ukasz Czech
7 maja 2013 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 24
Zadanie 1 Udowodni¢, »e dla v, w ∈ R
n
zachodzi:
a) v ⊥ w ⇔ kv + wk
2
= kvk
2
+ kwk
2
;
b) (v + w) ⊥ (v − w) ⇔ kvk = kwk.
Zadanie 2 Udowodni¢, »e je»eli v
1
, . . . , v
n
∈ R
n
i ∀
i
kv
i
k = 1
oraz kv
i
− v
j
k =
√
2
dla
i 6= j
, to v
1
, . . . , v
n
tworz¡ baz¦ ortonormaln¡.
Zadanie 3 Znale¹¢ dopeªnienie ortogonalne przestrzeni:
a) U ⊂ R
3
, U = lin((1, 0, 1));
b) U ⊂ R
5
, U = lin((1, 1, −1, 2, 1), (2, 1, 1, −1, 1), (−1, 1, 1, 1, 1));
c) U ⊂ R
4
, U = lin((0, 1, 1, 1), (−1, 1, 0, −1)).
Zadanie 4 Znale¹¢ bazy ortonormalne przestrzeni oraz wspóªrz¦dne podanych wektorów
w tych bazach:
a) U = lin((1, −1, 2), (0, 1, 2), (−1, 2, 1)), v = (−1, 4, 6);
b) U = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x + y + z = 0, y = t}
, v = (−1, 3, −2, 3);
c) U = {(2x + y + 5z, y + z, 2y − x, x + 2z)}, v = (6, 4, 7, 1);
Zadanie 5 Niech A =
1 −4 −8
−4
7 −4
−8 −4
1
oraz B =
5 2 −1
2 2
2
−1 2
5
b¦d¡ macierzami od-
wzorowa« liniowych f, g : R
3
→ R
3
. Znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ zªo»on¡ z wektorów wªas-
nych macierzy A. Wyznaczy¢ ortogonaln¡ macierz P tak¡, »e P
T
BP
jest macierz¡ diago-
naln¡.
Zadanie 6 Dana jest forma kwadratowa:
a) g(x) = 4x
2
− 4xy − 8xz + 2yz + y
2
− 3z
2
,
b) g(x) = 2x
2
− 6xy + 4xz − 2yz + 4y
2
− z
2
.
Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡:
a) przeksztaªce« ortogonalnych,
b) Lagrange'a,
c) Jacobiego.
Zadanie 7 Niech f : R
3
× R
3
→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych
x = (x
1
, x
2
, x
3
)
, y = (y
1
, y
2
, y
3
)
warto±¢ f(x, y) = x
1
y
1
− x
2
y
2
+ x
3
y
3
+ 3x
1
y
3
+ x
3
y
1
.
a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R
3
→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A
formy g w bazie kanonicznej B
k
.
b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B
O
, w której forma
kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.
c) Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡ Lagrange'a.
Zadanie 8 Niech f : R
4
× R
4
→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych
x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
, y = (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
)
warto±¢:
f (x, y) =
4
X
i,j=1
x
i
y
j
=
4
X
i=1
4
X
j=1
x
i
y
j
!!
.
a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R
4
→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A
formy g w bazie kanonicznej B
k
.
b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B
O
, w której forma
kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.
c) Poda¢ macierz tej formy kwadratowej w wyznaczonej bazie B
O
i przy jej pomocy
wyznaczy¢ g(1, 1, 1, 1).
Zadanie 9 Dana jest macierz A =
1
2
1
2 −2 −2
1 −2
1
.
a) Znale¹¢ ortogonaln¡ macierz P i diagonaln¡ D tak¡, »e D = P
T
AP
.
b) Form¦ kwadratow¡ f(x) = X
T
AX
sprowadzi¢ do postaci kanonicznej metod¡ La-
grange'a.
Zadanie 10 Zbada¢, jak s¡ okre±lone poni»sze formy kwadratowe:
a) f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
3
;
b) f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
− 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
− 4x
2
3
;
c) f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 10x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
+ 5x
2
2
+ 2x
2
3
.