Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
42
22
Relacje
Niech X i Y oznaczaj dowolne niepuste zbiory. Zbiór
{
}
Y
X
Y
X
∈
∧
∈
=
×
y
x
y
x
:
)
,
(
nazywamy
produktem
kartezja skim zbiorów
X i Y. Je li Y = X, to produkt
X
X
× oznaczamy symbolem
2
X
i nazywamy drug pot g
kartezja sk zbioru X.
Dowolny podzbiór
ℜ produktu
Y
X
× nazywamy
relacj dwuczłonow
zachodz c mi dzy elementami zbio-
ru X i elementami zbioru Y. Je li
ℜ⊂
X
X
× , to mówimy, e relacja ℜ zachodzi mi dzy elementami zbioru X.
Niech
Y
X
×
⊂
ℜ
. Rzut relacji na o odci tych (poziom ) nazywamy
dziedzin
tej
relacji
, rzut relacji na o
rz dnych (pionow ) nazywamy jej
zbiorem warto ci
.
1. Przykład
}
4
:
)
,
{(
2
2
2
x
y
x
R
y
x
≥
+
∈
=
ℜ
}
4
)
2
(
:
)
,
{(
2
2
2
≥
+
−
∈
=
y
x
R
y
x
R
D
=
ℜ
,
R
V
=
ℜ
2. Przykład
}
|
|
:
)
,
{(
2
x
x
y
R
y
x
=
∈
=
ℜ
<
−
=
−
>
=
=
,
0
1
,
0
1
x
x
x
x
x
x
dla
dla
}
0
{
\
R
D
=
ℜ
,
}
1
,
1
{
−
=
ℜ
V
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
43
Relacja
ℜ⊂X×Y jest
prawostronnie jednoznaczna
, je li spełnia warunek
[
]
2
1
2
1
,
)
,
(
)
,
(
2
1
y
y
y
x
y
x
y
y
x
=
ℜ
∈
∧
ℜ
∈
∀
∀
∈
∈
Y
X
(proste pionowe (równoległe do osi rz dnych) przecinaj
ℜ w co najwy ej jednym punkcie).
23
Funkcje (odwzorowania)
Niech X
i Y b d dowolnymi niepustymi zbiorami. Relacj
Y
X ×
⊂
f
nazywamy funkcj
Y
X
f
→
:
, gdy ma
ona nast puj ce własno ci:
1)
jej dziedzin jest zbiór X, tzn.
f
y
x
Y
y
X
x
∈
∃
∀
∈
∈
)
,
(
;
2)
jest ona prawostronnie jednoznaczna, tzn.
[
]
2
1
2
1
,
)
,
(
)
,
(
2
1
y
y
f
y
x
f
y
x
y
y
x
=
∈
∧
∈
∀
∀
∈
∈
Y
X
.
Poniewa dla danego
X
x
∈ istnieje dokładnie jedno y takie, e
f
y
x
∈
)
,
(
, przeto to jedyne y oznaczamy
przez
)
(x
f
i nazywamy warto ci funkcji f w punkcie x.
Je li
Y
X
f
→
:
, to czytamy: f
jest funkcj ze zbioru
X
w zbiór
Y. Zbiór X nazywamy przy tym
dziedzin
(zbiorem argumentów) odwzorowania f, zbiór
{
}
X
V
∈
=
x
x
f
f
:
)
(
nazywamy
zbiorem warto ci
funkcji f.
Funkcje
)
(x
f
x
,
)
(x
g
x
s
równe
wtedy i tylko wtedy, gdy:
1
° s okre lone na tej samej dziedzinie D,
2
°
)
(
)
(
x
g
x
f
x
=
∀
∈D
.
3. Przykład
Zbadaj równo funkcji:
1
1
)
(
,
:
;
1
1
)
(
,
:
2
−
−
=
→
⊃
+
=
→
⊃
x
x
x
g
D
g
x
x
f
D
f
g
f
R
R
R
R
.
Poniewa
},
1
{
\
−
= R
f
D
},
1
,
1
{
\
−
= R
g
D
wi c nie jest spełniony pierwszy warunek definicji.
4. Przykład
Zbadaj równo funkcji:
2
)
(
,
:
;
)
(
,
:
x
x
g
g
x
x
f
f
=
→
=
→
R
R
R
R
.
W tym przypadku
g
f
D
D
=
= R
, lecz
1
)
1
(
−
=
−
f
,
1
)
1
(
=
−
g
. Funkcje nie s równe.
