Mechanika ogólna

Mechanika ogólna

1

1

Wykład 

Wykład nr 5

nr 5

Statyczna 

Statyczna wyznaczalność układu.

wyznaczalność układu.

Siły wewnętrzne.

Siły wewnętrzne.

Stopień statycznej 

Stopień statycznej 

wyznaczalności

wyznaczalności





Stopień zewnętrznej statycznej 

Stopień zewnętrznej statycznej 

wyznaczalności n:

wyznaczalności n:

–– Belka: 

Belka: n=r

n=r--gg--rs

rs;;

–– Rama: n=r+3o

Rama: n=r+3o--gg--rs;

rs;

2

2

–– Rama: n=r+3o

Rama: n=r+3o--gg--rs;

rs;

–– Kratownica: 

Kratownica: n=r

n=r--rs

rs lub n=p

lub n=p--2w.

2w.





Oznaczenia:

Oznaczenia:

–– rr –– liczba reakcji;

liczba reakcji;

–– g 

g –– liczba przegubów pojedynczych;

liczba przegubów pojedynczych;

–– o 

o –– liczba pól zamkniętych;

liczba pól zamkniętych;

–– rs=3 

rs=3 –– liczba równań statyki;

liczba równań statyki;

–– p 

p –– liczba prętów;

liczba prętów;

–– w 

w –– liczba węzłów.

liczba węzłów.

Stopień statycznej 

Stopień statycznej 

wyznaczalności

wyznaczalności





Określenie stopnia statycznej 

Określenie stopnia statycznej 

wyznaczalności odnośnie do reakcji:

wyznaczalności odnośnie do reakcji:

–– Układ jest 

Układ jest statycznie wyznaczalny

statycznie wyznaczalny, 

, 

3

3

–– Układ jest 

Układ jest statycznie wyznaczalny

statycznie wyznaczalny, 

, 

jeżeli współczynnik n = 0;

jeżeli współczynnik n = 0;

–– Układ jest 

Układ jest statycznie niewyznaczalny

statycznie niewyznaczalny, 

, 

jeżeli współczynnik n

jeżeli współczynnik n > 0;

> 0;

–– Układ jest 

Układ jest geometrycznie zmienny

geometrycznie zmienny, 

, 

jeżeli współczynnik n

jeżeli współczynnik n < 0.

< 0.

Sposób podparcia a 

Sposób podparcia a 

statyczna wyznaczalność

statyczna wyznaczalność





Nie zawsze stopień statycznej 

Nie zawsze stopień statycznej 

wyznaczalności n=0 gwarantuje statyczną 

wyznaczalności n=0 gwarantuje statyczną 

wyznaczalność.

wyznaczalność.
Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może 

Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może 

4

4





Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może 

Niewłaściwe rozmieszczenie podpór może 

powodować, że układ będzie geometrycznie 

powodować, że układ będzie geometrycznie 

zmienny (np. reakcje równoległe 

zmienny (np. reakcje równoległe ––

płaszczyzna przesuwu) lub chwilowo 

płaszczyzna przesuwu) lub chwilowo 

geometrycznie zmienny (reakcje 

geometrycznie zmienny (reakcje 

przecinające się w jednym punkcie 

przecinające się w jednym punkcie ––

chwilowy środek obrotu).

chwilowy środek obrotu).

Układy geometrycznie 

Układy geometrycznie 

zmienne (przykłady) 

zmienne (przykłady) 

(1)

(1)





Niedostateczna liczba podpór.

Niedostateczna liczba podpór.





Belka na trzech podporach 

Belka na trzech podporach 

5

5





Belka na trzech podporach 

Belka na trzech podporach 

przesuwnych.

przesuwnych.





Trzy niepodparte przeguby obok siebie.

Trzy niepodparte przeguby obok siebie.

Układy geometrycznie 

Układy geometrycznie 

zmienne (przykłady) 

zmienne (przykłady) 

(2)

(2)





Belka z niepodpartym przęsłem 

Belka z niepodpartym przęsłem 

przegubowym. 

przegubowym. 

6

6





Trzy reakcje kratownicy przecinające się 

Trzy reakcje kratownicy przecinające się 

w jednym punkcie.

w jednym punkcie.

Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne 

(1)

(1)





Mamy bryłę materialną 

Mamy bryłę materialną 

obciążoną układem sił 

obciążoną układem sił 

(siły zewnętrzne, 

(siły zewnętrzne, 

reakcje), będących w 

reakcje), będących w 

P

P

q



7

7

reakcje), będących w 

reakcje), będących w 

równowadze. 

równowadze. 

