Pole elektromagnetyczne maszyn 

elektrycznych

I. Zale

ż

no

ś

ci opisuj

ą

ce pole magnetyczne

Pole  magnetyczne  okre

ś

laj

ą

  nast

ę

puj

ą

ce  wielko

ś

ci:  wektor  indukcji 

magnetycznej B[T], definiowany za pomoc

ą

 siły działaj

ą

cej na poruszaj

ą

ce 

si

ę

  ładunki  umieszczone  w  badanym    polu  magnetycznym,  wektor 

magnetyzacji M [A/m] charakteryzuj

ą

cy 

ś

rodowisko oraz wektor nat

ęż

enia 

pola  magnetycznego  H  [A/m].  Mi

ę

dzy  tymi  wielko

ś

ciami  zachodzi 

nast

ę

puj

ą

ca relacja:

M

B

H

−

=

0

µ

W polu magnetostatycznym obowi

ą

zuj

ą

 nast

ę

puj

ą

ce prawa wyra

ż

one w

ró

ż

nych postaciach:

• Równania Maxwella w postaci ró

ż

niczkowej i całkowej

:

0

=

=

B

J

H

div

rot

0

=

⋅

=

⋅

=

⋅

∫∫

∫∫

∫

S

S

l

d

I

d

d

S

B

S

J

l

H

(1)

(2)

(3)

Prawo przepływu (Ampere’a)

I prawo Kirchhoffa

I. cd.

Przy opisie pola magnetycznego korzysta si

ę

 z równania materiałowego, które 

dla o

ś

rodka liniowego przybiera posta

ć

H

B

µ

=

gdzie 

µ

jest przenikalno

ś

ci

ą

magnetyczn

ą

materiału (

µ

= 

µ

r 

µ

0

; 

µ

r

–

przenikalno

ść

wzgl

ę

dna, 

µ

0

– przenikalno

ść

magnetyczna pró

ż

ni: 

µ

0

= 

4

Π

·10

-7 

[H/m]

,

S

l

R

m

µ

=

Reluktancja obwodu magnetycznego /opór magnetyczny/:

R

m

– reluktancja w [H

-1

], l – długo

ść

 obwodu magnetycznego [m], S – pole 

przekroju poprzecznego [m

2

],      - przenikalno

ść

 magnetyczna 

ś

rodowiska 

(bezwzgl

ę

dna) [H/m

2

].

µ

I. cd.

Spadek napi

ę

cia magnetycznego U

m

w równomiernym polu magnetycznym:

Hl

U

m

=

Przepływ (siła magnetomotoryczna) cewki

Iz

F

m

=

=

Θ

Obwody magnetyczne

θ

θ

Λ

=

=

Φ

m

R

- Prawo Ohma dla obwodu magnetycznego

[H]

permeancja

]

[H

a

reluktancj

[A]

przeplyw

]

[Wb

y

magnetyczn

strumien

1

-

−

Λ

−

−

−

Φ

m

R

θ

I. cd.

I prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego: Suma strumieni 
magnetycznych wpływaj

ą

cych do w

ę

zła równa jest sumie strumieni 

odpływaj

ą

cych od w

ę

zła

.

0

1

=

∑

=

n

k

k

φ

II prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego /prawo przepływu/: 
Algebraiczna suma napi

ęć

 w

ę

złowych i napi

ęć

 odbiornikowych w 

dowolnym oczku obwodu magnetycznego jest równa zeru:

.

0

1

1

=

−

∑

∑

=

=

n

k

m

a

a

a

k

k

l

H

z

I

II. Prawo Biota - Savarta

Jedn

ą

 z metod, za pomoc

ą

 której mo

ż

emy oblicza

ć

 nat

ęż

enie H w dowolnym 

punkcie A pola magnetycznego wytworzonego przez płaski, jednowymiarowy 
obwód pr

ą

dowy, jest stosowanie prawa Biota-Savarta. Zgodnie z tym prawem, 

wektor indukcji magnetycznej, wywołanej przez elementarny pr

ą

d J · ds

płyn

ą

cy przez odcinek dl, jest wyra

ż

ony wzorem

.

