5. Linia ugięcia belek
Założenia:
1. Materiał liniowo sprężysty (prawo Hooke’a)
2. Płaszczyzna zginania pokrywa się z osią główną przekroju poprzecznego
3. Obowiązuje zasada zesztywnienia
4. Małe gradienty (pochodne) przemieszczeń ( w ’<<1 )
5. Linia ugięcia belek
Założenia:
1. Materiał liniowo sprężysty (prawo Hooke’a)
2. Płaszczyzna zginania pokrywa się z osią główną przekroju poprzecznego
3. Obowiązuje zasada zesztywnienia
4. Małe gradienty (pochodne) przemieszczeń ( w ’<<1 )
ρ
z
x
A’
B’
A
B
(
)
Y
Y
XX
XX
EI
M
z
EI
M
z
z
z
AB
AB
B
A
=
=
=
=
=
Δ
Δ
−
Δ
+
=
−
=
→
Δ
→
Δ
κ
κ
ε
κ
ρ
ρ
φ
ρ
φ
ρ
φ
ρ
ε
φ
φ
1
lim
'
'
lim
0
0
M
M
krzywizna
Podstawowe zależności
kinematyczne
(
)
''
'
1
''
2
3
2
w
w
w
≅
+
=
κ
w
w
x
0
0
'
'
>
x
0
'
'
>
w
<
κ
w
'
'
w
−
=
⇒
κ
( )
x
M
EIw
w
EI
M
−
=
⇒
−
=
=
'
'
'
'
κ
1
'
2
<<
w
w geometrii różniczkowej wyprowadza się dokładny wzór na krzywiznę:
z założenia o małych gradientach
przemieszczeń:
Równanie różniczkowe linii ugięcia
liniowe, 2-rzędu, niejednorodne,
metoda rozwiązania:
-dwukrotne bezpośrednie całkowanie
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫
∫ ∫
∫
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
=
−
=
D
Cx
dx
dx
x
M
D
dx
C
dx
x
M
x
EIw
C
dx
x
M
x
EIw
x
M
x
EIw
'
'
'
C,D
stałe całkowania wyznaczane z warunków podparcia,
w(0)=0, w(l)=0
w(0)=0, w’(0)=0
w(l)=0, w’(l)=0
w(l)=0, w’(0)=0
w(0)=0, w’(l)=0
Uwaga:
x
x=0
x=l
⇔
Schemat połówkowy
Symetryczna geometria, obciążenia
warunki podparcia (kinematyczne warunki brzegowe)
Przykład 1
M
( )
( )
( )
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
'
2
'
'
'
2
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⇒
=
=
⇒
=
+
⋅
⇒
=
+
+
=
+
+
=
−
+
=
+
=
−
=
−
=
∫
∫
D
D
C
M
EIw
C
C
M
EIw
D
Cx
Mx
D
Cx
Mxdx
EIw
C
Mx
C
Mdx
EIw
M
EIw
M
x
M
( )
( )
EI
Ml
l
w
x
EI
M
x
w
2
2
2
2
−
=
−
=
M
x
Przykład 2
P
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
0
'
;
3
1
0
3
2
3
2
1
3
2
3
2
0
3
2
0
2
0
2
0
'
3
2
2
2
'
'
'
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
Pl
EI
w
Pl
EI
w
Pl
x
Pl
Px
EI
x
w
Pl
l
Pl
l
P
D
D
l
C
l
P
l
EIw
Pl
C
C
Pl
l
EIw
D
Cx
Px
D
Cx
xdx
Px
EIw
C
Px
C
Pxdx
EIw
x
P
EIw
x
P
x
M
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⋅
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⋅
⇒
=
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
+
⋅
=
+
+
=
+
=
+
=
⋅
−
=
−
⋅
−
=
∫
∫
P
x
Przykład 3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
24
1
0
'
;
24
4
6
1
'
384
5
2
1
24
1
8
1
12
1
16
1
24
1
2
;
24
12
24
1
24
12
1
24
1
0
0
4
3
2
3
2
2
0
0
0
0
0
0
0
4
3
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
'
2
2
'
'
2
2
3
3
2
3
4
4
3
3
4
3
3
4
4
4
3
3
2
3
2
2
2
2
ql
EI
w
ql
x
ql
x
q
EI
x
w
EJ
ql
EI
ql
l
w
x
ql
x
ql
x
q
EI
x
w
ql
ql
C
l
C
ql
ql
l
EIw
D
D
C
EIw
D
Cx
qx
qlx
D
Cx
xdx
x
q
x
ql
EIw
C
x
q
x
ql
C
dx
x
q
xdx
ql
EIw
x
q
x
ql
EIw
x
q
x
ql
x
M
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⇒
=
−
=
⇒
=
+
⋅
+
⇒
=
−
+
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
−