Rozetniemy myślowo 

Rozetniemy myślowo 

tę bryłę na dwie części 

tę bryłę na dwie części 

przekrojem 

przekrojem 



--

 ..

P



Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne 

(2)

(2)





Aby fragment bryły był w równowadze 

Aby fragment bryły był w równowadze 

musimy zastąpić wzajemne oddziaływanie 

musimy zastąpić wzajemne oddziaływanie 

fragmentów brył przez przyłożenie w sposób 

fragmentów brył przez przyłożenie w sposób 

ciągły do płaszczyzny 

ciągły do płaszczyzny 



--

 układu sił.

układu sił.

8

8

P

P

P

q

q

Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne 

(3)

(3)





Siły te można zastąpić przez ich wypadkowe 

Siły te można zastąpić przez ich wypadkowe 

i    , przyłożone w dowolnym punkcie 

i    , przyłożone w dowolnym punkcie 

przekroju 

przekroju 



--

. W przypadku naszych rozważań 

. W przypadku naszych rozważań 

punktem tym będzie środek przekroju.

punktem tym będzie środek przekroju.

M

W

9

9

punktem tym będzie środek przekroju.

punktem tym będzie środek przekroju.

P

P

P

q

q

M

W

W

M

Siły przekrojowe

Siły przekrojowe





Wypadkową siłę      i moment      można 

Wypadkową siłę      i moment      można 

wyrazić przez ich składowe:

wyrazić przez ich składowe:

M

W

z

y

T

T

N

W







z

y

x

M

M

M

M







10

10

z

y

z

y

x

M

W.

N

T

z

T

y

M

x

M

y

M

z

Nazwy sił przekrojowych

Nazwy sił przekrojowych





Wielkości te nazwano:

Wielkości te nazwano:

–– N 

N –– siła podłużna (normalne) 

siła podłużna (normalne) –– wywołuje 

wywołuje 

rozciąganie lub ściskanie;

rozciąganie lub ściskanie;

–– TT , T

, T (lub Q

(lub Q , Q

, Q ) 

) –– siły poprzeczne 

siły poprzeczne 

11

11

–– TT

yy

, T

, T

zz

(lub Q

(lub Q

yy

, Q

, Q

zz

) 

) –– siły poprzeczne 

siły poprzeczne 

(tnące) 

(tnące) –– wywołują ścinanie;

wywołują ścinanie;

–– M

M

xx

–– moment skręcający 

moment skręcający –– wywołuje 

wywołuje 

skręcanie;

skręcanie;

–– M

M

yy

, M

, M

zz

–– momenty zginające 

momenty zginające –– wywołują 

wywołują 

zginanie.

zginanie.

Przykład

Przykład

l / 2

l / 2

P





12

12

V

A

H

A

M

A



V

A

H

A

M

A





N



N



T



T



M



M



P



P



Siły wewnętrzne w układach 

Siły wewnętrzne w układach 

płaskich 

płaskich –

– definicje 

definicje 

(1)

(1)





Siła normalna (osiowa, podłużna) 

Siła normalna (osiowa, podłużna) ––

wzajemne oddziaływanie części 

wzajemne oddziaływanie części 

konstrukcji przeciwdziałające ich 

konstrukcji przeciwdziałające ich 

13

13

konstrukcji przeciwdziałające ich 

konstrukcji przeciwdziałające ich 

przesunięciu się wzdłuż osi pręta w 

przesunięciu się wzdłuż osi pręta w 

rozważanym punkcie.

rozważanym punkcie.

V

A

H

A

M

A





N



N



T



T



M



M



P







cos

P

N



Siły wewnętrzne w układach 

Siły wewnętrzne w układach 

płaskich 

płaskich –

– definicje 

definicje 

(2)

(2)





Siła poprzeczna (tnąca) 

Siła poprzeczna (tnąca) –– wzajemne 

wzajemne 

oddziaływanie części konstrukcji 

oddziaływanie części konstrukcji 

przeciwdziałające ich przesunięciu się 

przeciwdziałające ich przesunięciu się 

14

14

przeciwdziałające ich przesunięciu się 

przeciwdziałające ich przesunięciu się 

poprzecznie do osi pręta w 

poprzecznie do osi pręta w 

rozważanym punkcie.

rozważanym punkcie.

