Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
25-1
Wykład 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwalające-
go na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.
W mechanice - trzy zasady dynamiki
W termodynamice - trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych już równań.
Nazwa
Równanie
1
2
3
4
prawo Gaussa dla elektryczności
prawo Gaussa dla magnetyzmu
prawo indukcji Faradaya
prawo Ampera
∫
=
0
/
d
ε
q
S
E
∫
=
0
dS
B
∫
−
=
=
t
B
d
d
d
φ
ε
l
E
∫
=
I
0
d
µ
l
B
r
Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-
nego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest
związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.
Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia symetrii.
Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe
µ
0
i
ε
0
nie są istotne bo możemy wybrać
układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1. Wtedy zauważamy pełną symetrię le-
wych stron równań. Prawe strony NIE są symetryczne.
Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że
istnieją izolowane centra ła-
dunku
(np. elektron, proton) ale
nie istnieją izolowane centra magnetyczne
(pojedyncze
bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się q, a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd I = dq/dt, a nie mamy prądu monopoli (ładun-
ków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyrazem – d
φ
B
/dt w równaniu 3. Sens tego prawa jest
następujący:
zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne
.
Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność odwrotna:
zmieniając pole elektryczne (d
φ
E
/dt) wytwarzamy pole magnetyczne
∫
)
d
(
l
B
.
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywiście doświadczenie daje przykłady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością dE/dt co oznacza, że do okła-
dek dopływa ładunek.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
25-2
Doświadczenie pokazuje, że
powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-
jące się pole elektryczne
.
Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-
densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poniżej).
Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię S, która zawiera prąd I oraz prze-
chodzi przez punkt P (w odległości r) (
∫
=
S
I
S
jd
). Z prawa Ampera otrzymujemy
∫
=
S
kontur
I
0
d
µ
l
B
Stąd
B2
πr=µ
0
I
czyli
r
I
B
π
µ
2
0
=
Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na
którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia S
'
. Żaden prąd nie przechodzi przez tę
powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy
∫
=
0
dl
B
co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie
pomiędzy okładkami kondensatora. Żeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował
dodanie nowego członu do prawa Ampera.
Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać
∫
=
t
E
d
d
d
0
0
φ
ε
µ
l
B
(25.1)
S
S'
E
i
i
r
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i
i
E
E
R
r
B
B
B
B
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
25-3
Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać
∫
+
=
I
t
E
0
0
0
d
d
d
µ
φ
ε
µ
l
B
(25.2)
Tak więc
pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prądu ale też przez
zmieniające się pole elektryczne.
Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w
punkcie P (przykład powyżej). W części powierzchni krzywoliniowej S' pomiędzy
okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, że
φ
E
= ES
C
= q/
ε
0
gdzie S
C
jest powierzchnią okładek kondensatora. Różniczkując po dt mamy
0
0
d
d
1
d
d
ε
ε
φ
I
t
q
t
E
=
=
Przypomnijmy, że
∫
=
I
0
d
µ
l
B
Podstawiając za I otrzymujemy
∫
=
t
E
d
d
d
0
0
φ
ε
µ
l
B
czyli dodany wyraz do prawa Ampera.
25.3 Prąd przesunięcia
Z poprzedniego równania widać, że wyraz
ε
0
d
φ
E
/dt ma wymiar prądu. Mimo, że
nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy
prądem przesu-
nięcia
. Mówimy, że pole B może być wytworzone przez prąd przewodzenia I lub przez
prąd przesunięcia I
P
.
∫
+
=
)
(
d
0
I
I
P
µ
l
B
(25.3)
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie
ciągłości prądu
w przestrzeni
gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).
Przykład 1
Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym
w odległości r od osi (rysunek na stronie 2).
Z równania
∫
=
t
E
d
d
d
0
0
φ
ε
µ
l
B
otrzymujemy
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
25-4
t
E
r
t
r
E
r
B
d
d
d
)
(
d
2
2
0
0
2
0
0
π
ε
µ
π
ε
µ
π
=
=
Stąd
R
r
t
E
r
B
<
=
dla
,
d
d
2
1
0
0
ε
µ
dla r = R = 5cm oraz dE/dt = 10
12
V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy
mniej niż pole ziemskie.
Natomiast prąd przesunięcia
t
E
R
t
I
E
P
d
d
d
d
2
0
0
π
ε
φ
ε
=
=
ma całkiem sporą wartość I
P
= 70 mA. Powodem, że B jest tak małe jest to, że ten prąd
(umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas
gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.
25.4 Równania Maxwella
Prawo
Równanie
Czego dotyczy
Doświadczenie
1
Gaussa dla
elektryczności
∫
=
0
/
d
ε
q
S
E
ładunek i pole
elektryczne
Przyciąganie, odpychanie
ładunków (1/r
2
).
Ładunki gromadzą się na
powierzchni metalu
2
Gaussa dla
magnetyzmu
∫
=
0
dS
B
pole magnetyczne
nie stwierdzono istnienia mo-
nopola magnetycznego
3
indukcji Fara-
daya
∫
−
=
t
B
d
d
d
φ
l
E
efekt elektryczny
zmieniającego się
pola magnetycz-
nego
indukowanie SEM w obwo-
dzie przez przesuwany ma-
gnes
4
Ampera (roz-
szerzone przez
Maxwella)
∫
=
t
E
d
d
d
0
0
φ
ε
µ
l
B
I
0
µ
+
0
0
1
µ
ε
=
c
efekt magnetycz-
ny zmieniającego
się pola elek-
trycznego
prąd w przewodniku wytwa-
rza wokół pole magnetyczne
prędkość światła można wyli-
czyć z pomiarów EM