OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w4
w4
OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w4
w4
Dopasowanie i sprawno
ść
ź
ródła
Elektrownia wodna w Malborku znajduje si
ę
na stopniu wodnym Rakowiec,
zbudowana 1909 roku.
Ź
ródłem energii jest oryginalny synchroniczny generator Siemensa o mocy 900
kVA, nap
ę
dzany przez turbin
ę
Kaplana o osi pionowej i przełyku 20 m
3
.
Elektrownia praktycznie produkuje energi
ę
elektryczn
ą
przez cały rok z wyj
ą
tkiem
bardzo rzadkich „ni
Ŝ
ówek” na Wi
ś
le, kiedy poziom Nogatu jest wy
Ŝ
szy od poziomu
Wisły w Białej Górze. Łatwo stwierdzi
ć
w Malborku kiedy to si
ę
dzieje, gdy
Ŝ
Nogat
na całej szeroko
ś
ci robi si
ę
wówczas zielony.
Siła elektromotoryczna SEM
E
g
Z
U
E
g
Z
I
odb
Z
U
g
g
g
Z
R
jX
=
+
odb
odb
odb
Z
R
jX
=
+
E
j
E
Ee
ϕ
=
E
U
g
R I
g
jX I
odb
R I
odb
jX
I
ϕ
E
ϕ
I
Moc zespolona-pozorna
ź
ródła
oddawana do odbiornika
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
odb
odb
odb
g
odb
g
odb
odb
odb
odb
odb
odb
g
odb
g
E R
P
R
R
X
X
S
P
jQ
E X
Q
R
R
X
X
=
+
+
+
=
+
⇒
=
+
+
+
max
0
odb
g
odb
odb
odb
g
X
X
P
P
gdy
R
R
+
=
=
=
(
)
(
) (
)
*
2
*
*
*
*
2
2
2
)
2
2
2
odb
odb
odb
odb
odb
odb
odb
odb
odb
g
odb
g
odb
g
U
U
S
U I
U
Z
Z
Z
I I
Z
I
E
E
Z
R
jX
Z
Z
R
R
X
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
Moc zespolona-pozorna
ź
ródła
odb
odb
odb
g
odb
g
P
R
P
P
R
R
η
=
=
+ ∆
+
P
odb
=P
odbmax
–
dopasowanie odbiornika do
ź
ródła
Moc czynna odbiornika
P
odb
=R
odb
I
2
Moc czynna całkowita
P
odb
+
∆
P
g
=( R
odb
+ R
g
) I
2
Sprawno
ść
ź
ródła
przy dopasowaniu
0, 5
50%
odb
odb
odb
R
R
R
η
η
=
=
⇒
=
+
Zast
ę
pcze
ź
ródło pr
ą
dowe
E
w
Z
U
I
w
w
zr
w
w
w
E U
NPK
U
E
I Z
I
Z
E
U
U
I
I
Z
Z
Z
−
⇒
= −
⇒
=
=
−
=
−
to odpowiada poł
ą
czeniu
w
Z
U
I
zr
I
w
U
Z
równoległe poł
ą
czenie idealnego
ź
ródła pr
ą
dowego z impedancj
ą
wewn
ę
trzn
ą
.