24
Funkcje monotoniczne
Funkcja rosn ca
)]
(
)
(
[
2
1
2
1
,
2
1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
<
<
∀
∈D
Funkcja nierosn ca
)]
(
)
(
[
2
1
2
1
,
2
1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
≥
<
∀
∈D
Funkcja malej ca
)]
(
)
(
[
2
1
2
1
,
2
1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
>
<
∀
∈D
Funkcja niemalej ca
)]
(
)
(
[
2
1
2
1
,
2
1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
≤
<
∀
∈D
Funkcja stała
)]
(
)
(
[
2
1
,
2
1
x
f
x
f
f
x
x
=
∀
∈D
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
44
Funkcj nazywamy
przedziałami monotoniczn
, je li jej dziedzin mo na przedstawi w postaci sumy prze-
działów takich, e na ka dym z tych przedziałów funkcja jest monotoniczna.
5. Przykład
Funkcja
R
R
x
x
f
→
−
→
=
:
)
4
2
(
jest rosn ca. Jest to przykład funkcji liniowej. Funkcja liniowa okre lona jest wzo-
rem
R
R
b
ax
x
f
→
+
→
=
:
)
(
, gdzie a, b s ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Funkcja ta jest rosn ca wtedy i tylko
wtedy, gdy
0
>
a
; jest malej ca wtedy i tylko wtedy, gdy
0
<
a
; dla
0
=
a
funkcja liniowa jest stała.
6. Przykład
Funkcja
x
x
f
f
1
)
(
,
:
=
→ R
R {0}
\
jest przedziałami monotoniczna: jest malej ca w przedziale
)
0
,
(
−∞
oraz malej ca w
przedziale
)
,
0
(
∞ .
7. Przykład
Funkcja
2
)
(
,
:
x
x
f
f
=
→ R
R
jest przedziałami monotoniczna: jest malej ca w przedziale
]
0
,
(
−∞
oraz rosn ca w
przedziale
)
,
0
[
∞ .
25
Funkcja odwrotna
Je li w funkcji zdaniowej definiuj cej relacj
ℜ zamienimy miejscami zmienne x i y, to otrzymujemy funkcj
zdaniow definiuj c
relacj odwrotn
1
−
ℜ . Wykres relacji
1
−
ℜ mo na otrzyma z wykresu relacji ℜ w tym samym
układzie współrz dnych Oxy przez symetryczne odbicie wzgl dem prostej o równaniu
x
y
= .
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
45
8. Przykład
}
4
:
)
,
{(
2
2
−
>
=
ℜ
x
y
y
x
}
4
:
)
,
{(
2
1
2
−
>
=
ℜ
−
y
x
y
x
Funkcja jako relacja jest odwracalna, lecz relacja do niej odwrotna nie musi by te funkcj , np.
}
4
:
)
,
{(
2
−
=
=
ℜ
x
y
y
x
jest funkcj ,
}
4
:
)
,
{(
2
1
−
=
=
ℜ
−
y
x
y
x
nie jest funkcj .
W sytuacji, gdy obie relacje
ℜ i
1
−
ℜ s funkcjami mówimy, e relacja ℜ jest
funkcj odwracaln
.
Funkcja f jest funkcj odwracaln , je li jest relacj lewostronnie jednoznaczn .
Relacja
ℜ⊂X×Y jest
lewostronnie jednoznaczna
, je li spełnia warunek
[
]
2
1
2
1
,
)
,
(
)
,
(
2
1
x
x
y
x
y
x
y
x
x
=
ℜ
∈
∧
ℜ
∈
∀
∀
∈
∈
Y
X
(proste poziome (równoległe do osi odci tych) przecinaj
ℜ w co najwy ej jednym punkcie).
Wykres funkcji
1
−
f
mo na otrzyma z wykresu funkcji f w tym samym układzie współrz dnych Oxy przez symetryczne
odbicie wzgl dem prostej o równaniu
x
y
= .
9. Przykład
Zbuduj funkcj odwrotn funkcji
(
)
[ ]
R
→
−
−
=
3
;
1
:
6
2x
x
f
.
Znajdujemy
[ ]
0
;
8
1
−
=
=
−
f
f
D
V
.
Funkcja
1
−
f
okre lona jest przez wzór
6
2
−
= y
x
(w napisie
6
2
−
= x
y
zamienili my rolami zmienne). Po wyliczeniu
y mamy
3
2
1
+
= x
y
. Zatem
[ ]
R
→
−
+
=
−
0
;
8
:
)
3
(
2
1
1
x
x
f
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
46
10. Przykład
Funkcjami wzajemnie odwrotnymi s funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna.
