Rozdzia l 10
Formy dwuliniowe i
kwadratowe
10.1
Formy dwuliniowe
10.1.1
Definicja i przyk lady
Niech
X
|K
b
,
edzie przestrzeni
,
a liniow
,
a nad cia lem K, dim(
X
|K
) = n.
Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ :
X × X → K nazywamy form
,
a dwuli-
niow
,
a na przestrzeni
X
|K
je´sli
(i)
∀x, y
1
, y
2
∈ X , ∀α
1
, α
2
∈ K
ϕ(x, y
1
∗ α
1
+ y
2
∗ α
2
) = ϕ(x, y
1
)
∗ α
1
+ ϕ(x, y
2
)
∗ α
2
(liniowo´s´c ze wzgl
,
edu na drug
,
a zmienn
,
a),
(ii)
∀x, y ∈ X ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (forma zwyk la)
albo
∀x, y ∈ X ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
(forma hermitowska).
Oczywi´scie, o formach hermitowskich mo˙zemy m´owi´c tylko wtedy gdy
K
⊆ C. Dalej, dla uproszczenia, b
,
edziemy rozpatrywa´c jedynie formy her-
mitowskie.
91
92
ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
Zauwa˙zmy, ˙ze
∀x
1
, x
2
, y
∈ X , ∀β
1
, β
2
∈ K,
ϕ(x
1
∗ β
1
+ x
2
∗ β
2
, y) = ϕ(y, x
1
∗ β
1
+ x
2
∗ β
2
)
= ϕ(y, x
1
)
∗ β
1
+ ϕ(y, x
2
)
∗ β
2
= ϕ(x
1
, y)
∗ β
1
+ ϕ(x
2
, y)
∗ β
2
.
Do´s´c oczywistym jest fakt, ˙ze zbi´or wszystkich form dwuliniowych na
X
|K
jest przestrzeni
,
a liniow
,
a nad R (ale nie nad C!) z naturalnymi dzia laniami:
(α
∗ ϕ)(x, y) := α ∗ ϕ(x, y),
(ϕ
1
+ ϕ
2
)(x, y) := ϕ
1
(x, y) + ϕ(x, y).
Przyk ladami form dwuliniowych na
X
|K
= K
n
|K
(K
⊆ C) s
,
a:
ϕ(~x, ~y) =
n
X
i=1
x
i
∗ y
i
∗ ρ
i
,
gdzie ρ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ n,
ϕ(~x, ~y) = ~x
H
∗ A ∗ ~y, gdzie A ∈ K
n,n
, A = A
H
,
a na
P
n
|R
:
ϕ(p, q) =
n−1
X
i=0
p
(i)
(t
i
)
· q
(i)
(t
i
)
· ρ
i
,
ρ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ n,
ϕ(p, q) =
Z
1
0
p(t)
· q(t) · ρ(t) dt,
ρ : R
→ R.
10.1.2
Macierz formy dwuliniowej
Dalej wygodnie nam b
,
edzie rozszerzy´c dzia lanie danej formy dwuliniowej
ϕ :
X × X → K na ϕ : X
1,s
× X
1,t
→ K
s,t
w nast
,
epuj
,
acy spos´ob. Niech
A
= [x
1
, . . . , x
s
] i B = [y
1
, . . . , y
t
]. Wtedy
ϕ(A, B) := (ϕ(x
i
, y
j
))
i,j
∈ K
s,t
.
W szczeg´olno´sci, macierz ϕ(A, A) = (ϕ(x
i
, x
j
))
i,j
jest kwadratowa i hermi-
towska, ϕ(A, A)
∈ Herm
n,n
. Mamy te˙z
∀ϕ ∀α ∈ R
(α
∗ ϕ)(A, B) = α ∗ ϕ(A, B),
∀ϕ, ψ
(ϕ + ψ)(A, B) = ϕ(A, B) + ψ(A, B).
10.1. FORMY DWULINIOWE
93
Po˙zyteczne b
,
ed
,
a te˙z nast
,
epuj
,
ace wzory rachunkowe:
∀~b ∈ K
t
ϕ(A, B
∗~b) = ϕ(A, B) ∗~b,
∀~a ∈ K
s
ϕ(A
∗ ~a, B) = ~a
H
∗ ϕ(A, B).
Rzeczywi´scie,
ϕ(A, B
∗~b) = ϕ
A
,
t
X
j=1
y
j
∗ β
j
=
t
X
j=1
ϕ(A, y
j
)
∗ β
j
= ϕ(A, B)
∗~b,
gdzie ~b = [β
1
, . . . , β
t
]
T
, oraz
ϕ(A
∗ ~a, B) = (ϕ(B, A ∗ ~a))
H
= ~a
H
∗ (ϕ(B, A))
H
= ~a
H
∗ ϕ(A, B).
Uog´olniaj
,
ac te wzory mamy
∀B ∈ K
t,r
ϕ(A, B
∗ B) = ϕ(A, B) ∗ B,
∀A ∈ K
s,r
ϕ(A
∗ A, B) = A
H
∗ ϕ(A, B).