Odbiornik RL
E
w
Z
U
I
R
L
X
E
w
Z
U
I
R
L
X
R
U
L
U
(
) (
)
0
R
L
R
L
L
L
NPK
U
U
U
U
U
U
I R
I jX
I R
jX
⇒
−
−
=
⇒
=
+
=
+
=
+
I
R
U
L
U
U
ϕ
Re
Im
Odbiornik RC
E
w
Z
U
I
R
R
U
C
U
C
X
(
) (
)
0
R
C
R
C
C
C
NPK
U
U
U
U
U
U
IR
I
jX
I R
jX
⇒
−
−
=
⇒
=
+
=
+ −
=
−
I
R
U
C
U
U
ϕ
−
Re
Im
Odbiornik RLC
E
w
Z
U
I
R
R
U
C
U
C
X
L
U
(
) (
) (
)
0
(
)
R
L
C
R
L
C
L
C
L
C
L
C
odb
NPK
U
U
U
U
U
U
U
U
IR
I jX
jX
I R
jX
jX
I R
j X
X
I Z
⇒
−
−
−
=
⇒
=
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
I
R
U
C
U
U
ϕ
Im
L
U
Spadek napi
ę
cia i strata mocy w linii
l
R
l
X
1
U
2
U
l
U
odb
(
)
1
2
2
l
l
l
U
U
U
U
I R
jX
=
+
=
+
+
I
2
U
1
U
l
U
IR
( )
l
I jX
spadek napi
ę
cia linii
1
2
U
U
U
∆ =
−
I
2
U
1
U
l
U
IR
( )
l
I jX
U
∆
2
ϕ
(
) (
)
2
2
1
2
2
2
2
2
2
cos
sin
l
l
U
U
U
U
R I
U
X I
U
ϕ
ϕ
∆ =
−
=
+
+
+
−
spadek napi
ę
cia linii
I
2
U
1
U
l
U
IR
( )
l
I jX
A
B
C
strata napi
ę
cia
strata podłu
Ŝ
na ( AB )
= R
l
Icos
φ
2
+ X
l
Isin
φ
2
strata poprzeczna( BC )
=- R
l
Isin
φ
2
+ X
l
Icos
φ
2
(
)
1
2
str
l
l
U
U
U
I R
jX
∆
=
−
=
+
spadek napi
ę
cia linii
(
)
(
)
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
1
l
l
l
l
l
l
U
U
R I
X I
R I
X I
U
PR
QX
U
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∆ ≈
+
=
+
=
=
+
w przybli
Ŝ
eniu spadek napi
ę
cia
strata napi
ę
cia linii w %
strata mocy czynnej linii
2
l
l
P
R I
∆ =
(
)
%
2
2
100
%
L
L
U
PR
QX
U
∆
=
+
Prawo Ohma w zapisie
zespolonym
U
I
R
L
X
C
X
E
R
U
L
U
C
U
Dla dowolnej gał
ę
zi obwodu
(
)
(
)
(
)
0
(
)
R
L
C
R
L
C
L
C
L
C
L
C
NPK
U
U
U
U
E
U
U
U
U
E
I R
I jX
jX
E
I R
jX
jX
E
I R
j X
X
E
I Z
E
⇒
−
−
−
+ =
⇒
=
+
+
− =
=
+
−
− =
+
−
− =
+
−
− =
=
−
dla całego obwodu elektrycznego
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
j
j
j
j
j
j
j
n
n
n
n
n
n
n
j
j
j
n
n
n
U
Z I
E
Z I
E
U
Z I
E
Z I
E
U
Z I
E
Z I
E
Z
I
E
Z
I
E
Z
I
E
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
−
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
i
w zapisie macierzowym
[ ] [ ][ ] [ ]
U
Z
I
E
=
−
Równania w
ę
złowe Kirchhoffa w
zapisie zespolonym
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
1
Z
R
j
L
D
j
ω
ω
=
+
+
macierz impedancji gał
ę
ziowych
⇓
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
0
( )
0
0
j
j
j
węzle
węzle
węzle
i
I t
I
± = →
±
= →
± =
∑
∑
∑
w zapisie macierzowym
[ ][ ] [ ]
0
A I
=
Równania oczkowe Kirchhoffa w
zapisie zespolonym
1
u
2
u
3
u
4
u
1
V
2
V
3
V
4
V
⇓
1
U
2
U
3
U
4
U
1
V
2
V
3
V
4
V
0
( )
0
0
j
j
j
oczko
oczko
oczko
u
U
t
U
± = →
±
= →
±
=
∑
∑
∑
[ ] [ ] [ ]
0
B
U
⋅
=
w zapisie macierzowym
[U] - macierz warto
ś
ci zespolonych napi
ęć
gał
ę
ziowych
ale
[ ] [ ][ ] [ ]
U
Z
I
E
=
−
st
ą
d
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1
B
Z
I
B
E
NPK
n
w
rownan
⋅
⋅
=
⋅
⇒
→ − +
[ ] [ ] [ ]
0
1
A
I
PPK
w
rownan
⋅
=
⇒
→ −
Przykład
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
Z
1
E
3
E
4
E
5
E
6
E
1
2
3
4
I
II
III
g=6, w=4 to w
n
=w-1=3 to o=g-w
n
=3
Konstrukcja wykresów wskazowych
na płaszczy
ź
nie zespolonej
U
I
1
I
2
I
3
I
1
R
2
R
1
L
2
C
3
C
U
1
I
2
I
3
I
U
1
I
2
I
3
I
I
ϕ
Obwody elektryczne
1
R
3
R
2
R
1
L
X
31
L
X
3
I
1
I
2
I
U
1
I
2
I
3
I
1
1
R I
3
3
R I
1
1
L
jX I
3
3
L
jX I
U
1
U
•
gdy to jest to tzw. układ Hummela
(
)
1
;
2
U I
Π
=
∢
Układ zast
ę
pczy równowa
Ŝ
ny
⇕
Z
Z
1
Z
2
Z
3
Z
1
2
3
Z
Z
Z
Z
Z
= + +
(
)
1
2
3
1
2
3
Z
U
U
U
U
I Z
Z
Z
I Z
=
+
+
=
+
+
=
=
Układ zast
ę
pczy równowa
Ŝ
ny
1
Z
2
Z
3
Z
Z
Z
1
Y
2
Y
3
Y
Z
Y
(
)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
Z
Z
U
U
U
I
I
I
I
Z
Z
Z
U
U
Z
Z
Z
Z
U Y
Y
Y
U Y
= + + =
+
+
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
1
1
lub
Z
j
j
j
Z
j
Y
Y
Z
Z
=
=
∑
∑
w układach szeregowych sumuj
ą
si
ę
impedancje a
w układach równoległych sumuj
ą
si
ę
admitancje.