4

)

(

,

4

)

(

2

2

∫

×

=

×

=

l

r

r

r

d

I

r

d

I

d

π

µ

π

µ

1

l

B

1

l

B

Pole  magnetyczne  w  punkcie  A 
wytworzone  przez  p

ę

tl

ę

  przedstawion

ą

 

na  rys.  1,  w  której  płynie  pr

ą

d, 

okre

ś

lone jest wzorem:

Rys.1. Rysunek do prawa Biota-Savarta

Mamy przewód o długo

ś

ci 0,6 m w kształcie okr

ę

gu, przez który 

przepływa pr

ą

d o nat

ęż

eniu 15 A. Obliczy

ć

 warto

ść

 indukcji dla punktu 

ś

rodkowego, je

ż

eli 

ś

rodowiskiem wypełniaj

ą

cym okr

ą

g utworzony przez 

przewód jest stal o przenikalno

ś

ci magnetycznej wzgl

ę

dnej 5000 .

Indukcj

ę

 obliczamy wg wzoru 

;

2r

I

B

⋅

=

µ

Maj

ą

c długo

ść

 okr

ę

gu, musimy znale

źć

 jego promie

ń

]

[

095

,

0

28

,

6

6

,

0

2

;

2

m

l

r

l

r

=

=

Π

=

=

Π

Przenikalno

ść

 magnetyczna wzgl

ę

dna 

ś

rodowiska

m

H

m

H

r

4

7

0

10

63

5000

10

6

,

12

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

=

µ

µ

µ

]

[

495

,

0

]

[

19

,

0

]

[

15

]

/

[

10

63

2

4

T

m

A

m

H

r

I

B

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

µ

Indukcja magnetyczna w 

ś

rodku stalowego walca

H

B

r

l

I

B

⋅

=

⋅

Π

⋅

∆

⋅

=

∆

µ

α

µ

;

4

sin

2

III. 

Obwody magnetyczne i materiały magnetyczne. Prawo 

przepływu

Rys. 2. Magnetowód nierozgał

ę

ziony: a) 

widok przestrzenny; b) schemat płaski 
magnetowodu; c) równowa

ż

ny z nim obwód 

elektryczny

1. Magnetowody, modelowanie obwodowe magnetowodów

zI

l

H

l

H

l

H

l

H

zI

dl

H

r

l

=

+

+

+

=

⋅

∫

4

4

3

3

2

2

1

1

lub

gdzie:

zl = 

θ

[A] – przepływ lub siła magnetomotoryczna, całkowity pr

ą

d przenikaj

ą

cy 

powierzchni

ę

, której kraw

ę

dzi

ą

jest  krzywa,

H

1

÷

H

4 

- nat

ęż

enie pola magnetycznego na drodze odpowiednio l

1 

÷

l

4

Cyrkulacja wektora H

Okre

ś

laj

ą

c mianem napi

ę

cia magnetycznego wyra

ż

enie:

]

A

[

∫

⋅

=

B

A

AB

d

U

l

Η

µ

b

ę

d

ą

ce  cyrkulacj

ą

  wektora  H na  drodze  od  punktu  A  do  punktu  B,  mo

ż

emy 

poszczególnym  członom  wyra

ż

enia  przypisa

ć

  równie

ż

  sens  napi

ę

cia 

magnetycznego w postaci:

.

4

1

θ

µ

=

∑

=

i

i

U

A  zatem  w  przypadku  ogólnym,  cyrkulacj

ę

  wektora  nat

ęż

enia  pola 

magnetycznego  wzdłu

ż

  zamkni

ę

tej  krzywej,  b

ę

d

ą

cej  tzw. 

ś

redni

ą

  drog

ą

 

magnetyczn

ą

, wyrazimy równaniem:

∑

∑

∑

=

=

=

+

=

K

l

l

M

j

j

N

i

i

I

U

1

1

1

θ

µ

Napi

ę

ciowe prawo 

Kirchhoffa dla obwodów 

magnetycznych

Ampere’a 

circuital law

B-H krzywe dla wybranych materiałów

Przykład 1.