Mamy bowiem
ϕ(A, B
∗ B) = ϕ(A, [B ∗ ~b
1
, . . . , B
∗~b
r
])
= [ϕ(A, B
∗~b
1
), . . . , ϕ(A, B
∗~b
r
)]
= [ϕ(A, B)
∗~b
1
, . . . , ϕ(A, B)
∗~b
r
]
= ϕ(A, B)
∗ B,
B = [~b
1
, . . . ,~b
r
], oraz
ϕ(A
∗ A, B) = (ϕ(B, A ∗ A))
H
= (ϕ(B, A)
∗ A)
H
= A
H
∗ (ϕ(B, A))
H
= A
H
∗ ϕ(A, B).
Definicja 10.2 Niech A = [x
1
, . . . , x
n
] b
,
edzie baz
,
a
X , a ϕ : X × X → K
form
,
a dwuliniow
,
a na
X . Macierz hermitowsk
,
a
Φ
A
:= ϕ(A, A) = (ϕ(x
i
, x
j
))
n
i,j=1
nazywamy macierz
,
a formy ϕ w bazie A.
94
ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
Znaczenie macierzy formy wynika z nast
,
epuj
,
acej r´owno´sci. Niech x =
A
∗ ~a i y = A ∗~b. Wtedy
ϕ(x, y) = ϕ(A
∗ ~a, A ∗ ~b) = ~a
H
∗ ϕ(A, A) ∗~b
= ~a
H
∗ Φ
A
∗~b = (A
−1
· x)
H
∗ Φ
A
(A
−1
· y).
Przy ustalonej bazie A, ka˙zdej formie hemitowskiej ϕ :
X × X → K
mo˙zna przyporz
,
adkowa´c jej macierz Φ
A
= ϕ(A, A), kt´ora jest hermitowska.
Ale te˙z odwrotnie, ka˙zda macierz hermitowska Φ definiuje form
,
e hermitowsk
,
a
zgodnie ze wzorem ϕ(x, y) = (A
−1
· x)
H
∗ Φ ∗ (A
−1
· y). Mamy przy tym, ˙ze
je´sli γ = ϕ + ψ to Γ
A
= Φ
A
+ Ψ
A
oraz je´sli γ = α
∗ ϕ, α ∈ R, to Γ
A
= α
∗ Φ
A
.
St
,
ad przestrze´
n wszystkich form hermitowskich nad R jest izomorficzna z
przestrzeni
,
a macierzy hetrmitowskich nad R, a jej wymiar wynosi n
2
.
10.2
Twierdzenie Sylwester’a
Definicja 10.3 Powiemy, ˙ze macierz A
∈ K
n,n
przystaje do macierzy B
∈
K
n,n
gdy istnieje macierz nieosobliwa C
∈ K
n,n
taka, ˙ze
B = C
H
∗ A ∗ C.
Niech A i B b
,
ed
,
a dwiema bazami
X
|K
. Niech C = A
−1
· B ∈ K
n,n
tak, ˙ze
B
= A
∗ C.
Je´sli Φ
A
jest macierz
,
a danej formy ϕ :
X × X → K w bazie A to macierz ϕ
w bazie B mo˙zna wyrazi´c wzorem
Φ
B
= ϕ(B, B) = ϕ(A
∗ C, A ∗ C)
= C
H
∗ ϕ(A, A) ∗ C = C
H
∗ Φ
A
∗ C.
St
,
ad, w klasie macierzy hermitowskich Herm
n,n
macierz A przystaje do B
gdy obie s
,
a macierzami tej samej formy (ale by´c mo˙ze w r´o˙znych bazach).
Relacja przystawania macierzy jest zwrotna (bo A = I
H
∗ A ∗ I), syme-
tryczna (bo je´sli B = C
H
∗A∗C to A = (C
−1
)
H
∗B∗C
−1
) oraz przechodnia (bo
je´sli A
2
= C
H
1
∗A
1
∗C
1
i A
3
= C
H
2
∗A
2
∗C
2
to A
3
= (C
1
∗C
2
)
H
∗A
1
∗(C
1
∗C
2
)).
Jest to wi
,
ec relacja r´ownowa˙zno´sci. A je´sli tak, to zbi´or wszystkich macierzy
hermitowskich mo˙zna przedstawi´c jako roz l
,
aczn
,
a sum
,
e macierzy do siebie
10.3. FORMY KWADRATOWE
95
wzajemnie przystaj
,
acych (klas abstrakcji relacji przystawania, albo jeszcze
inaczej, macierzy tej samej formy, ale w r´o˙znych bazach).
Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w klasie macierzy hermitow-
skich? Odpowied´z daje nat
,
epuj
,
ace twierdzenie, kt´ore podajemy bez dowodu.