Równowa
Ŝ
no
ść
zachodzi tylko przy danej pulsacji.
Równowa
Ŝ
no
ść
n-biegunników
≡
1
2
3
n
12
U
23
U
34
U
1,
n
n
U
−
12
'
U
23
'
U
34
'
U
1,
'
n
n
U
−
1'
2'
'
n
3 '
Równowa
Ŝ
no
ść
n-biegunników
Układy n-zaciskowe ( n-biegunniki ) s
ą
równowa
Ŝ
ne gdy identyczne s
ą
zale
Ŝ
no
ś
ci
mi
ę
dzy napi
ę
ciami:
U
12
, U
23
, U
34
,...U
k,k+1
,.....U
n-1,n
a pr
ą
dami niezale
Ŝ
nymi
I
1
,I
2
,I
3
,....I
k
,....I
n-1
( gdy takie zwi
ą
zki daj
ą
si
ę
sprecyzowa
ć
).
Np.
U
k,k+1
=f
k,k+1
(I
1
,I
2
,I
3
,....I
k
,....I
n-1
); k= 1,2,3 .... n-1
Jest identyczne jak
U’
k,k+1
=f’
k,k+1
(I’
1
,I’
2
,I’
3
,....I’
k
,....I’
n-1
); k= 1,2,3 .... n-1
f
k,k+1
= f’
k,k+1
Przykład:
∆→Υ
1
2
3
12
Z
23
Z
31
Z
1'
2'
3'
1
Z
2
Z
3
Z
≡
na
ć
wiczeniach
1
2
12
1
2
3
1
2
1
3
2
3
12
3
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z
=
+
+
+
+
=
12
31
1
12
31
23
Z
Z
Z
Z
Z
Z
⋅
=
+
+
Bilans mocy czynnej
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
*
*
1
*
*
*
1
*
*
*
( )
( )
.
,..
,...
.
0
0
j
j
j
j
j j
j
j
j
T
T
T
j
n
j
n
T
T
T
u i
U t I t
U I
I
U
U
U
U
I
A
V
I
I
I
V
A I
V
A I
V
→
→
=
⋅
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
Analogicznie jak dla przebiegów chwilowych
czyli
1
0
n
j
j
S
=
=
∑
bilans mocy pozornej zespolonej.
Obwody elektryczne
1
0
n
j
j
P
=
=
∑
St
ą
d z algebry liczb zespolonych
1
0
n
j
j
Q
=
=
∑
bilans mocy czynnej
bilans mocy biernej.
