1
EKONOMETRIA – ĆWICZENIA dnia 24-09-2000
Szacowanie parametrów strukturalnych, model liniowy z jedna zmienną objaśniającą.
ε
α
α
α
α
+
+
+
+
+
=
k
k
X
X
X
Y
.......
2
2
1
1
0
ε
α
α
+
+
=
X
Y
1
0
ε
α
β
+
+
=
X
Y
oszacowana postać modelu z jedną zmienną objaśniającą:
aX
b
Y
+
=
∧
gdzie :
b - oszacowanie (estymator) parametru β
a – oszacowanie (estymator) parametru α
Zadanie 1
Wartość produkcji w mln zł (Y) oraz wartość zużytych na tą produkcję materiałów w mln. zł (X) w
przedsiębiorstwie w latach 1990-1999 kształtowały się następująco:
y
t
– realizacja zmiennej Y
x
t
– realizacja zmiennej X
lata
t
y
t
x
90 1,5 0,9
91 1,2 0,7
92 1,4 0,8
93 1,3 0,8
94 1,5 0,9
95 1,3 0,8
96 1,6 1,0
97 1,4 0,8
98 2,2 1,3
99 1,6 1,0
a) Proszę oszacować parametry strukturalne modelu liniowego opisującego zależność wartości pro-
dukcji od wartości zużytych materiałów
b) Proszę oszacować parametry strukturalne liniowego trendu wartości produkcji
Y
oszacowanie modelu – narysować taką
prostą, która będzie najlepiej dopasowana
do
wszystkich
punktów
e
9
e
10
e
7
e
8
e
5
e
6
e
3
e
4
e
1
e
2
X
2
Najlepsze dopasowanie musi spełniać warunki :
(klasyczna metoda najmniejszych kwadratów)
min
1
2
→
∑
=
n
t
t
e
e
t
– odległość punktu t od prostej
lata
t
y
t
x
−
−
y
y
t
−
−
x
x
t
)
(
*
)
(
−
−
−
−
x
x
y
y
t
t
2
)
(
−
−
x
x
t
90 1,5 0,9 0
0
0
0
91 1,2 0,7 -0,3 -0,2
0,06
0,04
92 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01
93 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01
94 1,5 0,9 0
0
0
0
95 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01
96 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01
97 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01
98 2,2 1,3 0,7 0,4
0,28
0,16
99 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01
∑
15 9 0
0
0,42
0,26
5
,
1
=
−
y
9
,
0
=
−
x
2
1
1
)
(
)
)(
(
−
=
−
=
−
−
−
−
=
∑
∑
x
x
y
y
x
x
a
n
t
t
t
n
t
t
−
−
−
=
x
a
y
b
615
,
1
26
,
0
42
,
0
=
=
a
046
,
0
9
,
0
*
615
,
1
5
,
1
=
−
=
b
X
Y
615
,
1
046
,
0
+
=
∧
Jest to oszacowana postać modelu
Oszacowana wartość parametru X (a) informuje jak zmieni się wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli
wartość zmiennej objaśniającej wzrośnie o jednostkę.
Komentarz do zadania:
W latach 1990-1999 wzrost wartości zużytych materiałów o 1 mln zł powodował średni wzrost war-
tości produkcji o 1,615 mln zł.
lub (lepsza interpretacja) wzrost wartości materiałów o 0,1 mln zł powodował wzrost wartości pro-
dukcji o 0,1615 mln zł.
Oszacowana wartość parametru β (b) nie zawsze posiada logiczną interpretację ekonomiczną. Gene-
ralnie wartość b informuje ile wynosi wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli zmienna objaśniająca
równa się 0
3
Y
b=0,046
X
K
c
= β + αP + ε
K
c
B
koszt całkowity
P
K
c
– koszt całkowity
P – wielkość produkcji
Druga część zadania - trend liniowy
ε
α
β
+
+
=
t
Y
at
b
Y
+
=
^
2
1
1
)
(
)
)(
(
−
=
−
=
−
−
−
−
=
∑
∑
t
t
y
y
t
t
a
n
t
t
n
t
−
−
−
=
t
a
y
b
lata
t
y
t
x
−
−
y
y
t
−
−
x
x
t
)
(
*
)
(
−
−
−
−
x
x
y
y
t
t
2
)
(
−
−
x
x
t
−
−
t
t
2
)
(
−
−
t
t
)
(
*
)
(
−
−
−
−
y
y
t
t
90 1,5 0,9 0 0
0
0 -4,5
20,25
0
91 1,2 0,7 -0,3 -0,2
0,06
0,04 -3,5 12,25 1,05
92 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01 -2,5 6,25 0,25
93 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01 -1,5 2,25 0,30
94 1,5 0,9 0 0
0
0 -0,5 0,25
0
95 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01 0,5 0,25
-0,1
96 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01 1,5 2,25 0,15
97 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01 2,5 6,25 -0,25
98 2,2 1,3 0,7 0,4
0,28
0,16 3,5 12,25 2,45
4
99 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01 4,5 20,25 0,45
∑
15 9 0 0
0,42
0,26 0 82,5 4,3
5
,
5
2
10
1
=
+
=
−
t
052
,
0
5
,
82
3
,
4
=
=
a
213
,
1
5
,
5
*
052
,
0
5
,
1
=
−
=
b
t
Y
052
,
0
213
,
1
+
=
−
jest to oszacowany model trendu
Interpretacja ekonomiczna:
Oszacowana wartość parametru α w liniowym modelu trendu informuje jak średniorocznie (mie-
sięcznie) zmieniała się wartość średniej objaśnianej.
W przykładzie:
W latach 1990-1999 wartość produkcji wzrastała średniorocznie o 0,052 mln zł.
Oszacowana wartość parametru β (b) informuje ile wynosiła wartość objaśnianej w jednostce czasu
bezpośrednio poprzedzającej okres badany (analizy)
W 1989 roku wartość produkcji wynosiła 1,213 zł.
Zadanie domowe:
Wartość zmiennej Y w latach 1990-1997 wzrastała z roku na rok. Trend zmiennej X w tym samym
okresie wyraża się równaniem
t
X
4
,
2
9
,
28
^
+
=
, czy jest możliwe, aby model opisujący zmienność Y
do X miał postać
X
Y
85
,
0
3
,
27
^
−
=