1

1. 

Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna 

 

Napełniając dielektrykiem kondensator o pojemności w próżni równej 

0

C , zwiększamy jego 

pojemność do wartości C. 
Stosunek przyrostu pojemności kondensatora 

0

C

C

C

−

=

Δ

 do jego pojemności zerowej 

0

C  

 

0

0

'

C

C

C

−

=

χ

(1) 

nazywamy podatnością elektryczną dielektryka. 
 
Często, zamiast podatnością, posługujemy się przenikalnością elektryczną 

'

ε

 dielektryka. Określamy 

ją jako stosunek pojemności C kondensatora wypełnionego dielektrykiem do pojemności 

0

C  tegoż 

kondensatora w próżni: 
 

0

'

C

C

=

ε

(2) 

Ze wzorów (1) i (1) wynika, że związek między podatnością elektryczną i przenikalnością 
elektryczną dielektryka jest następujący: 
 

1

'

'

−

=

ε

χ

(3) 

W ten sposób zdefiniowane podatność elektryczna i przenikalność elektryczna są wielkościami 
niemianowanymi i rzeczywistymi. 

Poza prądem ładowania 

0

I  kondensatora, który wyprzedza w fazie przyłożone napięcie U o 

2

π

 

(rys. 

1a), przez kondensator może płynąć prąd zgodny w fazie z przyłożonym napięciem.  
 

 

(Rys 1)

 

 
Prąd ten świadczy o istnieniu strat lub przewodzenia w substancji wypełniającej kondensator. 
Aby to uwzględnić, wygodniej jest wyrażać podatność elektryczną i przenikalność elektryczną za 
pomocą liczb zespolonych. 
 
Rozważmy kondensator znajdujący się w obwodzie prądu zmiennego. Jeżeli do kondensatora o 
pojemności zerowej 

0

C  

znajdującego się pod napięciem U, wprowadzimy dielektryk, pojemność jego 

wzrośnie o wartość 

C

Δ

. Pociągnie to za sobą wzrost ładunku na okładkach kondensatora o 

q

Δ . 

Wzrost pojemności 

C

Δ

, 

przyrost ładunku 

q

Δ  oraz przyłożone do kondensatora napięcie U związane 

 

2

są zależnością: 
 

U

q

C

Δ

=

Δ

(4) 

Załóżmy, że przyłączamy kondensator do źródła prądu przemiennego o częstości kołowej 

ϖ  i o 

napięciu 
 

t

j

e

U

U

⋅

=

ϖ

0

(5) 

 

Wtedy zmiana natężenia prądu elektrycznego 

i

Δ

, płynącego w obwodzie kondensatora, na skutek 

wprowadzenia doń dielektryka będzie równa 
 

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

2

exp

0

π

ϖ

ϖ

t

j

i

CU

j

dt

dU

C

dt

q

d

i

(6) 

gdzie 

0

0

CU

i

Δ

=

Δ

ϖ

 

 
Z  równania tego wynika, że prąd elektryczny w obwodzie kondensatora wyprzedza w fazie 

napięcie o 

2

π

. Dzieje się tak jedynie wtedy, kiedy kondensator nie wykazuje strat (rys.  1b). 

W kondensatorze wypełnionym dielektrykiem wykazującym straty, jak już wspomnieliśmy, poza 
prądem ładowania płynie prąd 

R

U

i

s

=

(7) 

 

zgodny w fazie z przyłożonym napięciem, pochodzący od strat w dielektryku (rys.2a). Wypadkowa 
zatem zmiana natężenia 

0

I

I

I

−

=

Δ

 spowodowana wprowadzeniem dielektryka do kondensatora, w 

ogólnym wypadku będzie wynosiła 
 

U

R

C

j

i

i

I

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

Δ

=

Δ

+

Δ

=

Δ

1

ϖ

(8) 

 
a różnica faz 

φ

 (Rys 2c) między przyłożonym napięciem i zmianą natężenia  I

Δ  będzie mniejsza od 

2

π

. Opór R, uwidoczniony w zastępczym obwodzie na (Rys.2b), przedstawia straty dielektryka. Kąt 

ψ

, dopełniający do kąta  

φ

, nazywamy kątem stratności dielektryka. Zgodnie z wzorami (8) i (9) 

C

R

i

i

tg

s

Δ

=

Δ

=

ϖ

ψ

1

(9) 

 

Tangens kąta stratności jest często używaną miarą strat dielektryka. 

 

3

 

(Rys 2) 

 

Dielektryk wykazujący straty, czyli taki, w którym 

0

≠

s

i

, wygodniej jest opisać wprowadzając 

pojęcie 

zespolonej podatności elektrycznej 

χ

 w postaci 

 

''

'

χ

χ

χ

j

−

=

(10) 

 
We wzorze tym 

'

χ

 nazywamy składową rzeczywistą podatności elektrycznej, a 

''

χ

 składową 

urojoną podatności elektrycznej lub współczynnikiem strat. 
Zmianę natężenia prądu  I

Δ , płynącego w obwodzie kondensatora, a wywołaną wprowadzeniem do 

kondensatora dielektryka, możemy zapisać w postaci: 
 

(

)

U

C

j

U

C

j

I

0

''

'

0

ϖ

χ

χ

ϖχ

+

=

=

Δ

(11) 

 

Tangens kąta stratności, zgodnie z równaniami (8), (9) i (11), będzie wynosił 
(Rys2) 

'

''

χ

χ

ψ

=

tg

(12) 

Iloczyn częstości 

ϖ  oraz 

''

χ

 

''

ϖχ

σ

=

(13) 

nazywamy 

przewodnością elektryczną dielektryka. 

