Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
– test statystyczny
słu
żą
cy do tego, aby stwierdzi
ć
jak dobrze nasze
dane potwierdzaj
ą
zało
ż
enie o rozkładzie w
populacji interesuj
ą
cej nas zmiennej losowej.
W przypadku rozkładu normalnego:
H – nasza cecha ma rozkład normalny
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
1
H
0
– nasza cecha ma rozkład normalny
H
1
– nasza cecha nie ma rozkładu normalnego
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Tok post
ę
powania:
• obliczenie teoretycznych cz
ę
sto
ś
ci wyst
ę
powania
pewnych zdarze
ń
w zało
ż
onych klasach, tzn. takich,
jakich nale
ż
y si
ę
spodziewa
ć
przy zało
ż
onej hipotezie
zerowej. Otrzymujemy oczekiwane liczebno
ś
ci E
i
• zapisujemy empiryczne liczebno
ś
ci O
i
danych
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
2
i
nale
żą
cych do poszczególnych klas
• oblicza si
ę
ró
ż
nic
ę
mi
ę
dzy tym, co oczekiwane, a tym, co
zaobserwowane. Z ró
ż
nic tych oblicza si
ę
warto
ść
statystyki Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Tok post
ę
powania cd.:
O
i
– liczebno
ść
empiryczna
E
i
– liczebno
ść
oczekiwana
• Porównuje si
ę
warto
ść
obliczonej statystyki z punktami
krytycznymi rozkładu Chi-kwadrat
(
)
∑
=
−
=
χ
k
1
i
i
2
i
i
2
0
E
E
O
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
3
krytycznymi rozkładu Chi-kwadrat
• Je
ż
eli:
odrzucamy hipotez
ę
zerow
ą
i uznajemy,
ż
e rozkład nie
jest normalny
2
1
n
df
,
1
2
O
−
=
α
−
χ
>
χ
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Pobrano 200-elementow
ą
próbk
ę
, aby zorientowa
ć
si
ę
czy
odchyłka pewnej wła
ś
ciwo
ś
ci od warto
ś
ci nominalnej ma
rozkład normalny. Wyniki pomiarów przedstawiono w
postaci histogramu. Wyniki z próby to = 0,021, a
σ
=1
Histogram odchyłek
40
45
50
x
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
<-2,1;-1,5>
(-1,5;-0,9>
(-0,9;-0,3>
(-0,3;0,3>
(0,3;0,9>
(0,9;1,5>
(1,5;2,1>
(2,1;2,7>
Odchyłka
L
ic
z
e
b
n
o
ś
ć
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Num
er
przed
ziału
i
Prawy
koniec
przedziału
i
Liczebno
ść
w
danym
przedzial
e n
i
Wartość
standaryzowa
na u
i
F(u
i
)
p
i
np
i
(n
i
-np
i
)
2
(n
i
-np
i
)
2
/ np
i
1
-1,5
14
-1,52
(-1,5-0,021)/1
0,064
0,064
12,80
(200*
0,064)
1,44
(14-12,80)
2
0,11
(1,44/12,80)
2
-0,9
31
-0,92
0,179
0,115
(0,179-
0,064)
23
64
2,78
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
5
3
-0,3
45
-0,32
0,375
0,196
39,20
33,64
0,86
4
0,3
35
0,28
0,610
0,235
47
144
3,06
5
0,9
30
0,88
0,811
0,201
40,20
104,04
2,59
6
1,5
32
1,48
0,931
0,120
24
64
2,67
7
2,1
11
2,08
0,981
0,050
10,10
1
0,10
8
2,7
2
2,69
0,996
0,015
3
1
0,33
200
200
12,50
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
Test zgodno
ś
ci Chi-kwadrat
2
7
1
k
df
,
95
,
0
1
2
0
2
7
1
k
df
,
95
,
0
1
06
,
14
=
−
=
=
α
−
=
−
=
=
α
−
χ
<
χ
=
χ
(
)
50
,
12
E
E
O
k
1
i
i
2
i
i
2
0
=
−
=
χ
∑
=
dr in
ż
. Agnieszka KUJAWI
Ń
SKA
6
Czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – na
poziomie istotno
ś
ci
α
=0,05 nie odrzucamy hipotezy,
ż
e
rozkład jest normalny.
7
1
k
df
,
95
,
0
1
0
=
−
=
=
α
−