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
+
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
∫
∫
∫
x=0
x=l
Przykład 4 – kilka przedziałów charakterystycznych (LP>1)
2
2
2
3
2
2
1
1
3
1
2
2
24
6
14
24
2
14
'
24
14
''
:
)
2
,
1
(
6
14
2
14
'
14
''
:
)
1
,
0
(
D
x
C
x
x
EIw
C
x
x
EIw
x
EIw
D
x
C
x
EIw
C
x
EIw
x
EIw
II
II
II
I
I
I
+
+
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
=
−
Wyznaczanie stałych:
warunki podparcia
+
warunki zszycia (ciągłości)
na wspólnych granicach
przedziałów
………………
Liczba stałych całkowania:
2*LP
( )
( )
( )
( )
⋅⋅
⋅⋅
⋅
=
=
1
'
1
'
1
1
II
I
II
I
w
w
w
w
( )
( )
0
6
0
0
=
=
IV
I
w
w
Liczba równań:
2+2*(LP-1)=2*LP
W przykładzie LP=5 =>10równań =>
metoda skomplikowana rachunkowo i pracochłonna
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
Metoda Clebscha
Alfred Clebsch (1833-1872)-niemiecki matematyk
-Niezależnie od liczby przedziałów do wyznaczenia (z warunków podparcia)
będą tylko 2 stale. Warunki ciągłości będą spełnione automatycznie.
Należy w tym celu przestrzegać poniższych reguł:
(
)
(
) (
)
a
x
d
a
x
dx
a
x
n
n
−
−
≡
−
∫
∫
(
)
1
1
+
+
−
=
n
n
a
x
K
,
2
,
1
,
0
=
n
(
)
∑
−
+
=
+
n
i
i
a
x
O
M
M
1
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
22
2
4
10
3
16
2
2
10
1
24
14
2
2
0
−
+
−
+
−
−
−
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
M
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
22
2
4
10
3
16
2
2
10
1
24
14
''
2
2
0
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
EIw
1
<
x
2
<
x
3
<
x
4
<
x
6
<
x
8
<
x
Zakres:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
6
22
3
2
4
10
2
3
16
3
2
2
10
1
24
2
14
'
2
3
2
3
1
2
−
−
⋅
−
−
−
+
⋅
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
C
EIw
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
6
22
4
3
2
4
10
3
2
3
16
4
3
2
2
10
2
1
24
3
2
14
3
4
3
4
2
3
⋅
−
−
⋅
⋅
−
−
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
−
−
⋅
−
+
=
x
x
x
x
x
x
Cx
D
EIw
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
Przykład 5
Warunki podparcia (brzegowe)
( )
( )
⎩
⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⇒
=
−
−
−
+
−
+
−
−
⋅
−
⋅
+
=
⇒
=
⋅
−
⋅
+
=
6
.
105
0
0
24
)
4
6
(
10
6
)
3
6
(
16
24
)
2
6
(
10
2
)
1
6
(
24
6
6
14
6
:
0
6
0
0
14
0
:
0
0
4
3
4
2
3
C
D
C
D
EIw
C
D
EIw
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
6
6
22
24
4
10
6
3
16
24
2
10
2
1
24
6
14
6
.
105
1
3
4
3
4
2
3
x
x
x
x
x
x
x
EI
x
w
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
+
−
+
−
−
−
=
2
6
22
6
4
10
2
3
16
6
2
10
1
24
2
14
6
.
105
1
'
2
3
2
3
1
2
x
x
x
x
x
x
EI
x
w
Równanie kąta ugięcia (pochodnej ugięcia)
Równanie linii ugięcia
1
1
2
2
0
1
2
4
6
8
x
24kNm
10kN/m
[m]
14
22
16kN
1
1
3
1438
61 44
52
[kNm]
[m]
x
W[m]
0
0
0
1
103.2
0.00860
2
180.5
0.01504
3
206.2
0.01718
4
174.4
0.01453
8
-200.5
-0.01670
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
2
4
8
2
6
4
12000
10
6000
10
200
6000
200
kNm
m
kNm
EI
cm
I
GPa
E
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
[
]
3
kNm
EIw
w
M