Przyjmując że przenikalność elektryczna również jest wielkością zespoloną  
 

''

'

ε

ε

ε

j

−

=

(14) 

Natężenie prądu 

s

i

i

I

I

Δ

+

Δ

+

=

0

(15) 

płynącego w obwodzie kondensatora wypełnionego dielektrykiem (Rys.2), możemy w analogii do 
wzoru (11) wyrazić równaniem 
 

(

)

U

C

j

U

C

j

I

0

''

'

0

ϖ

ε

ε

ϖε

+

=

=

(16) 

Tangens kąta strat 

δ  (Rys.2c) definiujemy jako stosunek natężenia prądu 

s

i

 

związanego ze 

stratami w dielektryku do całkowitego natężenia

i

I

Δ

+

0

 prądu płynącego w obwodzie 

 

4

kondensatora (Rys 2b). Zgodnie z wzorami (1.15) i (1.16) 
 

'

''

0

1

ε

ε

ϖ

δ

=

=

Δ

+

=

RC

i

I

i

tg

s

(17) 

wyrażenie to jest analogiczne do wyrażenia (12). 
 

2. 

Polaryzacja dielektryczna 

 

Dielektryk wprowadzony do pola elektrycznego polaryzuje się. Zjawisko to, zwane 

polaryzacją 

dielektryczną, polega na pojawieniu się ładunków elektrycznych na powierzchni dielektryka. Ładunki 
te, zwane 

ładunkami indukowanymi, nie są swobodne i wytwarzają w dielektryku pole o kierunku 

przeciwnym do kierunku pola wywołującego polaryzację, zwane 

polem depolaryzacji. 

 
Aby zjawisko polaryzacji rozpatrzyć pod względem ilościowym, rozważmy płaski kondensator, 
podłączony do źródła Z o napięciu 

U (Rys. 2.1). 

 

 

(Rys 2.1) 

 
 Załóżmy, że na okładkach kondensatora nie wypełnionego dielektrykiem znajduje się ładunek 

q

0

. 

Wprowadzenie dielektryka do kondensatora powoduje wzrost ładunku na okładkach kondensatora 
do wartości 

q. Przyrost ten, 

0

q

q

q

−

=

Δ

(Rys. 2.1), jest proporcjonalny do 

q

0

 i możemy go zgodnie z 

wzorami (1) i (4) oraz pamiętając, że 

0

0

q

U

C

=

wyrazić 

0

'

q

q

χ

=

Δ

(2.1) 

 

 Ładunek 

0

'

q

χ

jest związany z ładunkiem indukowanym, powstałym na powierzchni 

spolaryzowanego dielektryka. Ma on taką samą wartość, ale znak przeciwny. Nie zmienia więc 
pola elektrycznego panującego miedzy okładkami kondensatora. 
Całkowity ładunek 

q, znajdujący się na okładkach kondensatora, możemy przedstawić jako sumę 

ładunku 

q

0

, nie związanego z dielektrykiem, oraz ładunku 

q

Δ , związanego z ładunkami 

spolaryzowanego dielektryka, czyli 
 

0

'

0

q

q

q

χ

+

=

(2.2) 

Rozważmy element 

ds

 powierzchni płytki kondensatora (Rys. 2.2).  

 

 

5

 

(Rys 2.2) 

 
Znajduje się na nim ładunek 

dq , z którego część dq

0

 związana jest z ładunkiem o przeciwnym 

znaku na drugiej płytce kondensatora. Zgodnie z wzorem (2.2) 
 

o

dq

dq

dq

'

0

χ

+

=

(2.3) 

Oznaczając odpowiednio, przez 

σ

 i 

0

σ

, gęstości ładunków 

dq i dq

0

 na elemencie powierzchni 

ds

, z 

równania (2.3) dostajemy 
 

0

'

0

σ

χ

σ

σ

+

=

(2.4) 

σ

 jest więc gęstością ładunku całkowitego, znajdującego się na okładkach kondensatora, 

0

'

σ

χ

 

gęstością ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka, jak i gęstością ładunku związanego 
z nim na okładkach kondensatora, a 

0

σ

gęstością ładunku znajdującego się na okładkach 

kondensatora i odpowiedzialnego za panujące w kondensatorze pole elektryczne. 
Tym trzem gęstościom przypisujemy odpowiednio trzy wektory, o kierunkach zaznaczonych na 
(Rys. 2.3), charakteryzujące pole elektryczne w dielektryku, a mianowicie: 
 

 

(Rys 2.3) 

 

Gęstości całkowitej 

(

)

0

'

1

σ

χ

σ

+

=

 przyporządkowujemy wektor przesunięcia dielektrycznego 

Dr

(lub wektor gęstości strumienia elektrycznego), tak by jego składowa normalna była równa 

gęstości powierzchniowej całkowitego ładunku, czyli 
 

(

)

n

Dr

r

=

+

=

1

'

0

χ

σ

σ

(2.5) 

wyrażamy go w C/m

2

, przy czym  nr jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do powierzchni 

kondensatora i skierowanym w kierunku dielektryka (rys. 2.2). 
Gęstości  ładunku 

0

σ

, 

będącej  źródłem pola elektrycznego 

Er

, przyporządkowujemy wektor 

natężenia pola elektrycznego: 
 

n

Er

r

0

0

ε

σ

=

(2.6) 

 

6

 

Współczynnik 

0

ε

 zależy od wyboru jednostek dla 

Er

. 

I wreszcie gęstości  ładunku 

0

'

σ

χ

powierzchni spolaryzowanego dielektryka przyporządkowujemy 

wektor polaryzacji dielektrycznej 

Pr

: 

 

n

Pr

r

=

0

'

σ

χ

(2.7) 

o wymiarze C/m

2

. 