V

A

H

A

M

A





N



N



T



T



M



M



P







sin

P

T



Siły wewnętrzne w układach 

Siły wewnętrzne w układach 

płaskich 

płaskich –

– definicje 

definicje 

(3)

(3)





Moment zginający 

Moment zginający –– wzajemne 

wzajemne 

oddziaływanie części konstrukcji 

oddziaływanie części konstrukcji 

przeciwdziałające ich wzajemnemu 

przeciwdziałające ich wzajemnemu 

15

15

przeciwdziałające ich wzajemnemu 

przeciwdziałające ich wzajemnemu 

obrotowi w rozważanym punkcie.

obrotowi w rozważanym punkcie.

V

A

H

A

M

A





N



N



T



T



M



M



P



l / 2

l / 2





sin

2

l

P

M





Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne –

–

konwencja znaków

konwencja znaków





Siła normalna rozciągająca 

Siła normalna rozciągająca 

pręt jest dodatnia.

pręt jest dodatnia.





Siła poprzeczna 

Siła poprzeczna 

powodowana przez 

powodowana przez 



N



N



16

16

powodowana przez 

powodowana przez 

obciążenie działające po 

obciążenie działające po 

lewej stronie przekroju do 

lewej stronie przekroju do 

góry lub po prawej stronie 

góry lub po prawej stronie 

do dołu jest dodatnia.

do dołu jest dodatnia.





Moment rozciągający 

Moment rozciągający 

włókna dolne jest dodatni.

włókna dolne jest dodatni.



T



T





M



M



spody (włókna dolne)

Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne –

–

wykresy 

wykresy 

(1)

(1)





Kreskowanie (rzędne wykresu) należy 

Kreskowanie (rzędne wykresu) należy 

zaznaczać prostopadle do osi pręta.

zaznaczać prostopadle do osi pręta.





Rzędne dodatnie wykresów sił 

Rzędne dodatnie wykresów sił 

17

17





Rzędne dodatnie wykresów sił 

Rzędne dodatnie wykresów sił 

normalnych i tnących odkłada się 

normalnych i tnących odkłada się 

zazwyczaj u góry.

zazwyczaj u góry.





Wykresy sił podłużnych i poprzecznych 

Wykresy sił podłużnych i poprzecznych 

rysujemy ze znakiem. 

rysujemy ze znakiem. 

Siły wewnętrzne 

Siły wewnętrzne –

–

wykresy 

wykresy 

(2)

(2)





Wykresy momentów nie muszą być 

Wykresy momentów nie muszą być 

znakowane, ale należy zwracać uwagę, aby 

znakowane, ale należy zwracać uwagę, aby 

rzędne momentu odkładać po stronie 

rzędne momentu odkładać po stronie 

włókien rozciąganych. 

włókien rozciąganych. 

18

18

włókien rozciąganych. 

włókien rozciąganych. 





Rzędne dodatnie wykresu momentów 

Rzędne dodatnie wykresu momentów 

zginających odkłada się u dołu (moment 

zginających odkłada się u dołu (moment 

dodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).

dodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).





Wykres momentu wskazuje jak odkształci 

Wykres momentu wskazuje jak odkształci 

się pręt i gdzie, w poszczególnych 

się pręt i gdzie, w poszczególnych 

elementach, włókna są rozciągane.

elementach, włókna są rozciągane.

Wykresy sił 

Wykresy sił 

wewnętrznych

wewnętrznych

l



P



P

cos



19

19

N



[kN]

+

T



[kN]

-

M



m

[kN ]

P

cos



P

sin



Pl

sin



+

Punkty charakterystyczne, 

Punkty charakterystyczne, 

przekroje

przekroje





Ze względu na konieczność 

Ze względu na konieczność 

modyfikacji równań sił wewnętrznych:

modyfikacji równań sił wewnętrznych:

–– w belkach i ramach 

w belkach i ramach –– końce prętów, 

końce prętów, 

20

20

–– w belkach i ramach 

w belkach i ramach –– końce prętów, 

końce prętów, 

punkty przyłożenia sił:

punkty przyłożenia sił:

–– czynnych: siła skupiona, moment skupiony, 

czynnych: siła skupiona, moment skupiony, 

początek lub koniec obciążenia ciągłego;

początek lub koniec obciążenia ciągłego;

–– biernych: punkty podporowe;

biernych: punkty podporowe;

–– w ramach 

w ramach –– dodatkowo węzły (połączenia 

dodatkowo węzły (połączenia 

prętów o różnej krzywiźnie).

prętów o różnej krzywiźnie).