1
),
(
>
=
a
a
x
f
x
1
),
log
(
1
>
=
−
a
x
x
f
a
1
0
),
(
<
<
=
a
a
x
f
x
1
0
),
log
(
1
<
<
=
−
a
x
x
f
a
11. Przykład
Funkcje trygonometryczne nie s odwracalne w całych swoich dziedzinach. Ka da z nich ma jednak przedziały, w któ-
rych jest ró nowarto ciowa, czyli odwracalna. W zwi zku z tym przyjmujemy nast puj ce okre lenia:
x
x
f
sin
)
(
=
Funkcja odwrotna:
[ ]
R
→
−
=
−
π
π
−
1
,
1
:
sin
1
2
,
2
arcsin
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
47
x
x
f
cos
)
(
=
Funkcja odwrotna
[ ]
[ ]
R
→
−
=
−
π
1
,
1
:
cos
1
,
0
arccos
x
x
f
tg
=
)
(
Funkcja odwrotna
R
R →
=
−
π
π
−
:
1
2
,
2
tg
arctg
x
x
f
ctg
=
)
(
( )
R
R →
=
−
π
:
1
,
0
ctg
arcctg
Funkcje te nazywamy
funkcjami cyklometrycznymi (kołowymi)
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
48
26
Funkcja zło ona
Niech b d dane funkcje
1
f i
2
f . Je li
∅
≠
∩
2
1
f
f
D
V
, to funkcj
(
)
)
(
1
2
x
f
f
x
nazywamy funkcj zło on
z funkcji
1
f
i
2
f
i oznaczamy symbolem
1
2
f
f
.
12. Przykład
Zbuduj funkcje zło one
1
2
f
f
,
2
1
f
f
, je li:
1
)
(
,
:
;
)
(
,
:
2
2
3
1
1
−
=
→
=
→
x
x
f
f
x
x
f
f
R
R
R
R
.
R
R
x
x
f
f
→
−
=
:
)
1
(
3
1
2
,
R
R
x
x
f
f
→
−
=
:
)
)
1
(
(
3
2
1
.
13. Przykład
Zbuduj funkcje zło one
1
2
f
f
,
2
1
f
f
, je li:
1
2
)
(
,
:
;
sin
)
(
,
:
2
2
1
1
−
=
→
=
→
x
x
f
f
x
x
f
f
R
R
R
R
.
R
R
x
x
f
f
→
−
=
:
)
1
sin
2
(
1
2
,
R
R
x
x
f
f
→
−
=
:
))
1
2
sin(
(
2
1
.
Fakt.
Funkcja rosn ca oraz funkcja malej ca s odwracalne i przy tym obie funkcje f i
1
−
f
s tego samego rodzaju monoto-
niczno ci.
Fakt.
Funkcja zło ona z dwu funkcji tej samej monotoniczno ci (tzn. rosn cych albo malej cych) jest funkcj rosn c . Funkcja
zło ona z dwu funkcji ró nej monotoniczno ci (tzn. rosn cej z malej c albo malej cej z rosn c ) jest funkcj malej c .
14. Przykład
Zbadamy monotoniczno funkcji okre lonej wzorem
)
arcsin(log
)
(
2
x
x
f
=
.
Poniewa
1
2
f
f
f
=
, gdzie
)
log
(
2
1
x
x
f
=
,
)
arcsin
(
2
x
x
f
=
s funkcjami rosn cymi, wi c dana funkcja jest
funkcj rosn c (jako zło enie dwu funkcji rosn cych).
27
Funkcje elementarne
Podstawowymi funkcjami elementarnymi
nazywamy funkcje: stałe, pot gowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygono-
metryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które mo na otrzyma z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc
sko czonej liczby działa arytmetycznych oraz operacji zło enia funkcji, nazywamy
funkcjami elementarnymi
.
•
Moduł jest funkcj elementarn , gdy
2
|
|
x
x
=
dla ka dego
R
x
∈ .
• Wielomianem
nazywamy funkcj
R
R
W
→
:
okre lon wzorem
0
1
1
1
...
)
(
a
x
a
x
a
x
a
x
W
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
gdzie
}
0
{
∪
∈ N
n
, oraz
R
a
i
∈ dla
n
i
≤
≤
0
, przy czym
0
≠
n
a
. Liczb n nazywamy stopniem wielomianu W.
•
Funkcj , któr mo na zapisa w postaci ilorazu dwu wielomianów, nazywamy
funkcj wymiern
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
49
Funkcj
0
;
0
;
)
(
,
:
≠
≠
+
+
=
→
⊃
d
c
b
a
c
d
cx
b
ax
x
f
D
f
R
R
nazywamy
homografi
. Wykresem homografii jest hiper-
bola.
Je li stopie wielomianu L(x) jest mniejszy ni stopie wielomianu M(x), to funkcj nazywamy
funkcj wymiern
wła ciw
. Ka da funkcja wymierna jest sum wielomianu i funkcji wymiernej wła ciwej.
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
(
)
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju
nazywamy funkcj wymiern postaci
n
a
x
A
)
(
−
Ułamkiem prostym drugiego rodzaju
jest funkcja
0
4
;
)
(
2
2
<
−
=
∆
+
+
+
ac
b
q
px
x
B
Ax
n
Fakt.
