Metody rozwiązywania równań nieliniowych
Niech
]
,
[ b
a
x
∈
,
a<b oraz funkcja f(x) będzie taka, że f(a)f(b)<0. Jeśli funkcja f(x) jest ciągła
na przedziale
[a,b], to istnieje taki punkt
)
,
(
b
a
c
∈
, że
f(c)=0. Wtedy c nazywamy
pierwiastkiem funkcji
f.
Metoda Newtona
Założenia:
1.
W przedziale
[a,b] funkcja posiada pierwiastek, f(a)f(b)<0.
2.
Funkcja
f(x) jest ciągła na przedziale [a,b] i posiada pochodną.
3.
Pierwsza i druga pochodna funkcji
f ma stały znak na przedziale [a,b].
Algorytm metody Newtona:
1.
Wybieramy punkt startowy, zazwyczaj
a, b, 0 lub 1.
2.
Wyprowadzamy styczną w tym punkcie do funkcji
f(x). Współrzędna odcięta punktu
przecięcia stycznej z osią
OX stanowi pierwsze przybliżenie pierwiastka funkcji.
3.
Jeżeli przybliżenie to nie jest zadowalające powtarzamy krok 2.
Wzór rekurencyjny na kolejne przybliżenia pierwiastka funkcji
f metodą Newtona
(stycznych):
)
(
'
)
(
1
k
k
k
k
x
f
x
f
x
x
−
=
+
.
Metoda siecznych
W metodzie newtona w każdej iteracji musimy obliczyc wartość funkcji i wartość pochodnej.
Aby uniknąć obliczania pochodnej możemy wartość pochodnej zastąpić ilorazem
różnicowym.
Wzór
na
kolejne
przybliżenie
wtedy
przyjmuje
postać:
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
−
−
+
−
−
−
=
.
1.
Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. Metody Numeryczne. Warszawa : Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 2005. ISBN 83-204-3245-6.