W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
K
K
I
I
N
N
E
E
M
M
A
A
T
T
Y
Y
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
K
K
I
I
N
N
E
E
M
M
A
A
T
T
Y
Y
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
R
R
U
U
C
C
H
H
O
O
Ś
Ś
R
R
O
O
D
D
K
K
A
A
C
C
I
I
Ą
Ą
G
G
Ł
Ł
E
E
G
G
O
O
Ośrodek ciągły jest utworzony przez ciągły zbiór punktów
materialnych
– w każdym punkcie przestrzeni znajduje się punkt
materialny ośrodka
Wybrany punkt materialny porusza
się, więc zmienia się jego położenie
o
r
r(t, r )
TOR
– linia zakreślona
przez
poruszający
się
punkt materialny.
Początek toru określa:
o
o
r(0, r )
r
Prędkość poruszającego się punktu:
o
o
r(t, r )
v
v(t, r )
t
Przyspieszenie punktu materialnego:
2
o
o
o
2
v(t, r )
r(t, r )
a
a(t, r )
t
t
Warunek:
wiadomo gdzie punkt materialny znajdo
wał się w chwili początkowej
Eliminacja niedogodności:
o
o
r
r (t, r)
wstawiamy do
o
o
(t, r)
v
v(t, r )
v(t, r
)
Złożenie daje
v
v(t, r)
czyli pole wektorowe zależne od czasu i położenia (wektorowa
funkcja miejsca)
t = t
1
prędkości wybranego punktu
prędkość dowolnego punktu
D
D
W
W
A
A
O
O
P
P
I
I
S
S
Y
Y
R
R
U
U
C
C
H
H
U
U
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
Zmienne Lagrange’a
Zmienne
o
o
o
o
(x , y , z )
t, r
czyli czas oraz współrzędne miejsca, w którym
rozważany punkt znajdował się w chwili początkowej
Zmienne Eulera
Zmienne
(x, y, z)
t, r
czyli czas oraz współrzędne miejsca, w którym
jest w danej chwili poruszający się punkt
Załóżmy, że w każdym miejscu przestrzeni i w każdym czasie
znamy wektory prędkości
v(t, r)
. Linie, do których w wybranej
chwili wektory te będą styczne nazywamy
LINIAMI PRĄDU
Cosinusy kierunkowe LINII PRĄDU:
ds
–
długość elementarnego odcinka linii
v
– moduł (długość) wektora
v
1
1
dx
v
ds
v
2
2
dx
v
ds
v
3
3
dx
v
ds
v
3
1
2
1
2
3
dx
dx
dx
v
v
v
Równanie linii prądu
(krawędziowe)
po wyrugowaniu
długości łuku i modułu
prędkości
Równania
parametryczne
Gdy pole prędkości nie zmienia się w czasie linie prądu są niezmienne. Zatem
jeśli
v
v(r)
niezależna od czasu
TORY i LINIE PRĄDU SĄ
NIEROZRÓŻNIALNE
Gdy pole prędkości zależy od czasu
v
v(t, r)
TOR
jest na swym końcu zawsze
styczny do
LINII PRĄDU
(jest obwiednią chwilowych linii prądu).
tor
linia prądu w chwili t
linia prądu w chwili t
Niech
1
2
3
f
f (t, x (t), x (t), x (t))
będzie funkcją określającą wielkość
fizykalną opisującą poruszający się ośrodek ciągły. Pochodna
względem czasu takiej funkcji nosi nazwę
POCHODNEJ
SUBSTANCJALNEJ lub MATERIALNEJ
1
2
3
1
2
3
pochodna
pochodna
loka ln a
konwekcyjna
f
f
f
x
x
x
f
v
v
v
t
df
dt
pochodna lokalna -
określa zmianę funkcji
f
wynikającą z upływu czasu
pochodna konwekcyjna
–
opisuje
zmianę funkcji
f
wynikającą z ruchu
ośrodka ciągłego
POCHODNA SUBSTANCJALNA
zapisana przy użyciu konwencji
sumacyjnej
k
k
f
f
v
t
x
df
dt
Z
definiujmy operator różniczkowania zwany nablą. Oznacza się
go symbolem
.
1
2
3
1
2
3
e
e
e
grad
x
x
x
Zapiszmy
POCHODNĄ SUBSTANCJALNĄ
używając operatora
.
f
v
)f
t
df
(
dt
dla k=1,2 ,3
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
S
S
P
P
I
I
E
E
S
S
Z
Z
E
E
N
N
I
I
E
E
W
W
Z
Z
M
M
I
I
E
E
N
N
N
N
Y
Y
C
C
H
H
E
E
U
U
L
L
E
E
R
R
A
A
Przyspieszenie
a
jest polem wektorowym zależnym od czasu i
położenia. Otrzymujemy go licząc pochodną substancjalną z pola
prędkości
k
k
v
v
v
t
x
a
C
zęść konwekcyjną można zapisać przy użyciu iloczynu skalarnego
prędkości i operatora nabla
.
v
v
)v
t
a
(
Aby policzyć składową przyspieszenia
i
a
korzystamy ze wzoru
dla k=1,2 ,3
i
i
i
k
k
v
v
v
t
x
a
pamiętając o konwencji sumacyjnej po
k
.
K
K
R
R
Ó
Ó
T
T
K
K
I
I
E
E
U
U
Z
Z
U
U
P
P
E
E
Ł
Ł
N
N
I
I
E
E
N
N
I
I
E
E
:
:
Iloczyn skalarny
prędkości
v
i wektora nabla
1
1
2
2
3
3
(v
)
v
v
v
gdzie
k
k
x
Iloczyn skalarny zawierający nablę
nie jest przemienny!
dla i=1,2 ,3
3
1
2
1
2
3
v
v
v
(
v)
(v
)
x
x
x
Iloczyn wektorowy
i
v
n
osi nazwę rotacji wektora
v
v
grad v
rot v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
e
e
e
rot v
x
x
x
v
v
v
Wektor
-
Tensor -
ik i k
T e e
i i
e
A
A
i
A
-
składowe wektora,
i
e
-
wersory kartezjańskiego układu
współrzędnych.
ik
T
-
składowe tensora,
i
k
e , e
- wersory
Uwaga
i
e
nie mnożymy przez
k
e
!