Ka d funkcj wymiern wła ciw mo emy zapisa w postaci sumy ułamków prostych wła ciwych.
15. Przykład
Funkcj wymiern
x
x
x
−
+
2
1
przedstawi w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Rozwi zanie.
Mianownik jest rozkładalny na iloczyn czynników, wi c dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na sum ułamków
prostych:
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
1
2
−
−
+
=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
x
x
A
x
B
A
x
x
Bx
x
A
x
B
x
A
x
x
x
x
x
x
Współczynniki A, B wyznaczamy z to samo ci
A
x
B
A
x
−
+
=
+
)
(
1
(przyrównuj c współczynniki przy jednakowych pot gach):
=
−
=
+
.
1
,
1
A
B
A
Dlatego
1
2
1
1
2
−
+
−
=
−
+
x
x
x
x
x
.
16. Przykład
Funkcj wymiern
1
1
2
2
−
+
x
x
przedstawi w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Rozwi zanie.
Nie jest to funkcja wymierna wła ciwa (stopie licznika nie jest mniejszy od stopnia mianownika), wykonujemy dziele-
nie wielomianów.
1
2
1
1
2
)
1
(
1
1
2
2
2
2
2
−
+
=
−
+
−
=
−
+
x
x
x
x
x
.
Do drugiego składnika stosujemy rozkład funkcji wymiernej wła ciwej na sum ułamków prostych.
)
1
)(
1
(
)
(
)
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
)(
1
(
2
1
2
2
−
+
+
−
+
+
=
−
+
+
+
−
=
−
+
+
=
−
+
=
−
x
x
B
A
x
B
A
x
x
x
B
x
A
x
B
x
A
x
x
x
Współczynniki A, B wyznaczamy z to samo ci
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
50
)
(
)
(
2
B
A
x
B
A
+
−
+
+
=
(przyrównuj c współczynniki przy jednakowych pot gach):
=
+
−
=
+
.
2
,
0
B
A
B
A
Dlatego
1
1
1
1
1
2
2
−
+
+
−
=
−
x
x
x
. Ostatecznie mamy
1
1
1
1
1
1
1
2
2
−
+
+
−
=
−
+
x
x
x
x
.
17. Przykład
Funkcj wymiern
x
x
x
x
x
2
2
5
4
2
3
2
+
+
−
−
przedstawi w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Rozwi zanie.
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
)
2
2
(
)
(
)
2
2
(
2
2
)
2
2
(
4
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
3
2
x
x
x
x
C
Bx
x
x
A
x
x
C
Bx
x
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
2
(
2
)
2
(
)
(
)
2
2
(
)
(
)
2
2
(
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
x
x
x
A
x
C
A
x
B
A
x
x
x
x
C
Bx
x
x
A
−
=
−
=
+
=
+
4
2
4
2
1
A
C
A
B
A
→
=
=
−
=
0
3
2
C
B
A
→
2
2
3
2
2
2
4
4
2
2
3
2
+
+
+
−
=
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
18. Przykład
Funkcj wymiern
2
3
2
2
1
x
x
x
+
−
przedstawi w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Rozwi zanie.
)
2
(
2
)
2
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
−
=
+
−
x
x
B
x
B
A
x
C
A
x
x
Cx
x
B
x
Ax
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
x
−
=
=
+
=
+
1
2
0
2
1
B
B
A
C
A
→
=
−
=
=
4
3
2
1
4
1
C
B
A
→
)
2
(
4
3
2
1
4
1
2
1
2
2
3
2
+
+
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
19. Przykład
Funkcj wymiern
x
x
x
x
x
+
+
+
−
3
2
3
4
1
przedstawi w postaci sumy rzeczywistych ułamków prostych.
Rozwi zanie.
Poniewa wielomian wyst puj cy w mianowniku ma stopie mniejszy ni wielomian wyst puj cy w liczniku, wi c w
wyniku dzielenia otrzymamy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
−
=
+
+
+
−
3
3
2
3
4
1
1
1
.
Z kolei
1
)
1
(
1
1
2
2
3
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
C
Bx
x
A
x
x
x
x
x
x
.
Współczynniki A, B i C wyznaczamy z to samo ci
A
Cx
x
B
A
x
C
Bx
x
A
x
+
+
+
=
+
+
+
=
+
2
2
)
(
)
(
)
1
(
1
(przyrównuj c współczynniki przy jednakowych pot gach):
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcja jako relacja
–
wykład 4.
51
=
=
=
+
1
,
1
,
0
A
C
B
A
Dlatego
1
1
1
1
2
3
+
−
−
=
+
+
x
x
x
x
x
x
. Ostatecznie mamy
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
2
3
4
+
−
−
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.