Na podstawie wzorów (2.4)-(2.7) związek między wyżej zdefiniowanymi wektorami jest 
następujący: 

P

E

D

r

r

r

+

=

0

ε

(2.8) 

Z 

równań (2.6) i (2.7) wynika, że 

E

P

r

r

0

'

ε

χ

=

(2.9) 

i stąd 

(

)

E

E

D

r

r

r

0

'

0

'

1

ε

ε

ε

χ

=

+

=

(2.10) 

W ogólnym wypadku dielektryka rzeczywistego wykazującego straty podatność 

'

χ

 i przenikalność 

elektryczna 

'

ε

  są liczbami zespolonymi. Powyższe wzory możemy wtedy napisać w ogólniejszej 

postaci, zastępując w nich odpowiednio wielkości 

'

χ

 i 

'

ε

 

wielkościami 

χ

 i 

ε

. Zgodnie z wzorami 

(2.8), (2.9) i (2.10) wektor polaryzacji wyraża należność 
 

(

)

E

E

E

D

P

r

r

r

r

r

0

0

0

1

χε

ε

ε

ε

=

−

=

−

=

(2.11) 

 

 
3. Moment dipolowy układu ładunków i nowe określenie wektora polaryzacji

 

 
Moment elektryczny 

i

mr , ładunku 

i

q  znajdującego się w odległości 

i

rr , względem danego punktu 

O, określamy jako iloczyn 

i

i

i

r

q

m

r

r =

. Dla zbioru składającego się z 

n

 ładunków będziemy 

mieli (Rys 3.1): 
 

 

(Rys 3.1) 

∑

∑

=

=

=

i

i

i

n

i

i

r

q

m

m

r

r

r

1

(3.1) 

 

Obierając inny  punkt  odniesienia 

'

O ,  na wypadkowy moment elektryczny  mr  rozważanego układu 

otrzymamy inną wartość, równą 
 

∑

=

i

i

i

r

q

m

r

r

'

(3.2) 

 

 

7

Różnica 

(

)

∑

−

=

−

=

Δ

i

i

i

i

i

r

q

r

q

m

m

m

'

'

r

r

r

r

r

(3.3) 

 
Ale 

0

'

r

r

r

i

i

r

r

r

=

−

a stąd na 

mr

Δ

dostajemy 

∑

=

Δ

i

i

q

r

m

0

r

r

(3.4) 

Gdy bezwzględne wartości wypadkowych ładunków dodatnich i ujemnych będą jednakowe, wtedy 
wypadkowy ładunek układu będzie równy zeru, czyli 
 

∑

=

i

i

q

0 (3.5) 

Tym samym zgodnie z równaniem (3.4) 

0

=

Δmr

, czyli w tym wypadku wybór punktu odniesienia O'  

będzie dowolny, a 

∑

=

i

i

i

r

q

mr

będzie wektorem swobodnym. Nazywamy go momentem dipolowym 

układu ładunków.

 

 

(Rys 3.2) 

 

Na moment dipolowy 

μ

r  dwóch jednakowych ładunków, o przeciwnych znakach 

q

q

q

=

=

−

+

dostajemy więc wyrażenie (rys. 3.2) 

 
Układ taki nazywamy dipolem elektrycznym. Dipol elektryczny jest więc układem dwóch 
jednakowych co do wartości ładunków q o przeciwnych znakach, znajdujących się w odległości 

d

r

(rys. 3.2). 

Moment dipolowy jest wektorem skierowanym od ładunku ujemnego do dodatniego (Rys. 3.3), 
podobnie jak wektor polaryzacji dielektrycznej 

Pr

 określony wzorem (2.7)  

 
Wektor polaryzacji 

Pr

, zgodnie z definicją wprowadzoną w poprzednim paragrafie, jest miarą 

gęstości powierzchniowej ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka. Możemy go jednak 
zdefiniować w inny sposób. Weźmy pod uwagę płaski kondensator (Rys. 3.3) o powierzchni płyt 

S

, 

odległych od siebie o 

l

.  

 

 

(Rys3.3) 

 

 

8

Zakładając jednakowy rozkład gęstości ładunku, możemy całkowity moment 

Mr

 dipoli 

elektrycznych dielektryka, wypełniającego przestrzeń między płytkami, wyrazić równaniem 

Sl

P

M

r

r =

(3.6) 

 

Ale

Sl

l 

jest objętością 

V

 

dielektryka (kondensatora), stąd 

 

V

M

P

r

r =

(3.7) 

Wektor polaryzacji 

możemy więc zdefiniować jako moment dipoli elektrycznych, przypadających na 

jednostkę objętości dielektryka.  
 
4. Związek wektora polaryzacji z wielkościami molekularnymi 
 
Załóżmy, że w jednostce objętości dielektryka znajduje się N elementarnych dipoli o momentach 

μ

r

t

.  

Wektor polaryzacji możemy wówczas przedstawić jako wartość średnią sumy wektorowej 

ich momentów: 

∑

=

>

=<

N

i

i

P

1

μ

r

r

(4.1) 

Gdy dielektryk jest izotropowy i gdy brak jest zewnętrznego pola elektrycznego, prawa strona 
równania (4.1) jest zerem, ponieważ dipole w ośrodku izotropowym rozłożone są bezładnie i 
żaden kierunek nie jest uprzywilejowany. W polu elektrycznym 

Fr

 na dipol działa moment sił 

F

T

r

r

r

×

=

μ

(4.2) 

kierujący go zgodnie z polem (rys. 4.1). Kierunek pola jest więc wyróżniony. Wypadkowy moment 
dipolowy dielektryka nie jest już równy zeru i skierowany jest zgodnie z kierunkiem przyłożonego 
pola. Pole elektryczne indukuje w drobinie dodatkowy moment

ind

i

mr

, który należy dodać do 

momentu trwałego, tak że w polu możemy drobinie przypisać moment wypadkowy,

ind

i

i

i

m

m

r

r

r

+

=

μ

. 

