Mechanika teoretyczna: Kinematyka
ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna: Kinematyka
ciała sztywnego
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 2
Zadanie.
Kwadrat ABCD o boku a porusza się ruchem jednostajnym po osi x z
prędkością v poruszając swoim wierzchołkiem C pręt EO zamocowany przegubowo w
punkcie O. Wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe pręta w funkcji kąta ϕ.
x
y
b
D
v
C
A
B
O
ϕ
E
a
u
a
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 3
odległość u maleje z prędkością v
du
dt
= −v
(1)
z geometrii zadania
u
a
= ctg ϕ(t)
(2)
v = const 6= ϕ = const
(3)
u = a ctg ϕ(t)
(4)
u jest funkcją kąta ϕ, a ten z kolei jest funkcją czasu t
u = u[ϕ(t)]
(5)
stąd zmiana drogi w czasie jest pochodną funkcji złożonej
du
dt
=
du
dϕ
·
dϕ
dt
=
−a
sin
2
ϕ
·
dϕ
dt
(6)
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 4
Ponieważ
ω =
dϕ
dt
= ˙
ϕ
(7)
i porównując wzory (1) i (6) mamy
a ˙
ϕ
sin
2
ϕ
=
aω
sin
2
ϕ
= v
(8)
ω =
v
a
sin
2
ϕ
(9)
ε =
d
2
ϕ
dt
2
= ¨
ϕ
(10)
ε =
d
2
ϕ
dt
2
=
dω
dt
=
v
a
2 sin ϕ cos ϕ ·
dϕ
dt
|{z}
ω
=
v
a
sin 2ϕ
v
a
· sin
2
ϕ
=
v
2
a
2
sin 2ϕ sin
2
ϕ
(11)
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 5
Zadanie.
Odcinek AB o długości L = 0.5 m znajduje się w ruchu płaskim w płaszczyźnie
rysunku prędkości liniowych, na którym zaznaczono odcinek i kierunki liniowe jego
końców. Prędkość końca A jest znana i wynosi v
A
= 10 m/s. Wyznaczyć chwilową
prędkość kątową odcinka, prędkość punktu B oraz prędkość liniową środka D odcinka.
Chwilowy środek obrotu wyznaczono na przecięciu linii prostopadłych do wektorów
prędkości
L/2
L/2
ρ
A
ρ
D
ρ
B
A
B
C
D
v
A
v
D
v
B
30
◦
60
◦
60
◦
60
◦
Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna
Kinematyka ciała sztywnego – 6
ρ
A
= L cos 60
◦
=
1
2
·
1
2
=
1
4
(12)
ρ
B
= L cos 30
◦
=
1
2
·
√
3
2
=
√
3
4
(13)
v
A
= ω · ρ
A
(14)
ω =
v
A
ρ
A
=
10✚
✚
m/s
1
4
✚
✚
m
= 40 rad/s
(15)
v
B
= ω · ρ
B
= 40 ·
√
3
4
= 10
√
3 m/s = 17.3 m/s
(16)
ρ
D
= ρ
A
=
L
2
=
1
4
m
(17)
v
D
= ω · ρ
D
= 40 ·
1
4
= 10 m/s
(18)