1 

 

Inżynieria Materiałowa w Energetyce – ćwiczenia 

AGH, Wydział Energetyki i Paliw, kierunek: Energetyka, rok II, semestr 3 (zimowy) 

Zajęcia 7, 

14 kwietnia 2014 r. 

 

Równowagowe stężenie wakancji: 

 

N – liczba atomów w „idealnym” krysztale 
n – liczba wakancji 
N+n – liczba węzłów sieci w zdefektowanym krysztale 
 

S

T

h

n

G

G

G

id

def















 

W

k

S

ln



 



























n

N

n

n

n

N

N

N

kT

h

n

G

ln

ln

  

0

ln

















n

N

n

kT

h

n

G

 

kT

h

e

n

N

n









  

 
G – entalpia swobodna 
H – entalpia 
h – entalpia tworzenia jednej wakancji 
S – entropia 
T – temperatura w skali bezwzględnej 
W – prawdopodobieństwo termodynamiczne – liczba stanów mikroskopowych, które prowadzą do 
tego samego stanu makroskopowego, 
k – stała Boltzmanna 1,38·10

-23

 J/K = 8,62·10

-5

 eV/K 

2 

 

Zadania: 

1.  Wykaż, że prawdopodobieństwo termodynamiczne W

def

 dla kryształu zawierającego n 

wakancji i N atomów rozmieszczonych na N+n pozycjach węzłowych jest dane przez:























n

N

n

n

n

N

N

N

W

def

ln

ln

ln

 

2.  Wykaż, że zmiana entalpii swobodnej (ΔG) związana z tworzeniem wakancji w krysztale jest 

dana wzorem:



























n

N

n

n

n

N

N

N

kT

h

n

G

ln

ln

 (Δh – entalpia tworzenia jednej 

wakancji, k – stała Boltzmanna, T – temperatura w skali bezwzględnej). 

3.  Wykaż, że równowagowa koncentracja wakancji wynosi 

kT

h

e

n

N

n









. 

4.  Oblicz równowagową liczbę wakancji w 1 m

3

 miedzi oraz udział wakancji we wszystkich 

węzłach sieci w 1000°C. Energia tworzenia wakancji wynosi 0,9 eV/atom; M

Cu

 = 63,5 g/mol; 

d

1000

 = 8,4 g/cm

3

. (t. top Cu = 1084°C). 

5.  Oblicz energię tworzenia wakancji w srebrze wiedząc, że równowagowa liczba wakancji w 

800°C wynosi 3,6·10

23

 m

-3

. Masa atomowa i gęstość (w 800°C) wynoszą odpowiednio 107,9 

g/mol i 9,5 g/cm

3

. 

 

 

Literatura: 

1.  Materials Science and Engineering. An Introduction. W.D. Callister, John Wiley & Sons 2007.  

Rozdz. 4. Imperfections in solids. 

2.  Solid State Chemistry. An Introduction. L.E. Smart, E.A. Moore, CRC Press 2005. 

Rozdz. 5. Defects and Non-stoichiometry. 

3.  Wstęp do Fizyki Ciała Stałego, C. Kittel, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999. 

 Rozdz. 18. Defekty punktowe. 

4.  Chemia Ciała Stałego, J. Dereń, J. Haber, R Pampuch, PWN 1975. 

Część II. Kryształy rzeczywiste i chemia defektów: Rozdz. 7. Defekty punktowe