Statystyka 

Strona 1 z 3 

Zestaw 7 

Wybrane rozkłady skokowe: 
−  równomierny (jednostajny) 
−  dwumianowy (Bernoulliego) 
−  hipergeometryczny 
 
 
Rozkład jednostajny 
Zmienna losowa 

X

 ma skokowy (dyskretny) rozkład równomierny (jednostajny), jeżeli jej rozkład 

prawdopodobieostwa ma postad:  





n

k

X

P

1





 

n

k

k

k

k

,

,

,

2

1





 

Dystrybuanta: 

  



x

X

P

x

F





 

 
 
Rozkład dwumianowy 
Zmienna losowa 

X

 ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeżeli rozkład prawdopodobieostwa tej 

zmiennej dany jest wzorem: 





k

n

k

q

p

k

n

k

X

P



















 

 

p

q





1

 

n

k

,

,

1

,

0 



 

Dystrybuanta: 

  



x

X

P

x

F





 

 
 
Rozkład hipergeometryczny 
Zmienna losowa 

X

 ma rozkład hipergeometryczny, jeżeli jej rozkład prawdopodobieostwa dany jest 

wzorem: 

















































n

N

k

n

M

N

k

M

k

X

P

 

n

k

,

,

1

,

0 



 

Dystrybuanta: 

  



x

X

P

x

F





 

 
 

Statystyka 

Strona 2 z 3 

Zestaw 7 

Wybrane rozkłady ciągłe: 
−  równomierny (jednostajny) 
−  wykładniczy 
−  normalny (gaussowski) 
 
 
Rozkład jednostajny 
Zmienna losowa 

X

 ma rozkład równomierny (jednostajny) skoncentrowany na przedziale 

b

a,

, jeżeli jej 

gęstośd prawdopodobieostwa jest określona wzorem: 

 





















b

x

i

a

x

dla

b

x

a

dla

a

b

x

f

0

1

 

Dystrybuanta: 

 


























b

x

dla

b

x

a

dla

a

b

a

x

a

x

dla

x

F

1

0

 

 
 
Rozkład wykładniczy 
Zmienna losowa 

X

 ma rozkład wykładniczy o parametrze 

0





, jeżeli jej gęstośd jest następującej 

postaci: 

 















0

0

0

x

dla

x

dla

e

x

f

x





 

Dystrybuanta: 

 

















0

0

0

1

x

dla

x

dla

e

x

F

x



 

 
 
Rozkład normalny 
Zmienna losowa 

X

 ma rozkład normalny (gaussowski) o parametrach 

m

, 



, jeśli jej gęstośd 

prawdopodobieostwa jest określona wzorem: 

 





















x

dla

e

x

f

m

x

2

2

2

2

1







 

 

m

 - parametr przesunięcia 



 - parametr skali 

 
Dystrybuanta: 

 

















x

m

t

dt

e

x

F

2

2

2

2

1







 

 

Całki powyższej nie da się obliczyd dokładnie metodą analityczną! 

W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się tablice statystyczne (bądź też 
odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty 
standaryzowanego rozkładu normalnego, oznaczanej jako 



 i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach 

0



m

 i 

1





 (symetryczny względem osi Y). 







,

m

N

 - rozkład normalny o parametrach  m , 



 

Statystyka 

Strona 3 z 3 

Zestaw 7 

  
ZADANIA 
1.  W programie Excel wykonad wykresy funkcji prawdopodobieostwa i dystrybuanty dla rozkładów 

zmiennych losowych dyskretnych: 
A.  jednostajny: rozkład wyników rzutu jedną kostką sześciościenną  
B.  dwumianowy: rozkład wypadnięcia orła w 6 rzutach monetą 

=ROZKŁAD.DWUM( k ; n ; p ; 

0

 lub 

1

 )

 

C.  hipergeometryczny: rozkład wygranych w Lotto (6 z 49) 

=ROZKŁAD.HIPERGEOM( k ; n ; M ; N )

 

 

OPCJE WYKRESÓW 

rozkład prawdopodobieostwa 

0

 

dystrybuanta 

1

 



 

wykres typu: kolumnowy 



 

kolumny koloru niebieskiego o zwiększonej 
maksymalnie szerokości przerwy 



 

usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad tytuł 
wykresu 



 

wykres typu: XY (punktowy z punktami 
połączonymi liniami bez znaczników) 



 

pogrubiona czerwona linia 



 

usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad 
tytuł wykresu 

 

2.  W programie Excel wykonad wykresy funkcji prawdopodobieostwa i dystrybuanty dla rozkładów 

zmiennych losowych ciągłych: 
A.  jednostajny na przedziale 

15

,

5



 

B.  wykładnicze dla trzech zmiennych o parametrach 

2

1

1





, 

1

2





, 

2

3





  

=ROZKŁAD.EXP( x ; λ ; 

0

 lub 

1

 ) 

C.  normalne o jednakowym: 

−  parametrze przesunięcia 

 

1

,

5

N

, 

 

2

,

5

N

, 





2

1

,

5

N

 

−  parametrze skali 

 

1

,

5

N

, 

 

1

,

3

N

, 

 

1

,

7

N

 

=ROZKŁAD.NORMALNY( x ; m ; σ ; 

0

 lub 

1

 ) 

 

OPCJE WYKRESÓW 

A (dwa wykresy) 

B (dwa wykresy) i C (cztery wykresy) 



 

wykres typu: XY (punktowy z punktami 
połączonymi liniami bez znaczników) 



 

pogrubiona niebieska (gęstośd) lub czerwona 
(dystrybuanta) linia 



 

usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad tytuł 
wykresu 



 

wykres typu: XY (punktowy z punktami 
połączonymi wygładzonymi liniami bez 
znaczników) 



 

usunąd tło, linie siatki, dodad tytuł wykresu 



 

legendę zawierającą nazwy serii danych 
umieścid pod wykresem