 

 

(Rys 4.1) 

 

Załóżmy, że dielektryk składa się z jednakowych drobin o momencie wypadkowym  mr . Wektor 
polaryzacji możemy w tym wypadku przedstawić równaniem 
 

∑

∑

>

<

=

>

<

=

>

=<

e

m

N

e

e

m

e

e

m

P

E

i

i

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.3) 

gdzie 

E

m

>

<

oznacza wartość  średnią rzutu wypadkowego momentu 

mr  na kierunek pola 

zewnętrznego,  er  wektor jednostkowy w kierunku pola 

Er

, a N jest liczbą dipoli znajdujących się w 

jednostce objętości. Wartość 

E

m

>

<

w pierwszym przybliżeniu jest proporcjonalna do natężenia 

aktualnie działającego na drobinę pola elektrycznego 

Fr

, zwanego polem lokalnym. Możemy więc 

napisać 
 

F

e

m

E

r

r

α

=

>

<

(4.4) 

 

9

Współczynnik proporcjonalności 

α  nazywamy polaryzowalnością.  

Łącząc równania (2.9) oraz (4.3) i (4.4) dostajemy 
 

F

N

E

P

r

r

r

α

ε

χ

=

=

0

'

(4.5) 

 
5

. Polaryzowalność 

 
Dielektryk składa się z drobin, które możemy w tym wypadku traktować jako układy elektryczne, 
złożone z dodatnio naładowanych jąder i otaczających je ujemnych chmur elektronowych. 
Zewnętrzne pole elektryczne działa na te ładunki siłą

E

q

K

r

r =

, 

przesuwając je względem siebie. W 

drobinach zbudowanych symetrycznie środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych przypadają 
w tym samym miejscu i na zewnątrz drobina taka nie wytwarza pola elektrycznego. Dopiero 
umieszczone drobiny w zewnętrznym polu elektrycznym powoduje przesunięcie chmury 
elektronowej względem jąder. W ten sposób powstają indukowane momenty dipolowe, dające tak 
zwaną polaryzację elektronową dielektryka. 
W drobinach składających się z różnych atomów powłoki elektronowe są zdeformowane i 
skierowane w stronę silniej wiążących atomów, czyli atomów o większej elektroujemności; na 
przykład w drobinie HC1 środek ciężkości  ładunków ujemnych przesunięty jest w stronę atomu 
chloru i drobina ma moment dipolowy równoległy  do   osi   wiązania,      skierowany      w      stronę   
atomu   wodoru  (rys.   5.1). 

 

(Rys 5.1) 

W drobinach atomy mają  ładunki o różnych znakach. Zewnętrzne pole elektryczne działa na nie i 
powoduje zmianę ich położenia równowagi. Pojawia się innego typu polaryzacja indukowana, 
zwana polaryzacją atomową 
 
Może się zdarzyć, że środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych w drobinie składającej się z 
różnych atomów nie będą się pokrywać. Wtedy drobina będzie miała trwały moment dipolowy 

μ

r , 

niezależnie od istnienia zewnętrznego pola elektrycznego. Momenty te w izotropowych układach 
drobin, statystycznie rzecz biorąc, będą się znosiły i na zewnątrz dielektryka nie będzie pola 
elektrycznego. Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego spowoduje porządkowanie się drobin 
dipolowych. Pole zewnętrzne E powoduje bowiem pojawienie się momentu sił 

E

T

r

r

r

×

=

μ

(5.1) 

kierującego dipole zgodnie z kierunkiem pola (rys. 4.1). Prowadzi to do pojawienia się polaryzacji, 
zwanej polaryzacją orientacyjną lub dipolową. 
 
W dielektryku istnieją nieraz ładunki związane z atomami lub drobinami dielektryka albo nośniki 
ładunków, mogące się przemieszczać wewnątrz dielektryka, które jednak nie mogą zostać 
zobojętnione. Taki przestrzenny ładunek, przemieszczając się w polu elektrycznym, powoduje 
wzrost pojemności kondensatora. W ten sposób powstałą polaryzację określamy mianem polaryzacji 
ładunku przestrzennego 

lub powierzchniowego. 

 
Przedstawione cztery mechanizmy polaryzacji charakteryzujemy odpowiednimi 
polaryzowalnościami, kolejno: polaryzowalnością elektronową 

e

α

t

, polaryzowalnością atomową 

a

α

, 

polaryzowalnością orientacyjną 

lub  dipolową 

d

α

oraz  polaryzowalnością  ładunku przestrzennego lub 

powierzchniowego

p

α

. Wypadkowa polaryzowalność dielektryka 

α  jest sumą wymienionych 

rodzajów polaryzowalności: 

p

d

a

e

α

α

α

α

α

+

+

+

=

(5.2) 

 

10

Polaryzowalność indukowana i orientacyjna

 

Polaryzację, podobnie jak i polaryzowalność, ogólnie możemy podzielić na indukowaną i 

orientacyjną. Do polaryzacji indukowanej zaliczamy polaryzację elektronową i atomową, czyli 
polaryzację wywołaną deformacją rozkładu  ładunku na skutek działania pola elektrycznego. Do 
polaryzacji orientacyjnej zaliczamy polaryzację dipolową, będącą wynikiem kierunkowego 
działania pola elektrycznego na trwałe momenty dipolowe drobin. Stąd ten drugi rodzaj 
polaryzacji będzie występował tylko w ośrodkach, których drobiny mają już w nieobecności pola 
elektrycznego trwałe momenty dipolowe. Polaryzację  ładunku powierzchniowego lub 
przestrzennego w dalszych rozważaniach pominiemy. 

Polaryzowalność indukowana 

Polaryzacja indukowana jest skutkiem deformacji rozkładu  ładunku w wyniku działania pola 

elektrycznego. Jeżeli rozważanie ograniczymy do słabych pól elektrycznych (w praktyce stosowane 
pola, nawet znaczne, możemy jeszcze uważać za słabe), to możemy przyjąć liniową zależność 
przesunięcia ładunku (odkształcenia) od natężenia przyłożonego pola elektrycznego. Możemy więc 
przyjąć, że pole o natężeniu F będzie działało na ładunek q

i

 siłą 

                

 (7.1) 

gdzie k

i

 jest współczynnikiem proporcjonalności, a r

i

  -  przesunięciem ładunku. 