Twierdzenie 10.1 (Sylwester’a)
Dla dowolnej macierzy hermitowskiej A = A
H
∈ K
n,n
istnieje macierz nie-
osobliwa C
∈ K
n,n
taka, ˙ze
C
H
∗ A ∗ C = diag(I
π
,
−I
ν
, 0
ξ
),
gdzie wymiary π, ν, ξ (π + ν + ξ = n) s
,
a wyznaczone jednoznacznie.
St
,
ad klas abstrakcji relacji przystawania jest tyle ile macierzy diagonal-
nych z elementami na diagonali kolejno 1,
−1, 0, czyli
n
X
k=0
(k + 1) =
(n + 1)(n + 2)
2
.
Z twierdzenia Sylwester’a wynika r´ownie˙z nast
,
epuj
,
acy wa˙zny wniosek.
Wniosek 10.1 Dla dowolnej formy dwuliniowej ϕ :
X × X → K istnieje
baza A w
X , w kt´orej forma ma posta´c
ϕ(x, y) =
π
X
k=1
a
k
∗ b
k
−
π+ν
X
k=π+1
a
k
∗ b
k
,
gdzie x = A
∗ ~a, y = A ∗ ~b.
10.3
Formy kwadratowe
10.3.1
Okre´
slono´
s´
c formy kwadratowej
Ka˙zdej formie dwuliniowej ϕ :
X × X → K odpowiada forma kwadratowa
h :
X → R zdefiniowana wzorem
h(x) = ϕ(x, x)
x
∈ X .
Je´sli dla wszystkich x
6= 0 mamy h(x) = ϕ(x, x) > 0 to form
,
e kwadratow
,
a h
(i odpowiednio form
,
e dwuliniow
,
a ϕ) nazywamy dodatnio okre´slon
,
a i piszemy
h > 0 (odpowiednio ϕ > 0). Podobnie, forma h jest okre´slona
96
ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
• ujemnie, gdy h(x) < 0 ∀x 6= 0
(h < 0),
• niedodatnio, gdy h(x) ≤ 0 ∀x
(h
≤ 0),
• nieujemnie, gdy h(x) ≥ 0 ∀x
(h
≥ 0).
We wszystkich pozosta lych przypadkach forma jest nieokre´slona.
Z r´owno´sci
h(x) = ~a
H
∗ Φ
A
∗ ~a
(x = A
∗ ~a)
wynika, ˙ze okre´slono´s´c formy jest taka sama jak okre´slono´s´c jej macierzy (w
dowolnej bazie!). W szczeg´olno´sci, stosuj
,
ac notacj
,
e z twierdzenia Sylwester’a
mamy:
h > 0
⇐⇒ π = n,
h
≥ 0 ⇐⇒ ν = 0,
h < 0
⇐⇒ ν = n,
h
≤ 0 ⇐⇒ π = 0.
10.3.2
Kryterium Sylwester’a
Twierdzenie 10.2 Niech A = A
H
= (a
i,j
)
n
i,j=1
∈ Herm
n,n
oraz A
(k)
=
(a
i,j
)
k
i,j=1
, 1
≤ k ≤ n, b
,
ed
,
a odpowiednimi macierzami k
,
atowymi. Wtedy
(i) A jest dodatnio okre´slona
⇐⇒ det(A
(k)
) > 0 dla 1
≤ k ≤ n,
(ii) A jest ujemnie okre´slona
⇐⇒ (−1)
k
· det(A
(k)
) > 0 dla 1
≤ k ≤ n.
Dow´
od. Przypomnijmy (twierdzenie 7.5), ˙ze dla macierzy o nieosobliwych
macierzach k
,
atowych (a takimi s
,
a macierze dodatnio/ujemnie okre´slone)
mo˙zna przeprowadzi´c eliminacj
,
e Gaussa bez przestawie´
n wierszy/kolumn.
Dlatego A mo˙zna przedstawi´c jako
A = L
∗ R = L ∗ D ∗ L
H
,
gdzie L
∈ TRIL
n,n
, l
i,i
= 1
∀i, D = diag(r
1,1
, . . . , r
n,n
). Podstawiaj
,
ac ~y :=
L
H
∗ ~x, mamy
~x
H
∗ A ∗ ~x = ~x
H
∗ L ∗ D ∗ L
H
∗ ~x = (L
H
∗ ~x)
H
∗ D ∗ (L
H
∗ ~x)
= ~y
H
∗ D ∗ ~y =
n
X
i=1
|y
i
|
2
· r
i,i
.
10.3. FORMY KWADRATOWE
97
St
,
ad A > 0 wtedy i tylko wtedy gdy r
i,i
> 0
∀i, oraz A < 0 wtedy i tylko
wtedy gdy r
i,i
< 0
∀i.
Dow´od uzupe lnia spostrze˙zenie, ˙ze
A
(k)
= L
(k)
∗ R
(k)
= L
(k)
∗ D
(k)
∗ (L
(k)
)
H
oraz
det(A
(k)
) =
|det(L
(k)
)
|
2
· det(D
(k)
) =
k
Y
i=1
r
i,i
.
98
ROZDZIA L 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE