⋅⋅⋅
====
Q
G
R
R
BC
Cy
By
++++
====
++++
−−−−
Q
a
G
a
5
,
0
R
a
R
b
Bc
By
Bx
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
0
R
R
Bx
Ax
====
++++
9. Uporz
ą
dkowana posta
ć
równa
ń
równowagi statycznej wspornika pr
ę
towego AC
Q
a
G
a
5
,
0
R
0
R
0
R
a
R
b
R
0
R
0
Bc
CY
CX
By
Bx
AY
AX
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
AB
Cy
CX
By
BX
Ay
AX
G
R
0
R
0
R
1
R
0
R
1
R
0
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
0
R
0
R
0
R
0
R
1
R
0
R
1
Cy
Cx
By
Bx
Ay
Ax
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
0
R
0
R
1
R
0
R
)
1
(
R
0
R
0
Cy
Cx
By
Bx
Ay
Ax
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
AB
Cy
Cx
By
Bx
AY
Ax
G
5
,
0
R
0
R
0
R
1
R
0
R
0
R
0
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
(((( ))))
Q
G
R
1
R
0
R
1
R
0
R
0
R
0
BC
Cy
CX
By
BX
Ay
AX
++++
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
10
Zadanie do wykonania we własnym zakresie
Belka technologiczna AB o ciężarze w
ł
asnym G i obciążeniu roboczym Q,
jest utrzymywana w po
ł
ożeniu poziomym za pomocą cięgna napinanego si
ł
ą P.
Dla takiego obiektu opracowano schematy uk
ł
adów obciążeń AB i BC
dzia
ł
ających na jego elementy.
W oparciu o te schematy sformu
ł
ować równania równowagi statycznej obiek-
tu, umożliwiające obliczenie wymaganego naciągu P dla cięgna oraz si
ł
dzia
ł
ających na mur, do którego obiekt jest zamocowany.