 
Moment elektryczny m

i

 powstały w ten sposób, zgodnie z definicją będzie wynosił: 

 (7.2) 

stąd na podstawie wzoru (7.1) 

    (7.3) 

 
Możemy uważać, że drobina składa się z określonej liczby ładunków, dlatego przy założeniu, że 
w przestrzeni zajmowanej przez drobinę pole jest jednorodne, całkowity moment drobiny m 

będzie równy (7.4): 

 

Polaryzowalność indukowana a, drobiny jest zdefiniowana jako stosunek jej momentu 
indukowanego m do natężenia lokalnego pola elektrycznego F, działającego na drobinę, stąd 
(7.5): 

 
 
gdzie  k

i

  jest stałą, charakterystyczną dla wiązania  ładunku  q

i

. Z równania tego wynika, że im 

słabsze będzie wiązanie (mniejsze k

i

), tym większy będzie jego udział w polaryzowalności. 

W drobinach niedipolowych, w statycznych polach elektrycznych lub w polach o niskiej 

częstości, nie jesteśmy w stanie oddzielić polaryzowalności elektronowej α

e 

od atomowej α

a

. 

Polaryzację czysto elektronową możemy wyznaczyć jedynie w drobinach jednoatomowych, w 
których polaryzacja atomowa nie występuje. Polaryzacja atomowa występuje zawsze wspólnie z 

 

11

elektronową, stąd pomiar jej jest możliwy tylko drogą pośrednią, przeważnie przez wykorzystanie 
zjawiska dyspersji. 

 Polaryzowalność orientacyjna

 

Polaryzacja dipolowa orientacyjna jest - jak już zaznaczono - wynikiem porządkującego, 

kierunkowego działania pola na trwałe momenty dipolowe n drobin. Pojęcie momentu dipolowego 
drobiny zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Debye'a, w celu wyjaśnienia termicznej 
zależności przenikalności elektrycznej. Debye oparł się na wcześniejszej teorii orientacji trwałych 
momentów magnetycznych, podanej przez Langevina. 

Na razie ograniczymy się do drobin gazu, a więc drobin w pierwszym przybliżeniu nie 

oddziałujących ze sobą. Założymy przeto, że mamy do czynienia z drobinami dipolowymi 
swobodnymi, na które działa jedynie zewnętrzne pole elektryczne. Ponadto założymy,  że pole 
elektryczne nie zmienia wartości trwałych momentów dipolowych. Nie uwzględnimy więc 
polaryzowalności indukowanej, to znaczy założymy, że drobina jest sztywna. Założymy, że również 
temperatura nie zmienia wartości momentu dipolowego drobiny. 

Drobina o momencie dipolowym u, w polu o natężeniu F, ma energię 

(7.6)

 

 

Jeżeli moment dipolowy drobiny tworzy z polem kąt θ, energia tej drobiny w polu będzie miała 
wartość 

 

                                                       (7.7) 

 
Liczba drobin dN, o momentach dipolowych ustawionych do kierunku pola elektrycznego F pod 
kątem 

θ,  leżących wewnątrz kąta bryłowego  d

Ω

 

(rys. 7.1), zgodnie ze statystyką klasyczną 

Boltzmanna, jest dana wzorem (7.8): 
 

gdzie k jest stałą Boltzmanna (k = 1,38-10

-23

 J/K), a T- temperaturą w skali 

bezwzględnej, natomiast A jest stałą normowania. Kąt bryłowy (7.9): 

 

 

Rys. 

7.1. Rysunek pomocniczy do obliczenia wartości średniej rzutu momentu dipolowego

.

 

 

 

 

12

Całkowitą liczbę drobin N  o momentach dipolowych skierowanych pod wszystkimi kątami 
otrzymamy przez scałkowanie wyrażenia (7.8) po wszystkich kierunkach, a całkowity moment w 
kierunku pola przez obliczenie całki po wszystkich kierunkach z funkcji (7.8) pomnożonej przez 
μcosθ . Stąd wartość  średnia rzutu momentu <μ>

E

 drobiny w kierunku zewnętrznego pola 

będzie równa 
 

 

Podstawiając dostajemy (7.11): 

 

oraz 

ξ=cosθ   

 

 

 

 

   (7.12) 

możemy wzór (7.10) przepisać w postaci (7.13) : 
 

 

Po scałkowaniu otrzymamy (7.14): 
 
 
 

Ale, ponieważ (7.15): 
 
 
 
 
To dostajemy(7.16): 
 

 

Rys. 7.2. Wykres funkcji Langevina 
 
Funkcję  L(y)  przedstawia rys. 7.2. Funkcję  tę wprowadził Langevin w teorii paramagnetyzmu, 
dlatego nazywamy ją funkcją Langevina. Podaje ona zależność średniej wartości rzutu momentu na 
kierunek zewnętrznego pola elektrycznego od energii dipola w polu elektrycznym o natężeniu F, 
wyrażonej w jednostkach kT. Dla małych wartości y funkcja L(y) ma przebieg prawie liniowy, a 

 

13

dla dużych wartości  y  zbliża się asymptotycznie do jedności. Zwykle dla pól stosowanych w 
pomiarach oraz dla wartości momentów, które obserwujemy w drobinach, y << 1. 
Dla przykładu rozważmy drobinę o momencie dipolowym równym 10

-30

 C*m. W temperaturze 

pokojowej, w polu o natężeniu  lO

6

 V/m  (7.17): 

 

 
Tak więc warunek, by y<< l, jest spełniony, w wypadku temperatury pokojowej, nawet w stosunkowo 
silnych polach. 
  Liniowa  zależność funkcji Langevina od y  dla małych wartości  y  świadczy o tym. że w słabych polach 
elektrycznych wartość  średnia rzutu momentu na kierunek pola jest proporcjonalna, w pierwszym 
przybliżeniu, do natężenia działającego pola F. Dla dużych natomiast pól możemy obserwować już 
nasycenie. Stosując bardzo silne pola doprowadzilibyśmy do całkowitego uporządkowania (gdy y  ->  ∞, 
L(y) — 

<μ>

E 

/μ ->1 ). Przykładanie pól, w których by to wystąpiło, jest jednak niemożliwe, gdyż zwykły 

dielektryk już w znacznie słabszych polach zostanie przebity. 
Fukcję Langevina możemy przedstawić za pomocą szeregu (7.18): 

 

 

Gdy y <<1, możemy się ograniczyć do pierwszego wyrazu (7.19): 

 

a stąd na wartość średnią rzutu momentu na kierunek pola otrzymujemy wyrażenie (7.20) 

 

zatem polaryzowalność  dipolowa α

d 

będzie wynosiła (7.21) : 

 

α

d 

=μ

2

/3kT 

Pole elektryczne równocześnie indukuje moment m =α

1 

F [wzory (7.3) i (7.5)], który 

 w naszych rozważaniach opuściliśmy, a który możemy po prostu dodać do wyżej otrzymanego  

udziału trwałego momentu w polaryzowalności. Stąd  : 
<m>

E

= (α

e 

+

 

α

d 

+ (μ

2

/3kT) ) F 

 

                   (7.22) 

 
gdzie:  

(α

 

=

 

α

e 

+

 

α

d 

+(μ

2

/3kT) 

  (7.23) 

jest polaryzacją całkowitą. 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

Polaryzacja dielektryczna w polu elektrycznym przemiennym 

 

Jeśli umieścimy dielektryk w polu elektrycznym, wektor polaryzacji nie osiąga natychmiast 

wartości maksymalnej, ale jego wzrost opóźniony jest w czasie. Opóźnienie to jest wynikiem 
przede wszystkim lepkości ośrodka, a następnie bezwładności  ładunków elektrycznych 
zmieniających swe położenie pod wpływem pola elektrycznego . Podobnie amplituda wektora 
polaryzacji dielektrycznej P dielektryka umieszczonego w przemiennym polu elektrycznym 
(18.1) 

 

może nie podążać za zmianą pola elektrycznego i może być względem niego przesunięta w fazie. 
Oznaczmy kąt przesunięcia przez ψ; wtedy zmianę wektora polaryzacji w czasie możemy opisać 
następującym równaniem (18.2): 

 

Związek między wektorem polaryzacji P i wektorem natężenia pola elektrycznego E, wyrażony 
równaniem (18.3): 

 

będzie nadal spełniony, z tym że podatność elektryczna będzie teraz liczbą zespoloną (18.4): 

 

określoną równaniem (1.11). w

:

 którym χ` oznacza jej część rzeczywista, a χ``   — urojoną. 

Tangens kata stratności  ψ (rys. 1.2c). zgodnie z wzorami (18.1) (18.4), będzie — podobnie jak we 
wzorze (1.13)  —  wynosił (18.5): 
 
 
 

 
Wektor  przesunięcia  elektrycznego  D   będzie  przesunięty   w  fazie   względem wektora 

natężenia pola elektrycznego E o kąt 

δ

 , 

czyli 

 
                                                 D

=D

0

e

j(

ω

t+δ)                                                                 

(18.6) 

I równanie (2.10) możemy teraz zapisać w postaci (18.7) : 
 

 

gdzie :  

ε=ε`-jε``                        (18.8) 

oznacza zespolona przenikalność elektryczną dielektryka zdefiniowaną równaniem (1.15). 
Tangens kąta przesunięcia fazowego (rys. 1.2c) wektora przesunięcia elektrycznego D względem 
wektora natężenia pola elektrycznego E zgodnie z wzorami (18.1), (18.6), (18.7) będzie miał postać 
(18.9) : 
 
 

podobnie jak w równaniu 

(1.18). 

Zgodnie z równaniem (2.8), które jest słuszne zarówno w wypadku statycznym, jak i 

dynamicznym, oraz zależnościami (18.3) i (18.7) możemy napisać związek między podatnością 
elektryczną a przenikalnością elektryczną dielektryka w postaci 

 

χ=ε-1                                                                (18.10) 

Po uwzględnieniu zależności (18.4) i (18.8) otrzymujemy (18.11) : 
 

 

15

 oraz 

  (18.12). 

 

Wynika stad. że podatność elektryczna i przenikalność elektryczna różnią się jedynie w części 
rzeczywistej i to o jedność. W wypadku zespolonej wartości przenikalności elektrycznej równanie 
Clausiusa-Mossottiego (6.11) możemy napisać w postaci 

(18.13) 

 
Oczywiście, polaryzowalność a jest w tym wypadku również wielkością zespoloną. 

Zespolona podatność elektryczna χ  (lub przenikalność elektryczna ε) określa makroskopowe 

własności dielektryka w polach elektrycznych o różnych częstościach. Zarówno jej część 
rzeczywista, jak i urojona zależą od częstości kołowej ta przyłożonego pola elektrycznego. Nie są 
one wielkościami niezależnymi od siebie, możemy je bowiem wyrazić za pomocą tej samej funkcji 
czasu. 

Teoria dielektryków w polach przemiennych nastręcza znacznie większe trudności niż w 

wypadku pól statycznych. Dlatego zadowalające ilościowe wyniki uzyskujemy jedynie dla gazów 
lub roztworów rozcieńczonych. Trudności są  głównie związane z tym. że w procesie dynamicznym 
konieczna jest znajomość kinetycznych własności drobin, co nie było konieczne w wypadku 
statycznym. 

Drobiny możemy sobie wyobrazić jako układ oscylatorów elektrycznych, mogących zmieniać w 

sposób elastyczny swoje wzajemne położenie w polu elektrycznym, lub jako układ obdarzony 
trwałym momentem dipolowym, zmieniającym swą orientację w polu elektrycznym. 

Obecnie przeprowadzimy analizę zależności zespolonej podatności elektrycznej od częstości 

działającego na dielektryk pola elektrycznego, a więc omówimy zjawiska dyspersji i absorpcji 
w dielektrykach. 