Przegub

Przegub





Przegub jest jedynie punktem 

Przegub jest jedynie punktem 

kontrolnym (moment równy jest 0). 

kontrolnym (moment równy jest 0). 

Nie powoduje on konieczności 

Nie powoduje on konieczności 

21

21

Nie powoduje on konieczności 

Nie powoduje on konieczności 

wprowadzenia dodatkowego 

wprowadzenia dodatkowego 

przekroju.

przekroju.

Siła skupiona

Siła skupiona

l / 2

P

l / 2

P

H

A



x



1



2

0

2







A

B

A

H

P

R

V

0

0

2

1









N

N

2

2

2

1

P

P

V

T

P

V

T

A

A

















22

22

V

A

H

A

R

B

N



[kN]

+

T



[kN]

M



m

[kN ]

P/ 2

0

-

+

P/ 2

Pl / 4

2

2

x

P

x

V

M

A









2

1













 













 



















 







2

2

2

2

2

2

x

l

P

l

x

P

x

P

l

x

P

x

V

M

A



4

2

0

0

1

1

Pl

M

l

x

M

x













0

4

2

2

2













M

l

x

Pl

M

l

x

Moment skupiony

Moment skupiony

l

/2

V

A

H

A

R

B

M

l

/2



1



2

x

0









A

B

A

H

l

M

R

l

M

V

0

0

2

1









N

N

l

M

T

l

M

V

T

A











2

1





23

23

l

/2

l

/2

N



[kN]

T



[kN]

M



m

[kN ]

0

-

+

M/ l

-

M/ 2

M/ 2

l

l

x

l

M

x

V

M

A











1













 











l

x

M

M

x

V

M

A

1

2



2

2

0

0

1

1

M

M

l

x

M

x















0

2

2

2

2













M

l

x

M

M

l

x

Obciążenie ciągłe 

Obciążenie ciągłe 

równomierne

równomierne

0

2







A

B

A

H

ql

R

V

0





N

qx

ql

qx

V

T

A









2



0

ql

T

x





V

A

H

A

R

B

q



x

24

24































2

2

2

2

x

x

l

q

x

x

q

x

V

M

A



2

0

2

2

0

ql

T

l

x

T

l

x

ql

T

x





















0

8

2

0

0

2





















M

l

x

l

q

M

l

x

M

x

l

V

A

R

B

N



[kN]

T



[kN]

M



m

[kN ]

0

-

+

+

ql / 2

ql / 2

ql

2

/ 8

Obciążenie ciągłe liniowo 

Obciążenie ciągłe liniowo 

zmienne 

zmienne 

0

3

6







A

B

A

H

ql

R

ql

V

0





N

qx

ql

x

x

q

V

T

A

2

1

)

(

1













x

l

q

x

q





)

(

l

V

A

H

A

R

B

q



x

q

25

25

l

x

x

q

V

T

A

2

6

)

(

2













3

6

1

6

3

2

1

6

3

)

(

2

1

x

l

q

x

ql

x

x

l

qx

x

ql

x

x

x

q

x

V

M

A































3

6

0

ql

T

l

x

ql

T

x













0

0

0













M

l

x

M

x

l

A

R

B

N



[kN]

T



[kN]

M



m

[kN ]

0

-

+

+

ql / 6

ql / 3

Obciążenie ciągłe 

Obciążenie ciągłe 

momentem

momentem

0









A

B

A

H

m

V

m

V

0





N

m

V

T

A









V

H

A

R

m



x

26

26

0

















mx

mx

x

m

x

V

M

A



l

V

A

R

B

N



[kN]

T



[kN]

M



m

[kN ]

0

-

m

0

Warunki różniczkowe 

Warunki różniczkowe 

(1)

(1)





Zależności różniczkowe

Zależności różniczkowe między M

między M





, T

, T





, 

, 

N

N





i p

i p

zz

(x), p

(x), p

xx

(x), m(x). 

(x), m(x). 





Aby wyznaczyć te zależności rozważymy 

Aby wyznaczyć te zależności rozważymy 

belkę swobodnie podpartą, obciążoną 

belkę swobodnie podpartą, obciążoną 

27

27

belkę swobodnie podpartą, obciążoną 

belkę swobodnie podpartą, obciążoną 

obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem 

obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem 

na fragmencie belki.

na fragmencie belki.

Warunki różniczkowe 

Warunki różniczkowe 

(2)

(2)

Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony na 

Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony na 

rysunku.

rysunku.

