Metodyk rozwiązywania
zagadnień statycznie niewyznaczalnych
w-9
MT_SS - w 9
1
a) Układ statycznie wyznaczalny
n = w
gdzie:
n – liczba niewiadomych,
w – liczba równań równowagi.
b) Układ statycznie niewyznaczalny
n > w
Metodyk rozwiązywania
zagadnień statycznie niewyznaczalnych
w-9
MT_SS - w 9
1
a) Układ statycznie wyznaczalny
n = w
gdzie:
n – liczba niewiadomych,
w – liczba równań równowagi.
b) Układ statycznie niewyznaczalny
n > w
MT_SS - w 9
2
Metoda rozkładania na części
elementów sztywnych połączonych przegubem
(metoda przecięć)
Przykład 1
MT_SS - w 9
3
Przykład 2
MT_SS - w 9
4
Procedura postępowania przy rozwiązywaniu
złożonych układów ciał połączonych
przegubami wewnętrznymi.
1. Ustalić i nanieść na schemat obliczeniowy
analizowanej konstrukcji:
1) siły zewnętrzne czynne,
2) ich wielkości,
3) ich zwroty i linie działania,
4) zastąpić działanie więzów reakcjami.
MT_SS - w 9
5
2. Przyjąć najbardziej korzystnie usytuowany układ osi
współrzędnych;
3. Rozłożyć nieznane co do kierunku reakcje więzów na
odpowiednie składowe;
4. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu oraz
rozpatrzyć, czy dane zagadnienie można rozwiązać
traktując rozpatrywany układ jako jedno ciało sztywne;
5. W zależności od budowy analizowanego układu dokonać
jego rozdzielenia w miejscach przegubów;
MT_SS - w 9
6
6. Ułożyć równania równowagi dla każdego wydzielonego
ciała wyznaczając wartości nieznanych wielkości;
Jeżeli w rozwiązaniu otrzyma się ujemne wartości
składowych reakcji, oznacz to, że mają one zwroty
przeciwne do pierwotnie przyjętych.
7. Obliczyć wartości i kierunki reakcji występujących w
poszczególnych więzach;
8. Sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń.
MT_SS - w 9
7
Przykład
:
Dwie belki połączone przegubem w punkcie C.
Belka AC
- podpora stała
- podpora przesuwna
Belka CD
- podpora przesuwna
Wyznaczyć:
1) reakcje podpór,
2) siłę przenoszoną przez przegub C.
Dane:
F = 2 kN, P = 3 kN,
a
= 60
o
, a = 1 m.
MT_SS - w 9
8
1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego
• W podporze A występuje reakcja o nieznanym kierunku
działania zatem rozkładamy ją na 2 składowe,
• W podporach B i D występują reakcje o znanym kierunku
działania
Wniosek:
należy wyznaczyć 4 niewiadome reakcje podpór:
X
A
, Y
A
, R
B
i R
D
Wyznaczamy reakcje podpór
MT_SS - w 9
9
• W
płaskim układzie sił
możemy zapisać tylko
3 niezależne równania równowagi
Zatem mamy do czynienia z
układem statycznie niewyznaczalnym.
• Brakujące równanie zapiszemy korzystając z
metody momentów przegubowych.
Suma momentów wszystkich sił
przyłożonych do jednej części układu
połączonej tym przegubem względem tego przegubu
(tutaj względem punktu C)
musi być równa zeru
.
MT_SS - w 9
10
2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy
MT_SS - w 9
11
3. Ustalamy i układamy równania równowagi
a) warunki równowagi dla całej rozpatrywanej belki AD
.
0
5
sin
4
2
;
0
.
3
,
0
sin
;
0
.
2
,
0
cos
;
0
.
1
a
R
a
P
a
R
a
F
M
R
P
R
F
Y
F
P
X
F
D
B
i
D
B
A
i
A
i
A
y
x
a
a
a
MT_SS - w 9
12
b) dodatkowy warunek równowagi
.
0
2
3
;
0
.
4
a
R
a
F
a
Y
M
B
A
L
i
C
W powyższych
czterech równaniach
występują
4 niewiadome siły:
X
A
, Y
A
, R
B
, R
D
MT_SS - w 9
13
4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy:
X
A
= 1,50 kN,
Y
A
= 0,35 kN,
R
B
= 2,95 kN,
R
D
= 1,30 kN.
Znaki plus przy wszystkich obliczonych wartościach reakcji
wskazują, że ich zwroty są takie, jakie przyjęto na początku
rozwiązywania zadania.
MT_SS - w 9
14
5. Obliczamy reakcję R
A
występującą w
podporze przegubowej A
.