 
6. 

Równanie Clausiusa—Mossottiego. Pole lokalne Lorentza 

(Dodatek- nie wiem czy to tez łapie się w temacie ale wole opracować-na 
wykładzie było) 

 
Jedynie w odniesieniu do gazów rozrzedzonych możemy przyjąć, że pole lokalne 

F

r

 jest identyczne 

z zewnętrznym, przyłożonym polem 

E

r

. W ośrodkach skondensowanych musimy uwzględnić 

oddziaływanie otoczenia na drobiny dielektryka. 
Weźmy dielektryk znajdujący się w polu elektrycznym o natężeniu 

Er

 i rozważmy drobiny 

znajdujące się w środku kulistej półmakroskopowej wnęki (rys. 6.1). Dielektryk na zewnątrz 
wnęki traktujemy jako jednorodny.  
 

 

(Rys 6.1) 

 

 

 

16

Pole panujące w środku wnęki będzie się składało z pola zewnętrznego 

E

r

, z pola 

1

E

r

, 

pochodzącego od indukowanych ładunków na powierzchni wnęki, i z pola

2

Er

, pochodzącego 

od drobin znajdujących się wewnątrz wnęki, czyli 
 

2

1

E

E

E

F

r

r

r

r

+

+

=

(6.1) 

Pole 

1

E

r

, pochodzące od ładunków znajdujących się na powierzchni pomyślanej wnęki, obliczamy 

w następujący sposób (Rys. 6.2). Niech 

θ   oznacza kąt biegunowy w stosunku do osi zgodnej z 

kierunkiem polaryzacji. Wtedy gęstość ładunku powierzchniowego wnęki będzie wynosiła

θ

cos

P

. 

 

 

(Rys 6.2) 

 

Zgodnie z prawem Coulomba każdy element powierzchni 

ds

wytwarza wewnątrz wnęki o 

promieniu 

a

 

pole o natężeniu 

ds

a

P

dE

2

0

1

4

cos

πε

θ

=

(6.2) 

 

Powierzchnię elementu 

ds

, o kształcie pierścienia, możemy wyrazić wzorem 

 

θ

θ

π

ad

a

ds

⋅

=

sin

2

(6.3) 

 
Składowe pola 

1

dE

prostopadłe do wektora polaryzacji, a pochodzące od elementów 

ds

pierścienia 

symetrycznie rozłożonych względem osi wnęki (rys. 6.2), znoszą się. Przyczynek do pola dają więc 
jedynie składowe wektora polaryzacji 

θ

cos

1

dE

 Zatem wypadkowe natężenie będzie równe 

 

0

0

2

2

0

2

1

3

sin

2

4

cos

ε

θ

θ

π

π

ε

θ

π

P

d

a

a

P

E

r

r

r

=

=

∫

(6.4) 

Pozostaje do obliczenia pole pochodzące od dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki. Pole to zależy 
od struktury dielektryka. W wypadku regularnej sieci krystalicznej lub bezładnego rozkładu drobin 
gazu lub cieczy , który możemy traktować podobnie jak układ o wysokiej symetrii, założymy 
więc 

0

2

=

E

r

(6.5) 

Korzystając z równania (2.9), możemy zatem pole lokalne zastąpić wyrażeniem 

E

P

E

F

r

r

r

r

3

3

3

'

0

+

+

+

=

χ

ε

(6.6) 

Stąd na podstawie wzoru (4.6) otrzymujemy wyrażenie, wiążące polaryzowalność 

α . i 

podatność elektryczną 

'

χ

, w postaci: 

 

17

3

3

'

0

'

+

=

χ

ε

α

χ

N

(6.7) 

 
Wielkość 

α

N

  podanych wzorach oznacza polaryzowalność na jednostkę objętości Praktyczniej jest 

posługiwać się polaryzowalnością na określoną liczbę drobin dlatego też wprowadzamy 
polaryzowalność na mol lub inaczej  polaryzowalność molowa 

Π  

 

0

'

'

3

3

ε

α

ρ

χ

χ

A

N

M =

+

=

Π

(6.8) 

M  

- masa dielektryka 

ρ

 - 

gęstość dielektryka  

A

N

 -liczba 

Avogadra 

 
 
Jest to równanie Clausiusa-Mossottiego. 
 
 

Rodzaje polaryzowalności. Wykres Cole'a-Cole'a(to tez dodatek) 

 

Rozważając polaryzowalność. podzieliliśmy ją na polaryzowalność orientacyjną i indukowaną. 

Ponadto polaryzowalność indukowaną podzieliliśmy na polaryzowalność elektronowa i atomową. 
Zwróciliśmy również uwagę,  że rozdzielanie polaryzowalności możemy uzyskać przez pomiar 
zależności podatności elektrycznej od częstości. 
Polaryzowalność indukowaną charakteryzuje odpowiadająca jej podatność elektryczna, którą 

oznaczyliśmy 

χ

∞

 . 

Musimy wiec wyznaczyć tę wielkość, aby obliczyć polaryzowalność indukowaną. 

Polaryzowalność orientacyjną, czyli dipolową obliczamy odejmując od całkowitej polaryzowalności 
jej część indukowana. Podział zaś polaryzowalności indukowanej na elektronową i atomowa możemy 
uzyskać przez wyznaczenie refrakcji (6.14) i ekstrapolowanie jej do wartości odpowiadającej 
nieskończenie długiej fali mierzącej. Tak określona refrakcja przedstawia polaryzowalność 
elektronową, która możemy odjąć od polaryzowalności indukowanej, by w ten sposób otrzymać 
polaryzowalność atomową. 

W celu wyznaczenia polaryzowalności elektronowej badamy zależność współczynnika załamania 

od długości fali i ekstrapolujemy do wartości odpowiadającej falom nieskończenie długim. Taką 
wartość współczynnika załamania oznaczamy n

∞

. 

