Rozwiązywanie Ax=0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk
17 grudnia 2012
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
1 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk
17 grudnia 2012
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
1 / 35
Zakres zagadnień
Rozwiązywanie Ax=0
Rozwiązywanie Ux=0 (Ax=0)
Rozwiązania specjalne
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Rozwiązywanie Rx=0 (Ax=0)
Zmienne osiowe
Zadania
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
2 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy.
Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Przeprowadźmy eliminację Gaussa. Zauważmy, że naszym pierwszym
elementem osiowym jest 1.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
Przeprowadźmy eliminację Gaussa. Zauważmy, że naszym pierwszym
elementem osiowym jest 1.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Na tej pozycji mamy zero. Mamy też zero poniżej, więc nie możemy
przeprowadzić zamiany wierszy. Dlatego ta kolumna musi być kombinacją
innych kolumn.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
Na tej pozycji mamy zero. Mamy też zero poniżej, więc nie możemy
przeprowadzić zamiany wierszy. Dlatego ta kolumna musi być kombinacją
innych kolumn.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadźmy dalszą eliminację.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
6 / 35
Schodkowa postać macierzy
Schodkowa postać macierzy
Macierz schodkowa - macierz, której pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w
coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe
umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać
przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji
elementarnych, w szczególności metody Gaussa.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
7 / 35
Schodkowa postać macierzy
Schodkowa postać macierzy
Macierz schodkowa - macierz, której pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w
coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe
umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać
przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji
elementarnych, w szczególności metody Gaussa.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
7 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Jednakże pamiętajmy, że naszym celem było rozwiązanie Ax=0. Po
przeprowadzeniu eliminacji, możemy zabrać się za rozwiązywanie Ux=0.
Mamy tą samą przestrzeń zerową, te same rozwiązania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
8 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Jednakże pamiętajmy, że naszym celem było rozwiązanie Ax=0. Po
przeprowadzeniu eliminacji, możemy zabrać się za rozwiązywanie Ux=0.
Mamy tą samą przestrzeń zerową, te same rozwiązania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
8 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Oraz dwie kolumny swobodne.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x
2
i x
4
.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
x =
1
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x
2
i x
4
.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
x =
1
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 0
Drugie równanie:
2x
3
+ 4x
4
= 0
Teraz możemy znaleźć x
1
i x
3
przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
11 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz.
Otrzymujemy taki wektor:
x =
−2
1
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
12 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz. Otrzymujemy taki wektor:
x =
−2
1
0
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
12 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdźmy więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x
2
oraz 1 za x
4
.
x
1
=
0
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
13 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
x =
2
0
−2
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
x
1
=
−2
1
0
0
x
2
=
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
14 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x
= c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x =
c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+
d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x = c
−2
1
0
0
+ d
2
0
−2
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
15 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n − r . W naszym przypadku
to 4 − 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Ta macierz jest to macierz górnotrójkątna. Możemy ją zredukować jeszcze
bardziej. Będziemy ją nazywać zredukowaną postacią schodkową.
R=zredukowana wierszowa postać schodkowa macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n − r . W naszym przypadku
to 4 − 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Ta macierz jest to macierz górnotrójkątna. Możemy ją zredukować jeszcze
bardziej. Będziemy ją nazywać zredukowaną postacią schodkową.
R=zredukowana wierszowa postać schodkowa macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to a
ij
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
=
R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadźmy dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→
I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
0
0
1
→ I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x
1
+ 2x
2
− 2x
4
= 0
Drugie równanie:
x
3
+ 2x
4
= 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
20 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→
I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→
F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1
0
0
1
→ I
2
-2
0
2
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
R =
"
I
F
0
0
#
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
N =
"
−F
I
#
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
h
I
F
i
"
x
a
x
b
#
= 0
Gdzie x
a
to liczba zmiennych osiowych, a x
b
to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
x
a
= −Fx
b
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
24 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A
=
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Weźmy transponowaną macierz A.
A =
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
=
U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadźmy eliminację tej macierzy.
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
−→
1
2
3
0
0
0
0
2
2
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
4
4
−→
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
= U
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
x =
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 0
Drugie równanie:
2x
2
+ 2x
3
= 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
x =
−1
−1
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
x = c
−1
−1
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
=
R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znaleźć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
−→
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
= R
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→
I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→
F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1
0
0
1
→ I
1
1
→ F
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x
= c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x =
c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
=
c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x = c
−1
−1
1
= c
"
−F
I
#
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
31 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdź zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
32 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdź zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
32 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
33 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
A =
−1
4
−1
0
2
1
0
5
1
−1 −1
−1
−1
2
1
2
1
−2 −5 −10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
34 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
A =
−1
4
−1
0
2
1
0
5
1
−1 −1
−1
−1
2
1
2
1
−2 −5 −10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
34 / 35
Zadania
Zadanie 4:
Znajdź przestrzeń zerową dla podanej macierzy,podaj rozwiązania
specjalne.
A =
1
3
2
2
6
4
2
1
−1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk ()
17 grudnia 2012
35 / 35