54
,
1
35
,
0
5
,
1
,
2
2
2
2
kN
R
Y
X
R
A
A
A
A
6. Ustalamy kąt nachylenia reakcji R
A
w stosunku do osi x
.
8
13
,
2333
,
0
5
,
1
35
,
0
,
'
A
A
A
tg
X
Y
tg
MT_SS - w 9
15
Na schemacie obliczeniowym belki zaznaczamy położenie
reakcji R
A
MT_SS - w 9
16
7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń
W tym celu obliczamy sumę momentów
wszystkich sił działających na belkę
względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany
już w obliczeniach punkt A.
Wybieramy punkt D
:
0
01
,
0
,
0
866
,
0
1
3
1
3
95
,
2
1
4
2
1
5
35
,
0
,
0
sin
3
4
5
;
0
a
a
P
a
R
a
F
a
Y
M
B
A
i
D
Wniosek.
różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić – zadanie
rozwiązano poprawnie.
MT_SS - w 9
17
Wyznaczamy siłę przenoszoną przez przegub
MT_SS - w 9
18
1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego
• W przegubie C występuje reakcja o:
- nieznanym kierunku działania i
- nieznanej wartości.
• W analizowanym układzie występuje 6 niewiadomych:
• Dla płaskiego dowolnego układu sił możemy napisać tylko
3 równania równowagi.
Wniosek
:
rozpatrywane zagadnienie jest
statycznie niewyznaczalne.
X
A
, Y
A
, R
B
, R
D
, X
C
, Y
C
.
MT_SS - w 9
19
• Uwzględniamy fakt, iż rozważany układ składa się z
dwóch belek połączonych przegubem C.
• Rozdzielamy układ na dwie oddzielne belki.
• W miejsce przegubu wprowadzamy
wprowadzamy reakcje zastępujące
oddziaływanie jednej części belki
na drugą.
X
C
i
Y
C
Rysując siły wykorzystujemy
zasadę akcji i reakcji
MT_SS - w 9
20
2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy
MT_SS - w 9
21
3. Ustalamy i układamy równania równowagi dla
układów sił działających na belki AC i CD
a) dla belki AC
.
0
3
2
;
0
.
3
,
0
;
0
.
2
,
0
;
0
.
1
a
Y
a
R
a
F
M
Y
R
F
Y
F
X
X
F
C
B
i
C
B
A
i
C
A
i
A
y
x
MT_SS - w 9
22
b) dla belki CD
.
0
2
sin
;
0
.
6
,
0
sin
;
0
.
5
,
0
cos
;
0
.
4
a
R
a
P
M
R
P
Y
F
P
X
F
D
i
D
C
i
C
i
C
y
x
a
a
a
Mamy zatem 6 równań i sześć niewiadomych sił
X
A
, Y
A
, R
B
, R
D,
X
C
, Y
C
,
zagadnienie jest więc
statycznie wyznaczalne.
MT_SS - w 9
23
4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
X
A
= 1,50 kN,
Y
A
= 0,35 kN,
R
B
= 2,95 kN,
R
D
= 1,30 kN,
X
C
= 1,50 kN,
Y
C
= 1,30 kN
Znaki plus przy obliczonych wartościach reakcji:
X
A
, Y
A
, R
B
, X
C
, Y
C
, R
D
wskazują, że
ich zwroty są takie, jakie zostały przyjęte
na początku rozwiązywania zadania.
MT_SS - w 9
24
5. Obliczamy reakcję występującą w podporze
przegubowej stałej A i przegubie C
.
54
,
1
35
,
0
5
,
1
,
2
2
2
2
kN
R
Y
X
R
A
A
A
A
.
98
,
1
30
,
1
5
,
1
,
2
2
2
2
kN
R
Y
X
R
C
C
C
C
MT_SS - w 9
25
6. Ustalamy kąt nachylenia reakcji R
A
w stosunku do osi x.
.
8
13
,
2333
,
0
5
,
1
35
,
0
,
'
A
A
A
A
A
tg
X
Y
tg
MT_SS - w 9
26
7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń
W tym celu obliczamy sumę momentów
wszystkich sił działających na belkę
względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany
już w obliczeniach punkt A.
Wybieramy punkt D
:
0
01
,
0
,
0
866
,
0
1
3
1
3
95
,
2
1
4
2
1
5
35
,
0
,
0
sin
3
4
5
;
0
a
a
P
a
R
a
F
a
Y
M
B
A
i
D
Wniosek.
różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić – zadanie
rozwiązano poprawnie.