Podstawy Informatyki 2                rok akad. 2003/2004             mgr in . Paweł Myszkowski 
 

1

Metody całkowania numerycznego 

Za pomoc

 metod numerycznych mo



na liczy



 całki oznaczone dla funkcji, które nie 

dadz

  si



  rozwi

za



  w  sposób  analityczny.  Liczenie  całek  sprowadza  si



  do 

obliczenia pola pod wykresem funkcji.  

a) metoda prostok



tów 

Mamy  dan



  funkcj



  f(x)  oraz  przedział 

<x

p

,x

k

>

,  w  którym  chcemy  policzy



  całk



 

oznaczon



  dla  tej  funkcji.  W  metodzie  prostok



tów  korzystamy  z  definicji  całki 

oznaczonej  Riemanna,  w  której  warto



  całki  interpretowana  jest  jako  suma  pól 

obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale  całkowania 

<x

p

,x

k

>

. Sum



 

t



 przybli amy przy pomocy sumy pól odpowiednio dobranych  prostok



tów. Sposób 

post



powania jest nast



puj



cy: 

 

 

 

Przedział całkowania <x

p

,x

k

> dzielimy na n równo odległych punktów 

x

1

,x

2

,...,x

n

. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru: 

dla i = 1,2,...,n 

 

Obliczamy  odległo



  mi



dzy  dwoma  s



siednimi  punktami  -  b



dzie  to 

podstawa ka dego prostok



ta: 

 

Dla  ka dego  wyznaczonego  w  ten  sposób  punktu  obliczamy  warto



  funkcji 

f(x) w tym punkcie: 

f

i

 = f(x

i

), dla i = 1,2,...,n 

Podstawy Informatyki 2                rok akad. 2003/2004             mgr in . Paweł Myszkowski 
 

2

Obliczamy sum



 iloczynów wyznaczonych warto

ci funkcji przez odległo



 dx 

mi



dzy  dwoma  s



siednimi  punktami  -  da  to  sum



  pól  poszczególnych 

prostok



tów ograniczonych wykresem funkcji: 

S = f

1 

dx + f

2 

dx + ... + f

n 

dx 

a po wyprowadzeniu wspólnego czynnika przed nawias: 

S = dx (f

1

 + f

2

 + ... + f

n

) 

Otrzymana  suma  jest  przybli on



  warto

ci



  całki  oznaczonej  funkcji  f(x)  w 

przedziale <x

p

,x

k

>. 

 

 

b) metoda trapezów 

Opisana  w  poprzednim  podpunkcie    metoda  prostok



tów  nie  jest  zbyt  dokładna, 

poniewa   pola  u ytych  w  niej  prostok



tów  le  odwzorowuj



  pole  pod  krzyw



. 

Du o lepszym rozwi



zaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o podstawie 

dx  i  bokach  równych  odpowiednio  warto

ci  funkcji  w  punktach  kra

cowych.. 

Sama zasada nie zmienia si



. 

 

 Przedział  całkowania  <x

p

,x

k

>  dzielimy  na  n+1  równo  odległych  punktów 

x

0

,x

1

,x

2

,...,x

n

. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru: 

dla i = 0,1,2,...,n 

 

Podstawy Informatyki 2                rok akad. 2003/2004             mgr in . Paweł Myszkowski 
 

3

Obliczamy  odległo



  mi



dzy  dwoma  s



siednimi  punktami  -  b



dzie  to 

podstawa ka dego trapezu: 

 

Dla  ka dego  wyznaczonego  w  ten  sposób  punktu  obliczamy  warto



  funkcji 

f(x) w tym punkcie: 

dla i = 0,1,2,...,n 

f

i

 = f(x

i

) 

Pole  pod  wykresem  funkcji  przybli ane  jest  polami  n  trapezów.  Pole  i-tego 
trapezu obliczamy wg wzoru: 

dla i=1,2,...,n 

 

Przybli ona warto



 całki jest sum



 pól wszystkich otrzymanych w ten sposób 

trapezów: 

s = P

1

 + P

2

 + ... + P

n

 

czyli 

 

Wyprowadzony  na  ko

cu  wzór  jest  podstaw



  przybli onego  wyliczania  całki 

w metodzie trapezów.