Zadania na czwart

,

a kartk´

owk

,

e

1. Dany jest ci

,

ag (X

n

) zmiennych losowych, adaptowany do pewnej fil-

tracji (F

n

). Niech

τ = inf{n > 5 : X

n

+ n ≤ X

n−1

}.

Czy τ jest momentem zatrzymania wzgl

,

edem tej filtracji?

2. Za l´

o˙zmy, ˙ze X

1

, X

2

, . . . s

,

a niezale˙zne i maj

,

a ten sam rozk lad P(X

n

=

1) = p, P(X

n

= −1) = 1 − p, gdzie p > 1/2 jest ustalone. Niech S

0

= 0,

S

n

= X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

dla n ≥ 1. Dla ustalonych a, b ∈ {1, 2, . . .}, niech

τ

a,b

= inf{n : S

n

∈ {−a, b}}.

a) Wyznaczy´

c rozk lad zmiennej S

τ

a,b

.

b) Obliczy´

c Eτ

a,b

.

3. Zmienne losowe X

0

, X

1

, X

2

, . . . s

,

a niezale˙zne i maj

,

a ´sredni

,

a 0. Niech

Z

0

= 0 oraz Z

n

= X

0

X

1

+ X

1

X

2

+ . . . + X

n−1

X

n

dla n ≥ 1. Udowodni´

c, ˙ze

(Z

n

) jest martynga lem.

4. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . s

,

a niezale˙zne i maj

,

a ten sam rozk lad

zadany przez P(X

n

= 1/2) = P(X

n

= 3/2) = 1/2. Udowodni´

c, ˙ze ci

,

ag

(X

1

X

2

. . . X

n

)

∞
n=1

jest zbie˙zny p.n., ale nie jest zbie˙zny w L

1

.

5. Niech (S

n

) b

,

edzie symetrycznym b l

,

adzeniem losowym po liczbach

ca lkowitych i τ = inf{n : S

n

= a}, gdzie a jest ustalon

,

a liczb

,

a ca lkowit

,

a do-

datni

,

a. Wykorzystuj

,

ac nadmartynga l wyk ladniczy (exp(λS

n

−λ

2

n/2))

n=0,1,2,...

,

poda´

c oszacowanie z g´

ory na P(τ < ∞).

6. Niech (S

n

) b

,

edzie b l

,

adzeniem losowym po liczbach ca lkowitych (nie-

koniecznie symetrycznym). Czy (S

n

/n) jest la´

ncuchem Markowa? Czy ci

,

ag

(S

n

mod 5) jest la´

ncuchem Markowa?

7. Po wierzcho lkach czworo´scianu foremnego ABCD porusza si

,

e pionek,

w ka˙zdym ruchu przeskakuj

,

ac do jednego z s

,

asiaduj

,

acych wierzcho lk´

ow z

prawdopodobie´

nstwem 1/3. W chwili 0 pionek znajduje si

,

e w punkcie A.

a) Jakie jest prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze pionek dojdzie do punktu D

przed dotarciem do punktu C?

b) Obliczy´

c ´sredni czas oczekiwania na doj´scie pionka do punktu D.

c) Obliczy´

c ´sredni czas oczekiwania na powr´

ot pionka do punktu A.

d) Wyznaczy´

c przybli˙zone prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze po 10000 ruch´

ow

pionek b

,

edzie w punkcie A.

8. Rzucamy kostk

,

a a˙z do momentu, gdy wyrzucimy dwie nieparzyste

liczby oczek pod rz

,

ad lub sz´

ostk

,

e. Obliczy´

c warto´s´

c oczekiwan

,

a liczby rzut´

ow

oraz warto´s´

c oczekiwan

,

a liczby wyrzuconych czw´

orek.

9. Dany jest la´

ncuch Markowa (X

n

) na przestrzeni stan´

ow E = {1, 2, 3, 4},

o macierzy przej´scia

P =







0

1/2 1/2

0

1

0

0

0

1/3 1/3

0

1/3

0

1/2 1/2

0







.

a) Czy la´

ncuch jest nieprzywiedlny?

b) Czy la´

ncuch jest okresowy?

c) Jakie jest prawdopodobie´

nstwo przej´scia ze stanu 3 do stanu 3 w dw´

och

krokach?

d) Za l´

o˙zmy, ˙ze X

0

= 1. Obliczy´

c ´sredni czas oczekiwania na powr´

ot do

stanu 1 oraz prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze la´

ncuch dojdzie do stanu 4 przed

doj´sciem do stanu 2.