Zastosowanie bilansu mocy
A
1
1
cos
P
ϕ
4
4
cos
P
ϕ
2
2
cos
P
ϕ
3
3
cos
P
ϕ
U
j
j
j
Q
P tg
ϕ
=
(
) (
)
2
2
2
2
1
j
j
P
Q
S
I
P
Q
U
U
U
+
=
=
=
+
∑
∑
Obliczy
ć
pr
ą
d zasilaj
ą
cy
j
j
Q
Q
tg
P
P
ϕ
=
=
∑
∑
(
) (
)
2
2
cos
j
j
j
P
P
S
P
Q
ϕ
= =
+
∑
∑
∑
wypadkowy k
ą
t przesuni
ę
cia fazowego
φ
wypadkowy współczynnik mocy
cos
φ
Metody obliczania obwodów
Metoda pr
ą
dów oczkowych ( pr
ą
dów konturowych, Maxwella )
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
Z
1
E
3
E
4
E
5
E
6
E
I
II
III
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
1
o
I
2
o
I
3
o
I
Metoda pr
ą
dów oczkowych
1
1
2
1
2
3
2
4
3
1
5
3
2
6
3
;
;
;
;
;
o
o
o
o
o
o
o
o
o
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
=
=
−
=
=
−
=
−
= −
Pomysł:
Wprowadzenie nowych zmiennych- tzw. pr
ą
dów oczkowych ,
przyporz
ą
dkowanych poszczególnym oczkom niezale
Ŝ
nym. ( o=g-w
n
).
Oczek niezale
Ŝ
nych jest znacznie mniej ni
Ŝ
gał
ę
zi, st
ą
d post
ę
powanie to
zmniejszy liczb
ę
niewiadomych równa
ń
.
Polega to na wyra
Ŝ
eniu pr
ą
du danej gał
ę
zi przez pr
ą
dy oczek, do których nale
Ŝ
y
dana gał
ąź
.
Np.
Warto
ś
ciom pr
ą
dów oczkowych przyporz
ą
dkowuje si
ę
warto
ś
ci pr
ą
dów w
gał
ę
ziach
I
j
o
j
I
Metoda pr
ą
dów oczkowych
[ ]
0
1
1
0
0
.
.
.
T
j
j
n
m
I
I
B
I
I
I
I
=
[ ] [ ] [ ]
T
o
I
B
I
=
a wi
ę
c
mno
Ŝ
ymy obustronnie przez
[A]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
0
0
T
o
o
A I
A B
I
I
=
=
=
a wi
ę
c wyra
Ŝ
enie warto
ś
ci pr
ą
dów gał
ę
ziowych przez dowolne warto
ś
ci pr
ą
dów
oczkowych implikuje spełnienie równa
ń
w
ę
złowych.
Metoda pr
ą
dów oczkowych
[ ] [ ] [ ]
T
o
I
B
I
=
[ ][ ]
[ ][ ][ ] [ ][ ]
0
B U
B Z
I
B E
=
⇒
=
[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]
T
o
B Z
B
I
B E
=
Po podstawieniu
do napi
ę
ciowego równania Kirchhoffa
lub skróconym zapisie
[ ] [ ] [ ]
o
o
o
Z
I
E
=
przy czym
[ ]
o
Z
- kwadratowa macierz impedancji oczkowych
[ ] [ ]
;
o
o
I
E
- kolumnowe macierze pr
ą
dów i sił elektromotorycznych oczkowych
Metoda pr
ą
dów oczkowych
[ ] [ ] [ ]
o
o
o
Z
I
E
=
[ ]
[ ] [ ]
[ ][ ][ ] [ ][ ]
1
1
o
o
o
T
I
Z
E
B Z
B
B E
−
−
=
=
rozwi
ą
zanie równania
a nast
ę
pnie obliczamy
[ ] [ ] [ ]
T
o
I
B
I
=
równanie to równie
Ŝ
spełnia równanie pr
ą
dowe Kirchhoffa
[A][I]=0
.
Metoda pr
ą
dów oczkowych
[ ]
o
kl
mxm
Z
Z
=
kk
kj
j
Z
Z
=
∑
,
kl
lk
kl j
k l
k l
j
Z
Z
Z
≠
≠
=
=
±
∑
Macierz impedancji oczkowych
przy czym
- suma impedancji w k-tym oczku lub impedancja własna
k-tego oczka
- suma ( lub ró
Ŝ
nica ) impedancji granicznych mi
ę
dzy k-tym i
l-tym oczkiem ( + gdy pr
ą
dy oczkowe gał
ę
zi wspólnych maj
ą
zwroty zgodne, - w przypadku przeciwnym.
- macierz jest symetryczna.
[ ]
o
kl
mxm
Z
Z
=
o
k
E
- suma ( lub ró
Ŝ
nica ) sił elektromotorycznych w k-tym oczku lub
siła elektromotoryczna własna k-tego oczka ( + gdy SEM zgodna z
pr
ą
dem oczkowym, - w przeciwnym przypadku ).
Metoda pr
ą
dów oczkowych
Przykład:
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
Z
1
E
3
E
4
E
5
E
6
E
I
II
III