28

28

Warunki różniczkowe 

Warunki różniczkowe 

(3)

(3)





Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą 

Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą 

x 

x 

::





Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową 

Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową 

z 

z 

::

X





0











N

p

x dx

N

dN

x







( )

(

)

0

29

29





Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową 

Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową 

z 

z 

::





Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :

Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :

Z





0











T

p

x dx

T

dT

z







( )

(

)

0

M

o





0

M

T dx

m

x dx

p

x dx

dx

M

dM

x

z





















( )

( )

(

)

2

0

Warunki różniczkowe 

Warunki różniczkowe 

(4)

(4)





Po odrzuceniu wielkości małej w 

Po odrzuceniu wielkości małej w 

porównaniu z pozostałymi               , 

porównaniu z pozostałymi               , 

otrzymujemy:

otrzymujemy:

2

dx

(x)dx

p

z

30

30

otrzymujemy:

otrzymujemy:





Z powyższych równań wynika, że:

Z powyższych równań wynika, że:

dN

dx

p

x

x



  ( )

dT

dx

p

x

z



  ( )

dM

dx

T

m x







 ( )

)

(

2

2

x

p

dx

dT

dx

M

d

z











Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(1)

(1)





Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia 

Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia 

ciągłego poprzecznego to wykres sił 

ciągłego poprzecznego to wykres sił 

tnących jest stały, równoległy do osi 

tnących jest stały, równoległy do osi 

31

31

tnących jest stały, równoległy do osi 

tnących jest stały, równoległy do osi 

pręta.

pręta.

0

)

(







x

p

dx

dT



 

const

C

x

T





1



P

+

T



[kN]

P/ 2

-

P/ 2

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(2)

(2)





Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia 

Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia 

ciągłego poprzecznego i nie występuje 

ciągłego poprzecznego i nie występuje 

obciążenie ciągłe momentem to 

obciążenie ciągłe momentem to 

32

32

obciążenie ciągłe momentem to 

obciążenie ciągłe momentem to 

wykres momentu jest linią prostą 

wykres momentu jest linią prostą 

nachyloną do pręta.

nachyloną do pręta.

 

1

C

x

T

dx

dM









 

2

1

C

x

C

x

M









P

M



m

[kN ]

+

Pl / 4

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(3)

(3)





Jeżeli w przedziale działa stałe 

Jeżeli w przedziale działa stałe 

obciążenie ciągłe to  wykres sił 

obciążenie ciągłe to  wykres sił 

tnących jest nachylony do pręta, 

tnących jest nachylony do pręta, 

rzędne maleją wraz ze wzrostem x.

rzędne maleją wraz ze wzrostem x.

33

33

rzędne maleją wraz ze wzrostem x.

rzędne maleją wraz ze wzrostem x.

q

dx

dT







1

C

qx

T









q

T



[kN]

-

+

ql / 2

ql / 2

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(4)

(4)





Jeżeli w przedziale działa stałe 

Jeżeli w przedziale działa stałe 

obciążenie ciągłe i nie ma 

obciążenie ciągłe i nie ma 

obciążenia ciągłego momentem, to 

obciążenia ciągłego momentem, to 

34

34

obciążenia ciągłego momentem, to 

obciążenia ciągłego momentem, to 

wykres momentów zginających 

wykres momentów zginających 

jest parabolą drugiego stopnia.

jest parabolą drugiego stopnia.





Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(5)

(5)





Jeżeli w przedziale zeruje się 

Jeżeli w przedziale zeruje się 

równanie siły tnącej to wykres 

równanie siły tnącej to wykres 

momentów osiąga ekstremum w 

momentów osiąga ekstremum w 

35

35

momentów osiąga ekstremum w 

momentów osiąga ekstremum w 

tym punkcie.

tym punkcie.





q

T



[kN]

-

+

ql / 2

ql / 2

M



m

[kN ]

+

ql / 8

2





Jeżeli obciążenie ciągłe jest 

Jeżeli obciążenie ciągłe jest 

skierowane do dołu, to wypukłość 

skierowane do dołu, to wypukłość 

wykresu jest skierowana w dół i 

wykresu jest skierowana w dół i 

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(6)

(6)

36

36

wykresu jest skierowana w dół i 

wykresu jest skierowana w dół i 

odwrotnie.

odwrotnie.

q

M



m

[kN

]

+

ql / 8

2

 

q

x

p

dx

M

d









2

2



 

2

1

2

2

1

C

x

C

qx

x

M









1

C

qx

dx

dM













Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe 

Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe 

liniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego 

liniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego 

momentem to wykres sił poprzecznych jest 

momentem to wykres sił poprzecznych jest 

parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie 

parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie 

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(7)

(7)

37

37

parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie 

parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie 

obciążenie ciągłe się zeruje parabola jest 

obciążenie ciągłe się zeruje parabola jest 

styczna do osi do pręta.

styczna do osi do pręta.