Materiały magnetyczne

Przyjmuj

ą

c za podstaw

ę

 klasyfikacji materiałów warto

ść

 wzgl

ę

dnej

przenikalno

ś

ci magnetycznej, 

ś

rodowiska materialne, w tym pró

ż

ni

ę

 

fizyczn

ą

, dzielimy na dwie zasadnicze grupy:

1. Diamagnetyki, dla których 

µ

r

≤

1;

2. Paramagnetyki, dla których 

µ

r

≥

1.

Zró

ż

nicowanie warto

ś

ci 

µ

r

wzgl

ę

dem jedno

ś

ci ma daleko id

ą

ce 

konsekwencje dla zachowania si

ę

tych materiałów w zewn

ę

trznym plu 

magnetycznym. Otó

ż

porównuj

ą

c warto

ś

ci indukcji magnetycznej B w 

przestrzeni wypełnionej 

ś

rodowiskiem o okre

ś

lonej przenikalno

ś

ci 

magnetycznej z indukcj

ą

B

0

, jaka istniałaby w tej przestrzeni, gdyby była 

pró

ż

ni

ą

fizyczn

ą

, stwierdzamy, 

ż

e:

w diamagnetykach – B/B

0

≤

1,

w paramagnetykach – B/B

0

≥

1,

w ferromagnetykach – B/B

0

>>1

Krzywa magnesowania

Rys.3. Przebieg magnesowania ferromagnetyka: a) przy narastaniu pr

ą

du; b) przy zmianie 

kierunku pr

ą

du; c) przy pr

ą

dzie sinusoidalnym o dwóch ró

ż

nych amplitudach 

Prawa indukcji elektromagnetycznej

Prawo Faradaya

W  obszarze,  w  którym  istnieje  pole  magnetyczne  zmienne  w  czasie,
powstaje pole elektryczne. Wła

ś

nie to powstaj

ą

ce pole elektryczne popycha 

elektrony wokół przewodu, a wi

ę

c jest odpowiedzialne za napi

ę

cie

ź

ródłowe 

w  obwodzie  stacjonarnym,  gdy  istnieje  zmienny  strumie

ń

  magnetyczny. 

Ogólne  prawo  opisuj

ą

ce  pole  elektryczne  stowarzyszone  ze  zmiennym 

polem magnetycznym mówi, 

ż

e:

.

t

∂

∂

−

=

×

∇

B

E

(6)

tw

ie

rd

ze

n

ie

 S

to

k

es

a

t

d

t

d

S

∂

∂

−

=

=

⋅

∂

∂

−

=

⋅

∫

∫

Γ

a

B

s

E

(strumień przez powierzchnię S).

(7)

∫

∫

⋅

∂

∂

−

=

⋅

Γ

S

d

t

d

a

B

s

E

Napi

ę

cie 

ź

ródłowe (SEM)

Szybko

ść

 zmian strumienia 

zawartego w obwodzie

„Reguła strumienia”

mówi

ą

ca, 

ż

e napi

ę

cie 

ź

ródłowe w obwodzie jest proporcjonalne 

do szybko

ś

ci zmian strumienia magnetycznego przez obwód, jest 

słuszna – bez wzgl

ę

du na to, czy pole si

ę

 zmienia, czy porusza 

si

ę

 obwód, czy te

ż

 z obu tych przyczyn naraz. 

Przykłady indukcji elektromagnetycznej

IV. Siła i moment w polu magnetycznym – siły 

elektrodynamiczne

Siła elektrodynamiczna, która powstaje przy działaniu równomiernego pola 
magnetycznego  o  indukcji  B  [T]  na  przewód  umieszczony  prostopadle  do 
linii tego pola o długo

ś

ci l [m] i wiod

ą

cy pr

ą

d I [A], wynosi:

F = Bil, 

F = siła [N]

Dziękuję za uwagę