Ocena normalności składnika resztowego: 
Test zgodności Jarque’a- Bery (JB) 
 



: 



   





    

- rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym 



: 



  





  

Wartość  statystyki  testującej  JB  wyznacza  się  na  podstawie  miary  skośności  S  i  kurtozy  K,  czyli  na 
podstawie  drugiego,  trzeciego  i  czwartego  momentu  centralnego.  Rozkład  statystyki  JB  jest  zbieżny 
do rozkładu chi-kwadrat o 2 stopniach swobody: 





2. 

 

    





6 

  3



24 

 

Gdzie n – liczba obserwacji 
Jeżeli 

  





2 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o rozkładzie normalnym 

składnika losowego. 
 
Ocena jednorodności wariancji składnika resztowego  
Test heteroskedastyczności White’a 
 
Test White’a zakłada sprawdzenie istotności regresji wyznaczonej dla kwadratów reszt z zestawem 
zmiennych modelu, ich kwadratami i iloczynami. 
 Etapy: 
1. Oszacowanie modelu podstawowego postaci: 





    !



 !



"



 #  !

$

%

$

 

2. Wyznaczenie reszt modelu 





 



 &



 - przyjmuje się że wartości 







 stanowią realizację wariancji 

składnika losowego 

'

(



. 

3. Oszacowanie przy pomocy KMNK modelu pomocniczego: 
 

'

(



 )



 * )

+

%

+

+,

 * )

+

%



%

-

+,$.

,-,

 0



 



: 1

+

 0  

 

– parametry modelu pomocniczego są równe 0 ( wariancja składnika  
losowego modelu podstawowego jest jednorodna) 



: 1

+

 0     

- co najmniej jeden parametr modelu pomocniczego jest różny od zera  
( wariancja składnika losowego modelu podstawowego jest niejednorodna) 

 
Statystyka LM służąca do weryfikacji powyższych hipotez ma postać: 

34   56



 

Gdzie : 

6



 – współczynnik determinacji modelu pomocniczego 

T - Liczba obserwacji 
Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o K stopniach swobody: 





. Przy czym K – liczba zmiennych 

objaśniających w modelu pomocniczym. 
 
Jeżeli 

34  





  to  nie  ma  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy  zerowej  –  wariancja  składnika 

losowego jest jednorodna (wszystkie odstające obserwacje zostały poprawnie opisane przez model). 
Jeżeli wariancja okaże się niejednorodna zamiast KMNK należy stosować UMNK 
 
 
 
 
 
 
 

Ocena liniowości postaci analitycznej modelu 
Test White’a dla nieliniowości oparty na mnożnikach Lagrange’a - kwadraty 
 
Etapy: 
1. Oszacowanie modelu podstawowego postaci: 

7



 8



 ∑ 8



"



$

,

 



 

2. Oszacowanie przy pomocy KMNK modelu pomocniczego: 
 

'



 8



 * 8



"



$

,

 * 1



"





$

,

 :



 

 



: 1

+

 0  

 

– parametry modelu pomocniczego są równe 0 (zależność liniowa) 



: 1

+

 0     

- co najmniej jeden parametr modelu pomocniczego (przy kwadratach  
zmiennych) jest różny od zera  ( zależność nieliniowa - kwadraty) 

 
Statystyka LM służąca do weryfikacji powyższych hipotez ma postać: 

34   56



 

Gdzie : 

6



 – współczynnik determinacji modelu pomocniczego 

T - Liczba obserwacji 
Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o K stopniach swobody: 





. Przy czym K – liczba zmiennych 

objaśniających w modelu pomocniczym. 
 
Jeżeli 

34  





 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – zależność liniowa 

 
Ocena stabilności parametrów 
Test Chowa 
 
Wymaga podziału analizowanego okresu na dwie podpróby w tzw. punkcie zwrotnym.  
 



: 1



 1



  

 

– parametry modelu pomocniczego są równe 0 (zależność liniowa) 



: 1



 1



   

 
Gdzie 

1



, 

1



 - parametry modelu dla rozłącznych podokresów. 

 
Statystyka: 

 

;

<

 ;



 ;



/>

;



 ;



/5  2>

 

 

;

<

 - suma kwadratów reszt regresji dla całej badanej próby, 

;



, 

;



 - sumy kwadratów reszt 

regresji dla całej badanej próby, k – liczba szacowanych parametrów. Statystyka F ma rozkład o k i T-k 
stopniach swobody. 
 
Jeśli F<



,?,+,@A+

 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – parametry są stabilne.