T



[kN]

-

+

ql / 6

ql / 3

q

 

2

1

C

x

C

x

p





 

3

2

2

1

2

1

C

x

C

x

C

x

T













Jeżeli w przedziale działa obciążenie 

Jeżeli w przedziale działa obciążenie 

ciągłe liniowe to wykres momentów 

ciągłe liniowe to wykres momentów 

zginających jest parabolą trzeciego 

zginających jest parabolą trzeciego 

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(8)

(8)

38

38

zginających jest parabolą trzeciego 

zginających jest parabolą trzeciego 

stopnia. 

stopnia. 





Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(9)

(9)





Jeżeli równanie sił tnących zeruje się 

Jeżeli równanie sił tnących zeruje się 

w przedziale, to wykres momentów 

w przedziale, to wykres momentów 

osiąga ekstremum w tym punkcie. 

osiąga ekstremum w tym punkcie. 



39

39

osiąga ekstremum w tym punkcie. 

osiąga ekstremum w tym punkcie. 



T



[kN]

-

+

ql / 6

ql / 3

q

M



m

[kN ]

+

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(10)

(10)





Jeżeli obciążenie ciągłe jest 

Jeżeli obciążenie ciągłe jest 

skierowane do dołu, to wypukłość 

skierowane do dołu, to wypukłość 

wykresu jest skierowana w dół i 

wykresu jest skierowana w dół i 

odwrotnie.

odwrotnie.

40

40

odwrotnie.

odwrotnie.

q

M



m

[kN

]

+

 

2

1

C

x

C

x

p





 

2

1

2

2

C

x

C

x

p

dx

M

d













 

4

3

2

2

3

1

2

1

6

1

C

x

C

x

C

x

C

x

M











3

2

2

1

2

1

C

x

C

x

C

dx

dM















Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona, 

Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona, 

to na wykresie sił poprzecznych wystąpi 

to na wykresie sił poprzecznych wystąpi 

„skok” o tą wartość, a na wykresie 

„skok” o tą wartość, a na wykresie 

momentów zginających wystąpi 

momentów zginających wystąpi 

„załamanie” wykresu. 

„załamanie” wykresu. 

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(11)

(11)

41

41

„załamanie” wykresu. 

„załamanie” wykresu. 

M



m

[kN ]

P

+

T



[kN]

P/ 2

-

P/ 2

+

Pl / 4





Jeżeli na pręcie występuje moment 

Jeżeli na pręcie występuje moment 

skupiony, to na wykresie momentów 

skupiony, to na wykresie momentów 

zginających wystąpi „skok” o wartość 

zginających wystąpi „skok” o wartość 

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(12)

(12)

42

42

zginających wystąpi „skok” o wartość 

zginających wystąpi „skok” o wartość 

tego momentu.

tego momentu.

M

M



m

[kN ]

+

-

M/ 2

M/ 2

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

i i 

m

m

(13)

(13)





Jeżeli w przedziale działa obciążenie 

Jeżeli w przedziale działa obciążenie 

ciągłe momentem to wykres 

ciągłe momentem to wykres 

momentów zginających jest liniowy 

momentów zginających jest liniowy 

43

43

momentów zginających jest liniowy 

momentów zginających jest liniowy 

(liniowo zmienny lub w szczególnym 

(liniowo zmienny lub w szczególnym 

przypadku stały, gdy T

przypadku stały, gdy T





=

=--m).

m).

m

-

ml

M



m

[kN

]

0

m

dM

dx

T

m x







 ( )

Zależności między 

Zależności między 

M

M



, 

, 

TT



oraz 

oraz 

q

q

(14)

(14)

Obciążenie

Wykres T Wykres M

Brak obc. ciągłego

stały

prosta

Obc. ciągłe stałe

prosta

parabola 2

o

44

44

Obc. ciągłe stałe

prosta

parabola 2

o

Obc. ciągłe trójkątne

parabola 2

o

parabola 3

o

Siła skupiona

skok

załamanie

Moment skupiony

–

skok

Obc. ciągłe momentem

–

prosta