Jak już wspominaliśmy w poprzednim paragrafie, drobina może mieć kilka częstości 

rezonansowych  ω

r

, odpowiadających drganiom własnym zawartych w niej oscylatorów 

elektronowych. W przedziale częstości rezonansowej każdego z oscylatorów podatność elektryczna, 
a tym samym i współczynnik załamania, wykazują przebieg anomalny. Stąd, ekstrapolując 
współczynnik załamania do fal nieskończenie długich, należy się upewnić, czy współczynnik 
załamania w badanym przedziale długości fal nie zawiera pasm absorpcji. W wypadku bowiem 
istnienia absorpcyjnych pasm na  n

∞

 

możemy otrzymać wartość znacznie odbiegającą od 

wartości rzeczywistej. 

Molową polaryzowalność elektronową zgodnie z zależnością (6.14) określa więc wzór 

ρ

M

n

n

x

e

2

1

2

2

+

−

=

Π

∞

                                                                                      (21.1) 

 
a polaryzowalność indukowaną (6.11)  —  wzór : 

 

18

 

ρ

χ

χ

M

ind

3

+

=

Π

∞

∞

                                     (21.2) 

Stąd polaryzowalność atomowa będzie wynosiła: 
 

ρ

χ

χ

M

n

n

x

a

)

2

1

3

(

2

2

+

−

−

+

=

Π

∞

∞

∞

                                                    (21.3) 

 

Do wyznaczenia polaryzowalności atomowej konieczna jest wiec znajomość 

χ

∞

 .

Prosty sposób 

wyznaczenia tej wielkości na podstawie równania Debye'a (20.44) lub (20.13) podali K. S. Cole i 
R. H. Cole. 

Przedstawmy podatność elektryczną w płaszczyźnie zmiennej zespolonej. W tym celu równanie 

Debye'a (20.44) możemy napisać w postaci : 

(

χ-χ

∞

) + j(

χ-χ

∞

) ω τ

e

 = 

χ

s

-

χ

∞

                                                            

(21.4) 

 

W płaszczyźnie zmiennej zespolonej podatność elektryczna 

χ dla danej częstości kołowej ω

 

określają współrzędne punktu A (rys. 21.1). 

Wprowadźmy oznaczenia 

χ-χ

∞

 = u  oraz (

χ-χ

∞

)ω  τ

e

 >v. Odcinek v ma  ω  τ

e 

razy większą 

wartość liczbowa od u i jest do u prostopadły (ponieważ występuje przy nim jednostka urojona j). 
Dla innej częstości  ω

1

 otrzymamy na podatność elektryczną 

χ, powiedzmy, wartość określona 

przez współrzędne punku B. Podobnie i odcinki u

1 

oraz v

1

 będą wzajemnie prostopadłe, przy czym 

odcinki te będą łączyły znów te same punkty leżące na osi 

χ' o wartościach χ

∞

 i 

χ

s

 . 

 

 

Rys. 21.1. Wykres Cole`a-Cole`a. 

Odcinek 

χ

s

-

χ

∞

 Jest stały dla wszystkich u i v , odpowiadających różnym wartościom 

χ. Tak więc 

wartości podatności elektrycznej 

χ dla wszystkich częstości kołowych ω: od ω =0, dla której χ=χ

s

 ,

do ω 

->ω

∞

, dla której 

χ=χ

∞

 , 

będą leżały na okręgu o średnicy 

χ

s

-

χ

∞

 

 i 

środku leżącym w punkcie 

(

χ

s+

χ

∞

 

 

)/2 na osi rzeczywistej wartości podatności elektrycznej 

χ`

 

 . 

Wykres tak skonstruowany 

(rys. 21.1) znany jest pod nazwą wykresu Cole'a-Cole'a. 

 
(21.5)  
 

 

straty osiągają największa wartość, równą zgodnie z wzorami (21.5) i (20.15) 

 

 
 

 

19

Wyznaczając podatność elektryczną 

χ dla różnych częstości i ekstrapolujac do częstości  ω= 0 i ω 

=ω

∞

 ,znajdujemy z wykresu Cole'a-Cole'a statyczną wartość podatności elektrycznej 

χ

s

 

: 

χ=χ

s

 dla ω =0                                                      (21.7) 

oraz indukowaną wartość podatności elektrycznej  

χ

∞

 :

 

χ=χ

∞

 dla ω =ω

∞

                                                  

 (21.8) 

Jeśli ponadto wyznaczamy współczynnik załamania ekstrapolowany do nieskończenie długich fal: 

n=n

∞

 dla   λ -> ∞                                                                  (21.9) 

będziemy mogli rozdzielić całkowita polaryzację (14.5) na część dipolowa atomową i elektronowa, 
zgodnie z wzorami (14.11). (21.1) i (21.3). 
     W celu wyznaczenia  w prosty sposób czasu relaksacji  

τ

 

wyeliminujemy 

χ

∞

 

z równań 

(20.14), (20.15). Wtedy dostaniemy: 

χ`=χ

s

 -ωτ

 

χ``                                   

                                       

(21.10) 

Podstawiając zaś zgodnie z wzorem (20.54)  

σ=-ωχ``  , dostaniemy:                              

                                    

(21.11) 

 

Wykreślając   

χ'  w zależności  od  przewodności  σ,   otrzymujemy   czas   relaksacji z nachylenia 

prostej 

χ' = f(σ). 

Powyższe rozważania słuszne są oczywiście w wypadku, kiedy zjawiska zachodzące w 

dielektrykach odpowiadają prostemu modelowi relaksacji Debye'a, to znaczy, kiedy istnieje tylko 
jeden czas relaksacji 

τ (lub widmo czasów relaksacji z jednym maksimum) oraz możemy pominąć 

oddziaływania międzydrobinowe. Rzeczywiste dielektryki dipolowe na ogół rzadko odpowiadają 
temu modelowi. Stąd zjawisko relaksacji nie zawsze da się w nich opisać prostym równaniem 
Debye'a.