Ć w i c z e n i e  44

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY 

SZTYWNEJ WZGLĘDEM DOWOLNEJ OSI OBROTU 

Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA

44.1 Opis teoretyczny

W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego również twierdzeniem o osiach równoległych, 
należy zdefiniować położenie środka masy danej bryły sztywnej.
Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona 
cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie. Środek 
masy układu N punktów materialnych o masach m

1

, m

2

, ...., m

N

 jest punktem, którego współrzędne 

x

C

, y

C

, z

C

 w danym układzie współrzędnych wyrażają się następującymi wzorami: 

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

x

M

x

1

1

;         

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

y

M

y

1

1

;         

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

z

M

z

1

1

(44.1)

Odległość środka masy od początku układu odniesienia określona jest wektorem 

[

]

C

C

C

C

z

y

x

r

,

,

=



∑

=

=

N

i

i

i

C

m

r

M

r

1

1





(44.2)

gdzie wektory 

[

]

i

i

i

i

z

y

x

r

,

,

=



  opisują położenia poszczególnych mas składowych  

i

m  względem 

punktu odniesienia, a M jest masą całego układu równą sumie mas składowych 

i

m  (

∑

=

=

N

i

i

m

M

1

).

Wyznaczając środek masy ciała rozciągłego (bryły sztywnej) należy rozłożyć go na nieskończenie 
wiele małych  mas  dm, których położenia względem punktu odniesienia są określone wektorem 

[

]

z

y

x

r

,

,

=



. Wówczas w powyższych wzorach sumy przyjmują postać całek :

∫

=

dm

x

M

x

C

1

;

∫

=

dm

y

M

y

C

1

;

 

∫

=

dm

z

M

z

C

1

 

       (44.3)

∫

=

dm

r

M

r

C

1



(44.4)

Przy czym całkowanie musi się odbyć po wszystkich elementach dm to znaczy po całej objętości 
ciała sztywnego. Należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, gdy punkt odniesienia pokrywa 
się ze środkiem masy. Wówczas 

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r



     tzn.        

0

;

0

;

0

=

=

=

∫

∫

∫

dm

z

dm

y

dm

x

       (44.5)

Wielkość   fizyczna   zwana   momentem   bezwładności   określa   bezwładność   ciała   sztywnego,   gdy 
wykonuje ono ruch obrotowy. Jest to wielkość stała dla danego ciała sztywnego i określonej osi 
obrotu. Informuje nas jak rozłożona jest masa obracającego się ciała wokół jego osi obrotu zgodnie 
ze wzorem:

∫

=

dm

r

J

2

 

(44.6)

Została   ona   dokładnie   opisana   w   części   teoretycznej   w   ćwiczeniu   nr 36.   Wartość   momentu 
bezwładności   zależy   od   osi,   wokół   której   odbywa   się   obrót   ciała.   Jeżeli   znamy   moment 

bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to możemy za 
pomocą   twierdzenia   Steinera   obliczyć   momentem   bezwładności   tego   ciała   względem   innej   osi 
równoległej do niej.

Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera

Dla ciała przedstawionego na powyższym  rysunku moment bezwładności względem osi obrotu 
przechodzącej przez jego środek masy (jest to oś Z)  wyraża się całką:

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

1

2

1

      (44.7)

Wyrażenie 

2

2

1

2

1

h

y

x

=

+

 określa kwadrat odległości elementu dm od osi Z.

Analogicznie   możemy   napisać   wyrażenie   na   moment   bezwładności   względem   osi   obrotu   Z

* 

równoległej do osi Z i oddalonej od niej o 

2

2

C

C

y

x

d

+

=

 , gdzie współrzędne 

C

C

y

x i

 określają 

położenie środka masy rozpatrywanego ciała w nowym układzie współrzędnych (z gwiazdką):

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

2

2

2

*

     (44.8)

Wyrażenie 

2

2

2

2

y

x

+

 określa kwadrat odległości elementu dm od nowej  osi Z

*

  przy czym:

1

2

x

x

x

C

+

=

   

;

1

2

y

y

y

C

+

=

(44.9)

Podstawiając wyrażenia 44.9 do 44.8 otrzymujemy:

(

) (

)

[

]

(

)

∫

∫

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

dm

y

y

y

y

x

x

x

x

dm

y

y

x

x

J

C

C

C

C

C

C

Z

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

*

2

2

      (44.10)

dalej grupując wyrażenia

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+

+

=

dm

y

y

dm

x

x

dm

y

x

dm

y

x

J

C

C

C

C

Z

1

1

2

2

2

1

2

1

*

2

2

Y

*

x

2

y

1

X

Y

dm

Z

x

C

y

C

y

2

x

1

Z

*

X

*

d

h

0

0

oś obrotu przechodząca 
przez środek masy

dowolna oś obrotu 

Pierwsza całka (zgodnie z 44.7) odpowiada wyjściowemu momentowi bezwładności J

Z

  .

Ponieważ jak zaznaczyliśmy wyżej

2

2

2

d

y

x

C

C

=

+

  i  

∫

=

M

dm

druga całka przyjmuje postać:

(

)

M

d

dm

y

x

C

C

2

2

2

=

+

∫

Dwie ostatnie całki zerują się, gdyż spełniony jest warunek 44.5 tzn. położenie środka masy w 
pierwotnym układzie odniesienia określa wektor zerowy 

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r



.

Reasumując równanie (44.10) przyjmuje postać:

2

*

d

M

J

J

Z

Z

+

=

   

(44.11)

I to jest właśnie twierdzenie Steinera  opisujące związek między momentami bezwładności 

Z

Z

J

J i

*

.

44.2 Metoda pomiaru.

W   ćwiczeniu   wyznaczamy   momenty   bezwładności   okrągłej   tarczy   metalowej   o   promieniu 
R = 15 cm.   Posiada   ona   5   otworów   rozmieszczonych   co   3   cm.   Umożliwia   to   równoległe 
przesuwanie osi jej obrotu o znaną wartość  d. Tarczę mocuje się na balansowym sprężynowym 
mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z położenia równowagi o nieduży kąt i puszczona 
swobodnie wykonuje drgania harmoniczne jak  wahadło torsyjne (patrz ćwiczenie nr 40).
Okres drgań tarczy wyraża się tym samym wzorem:

D

J

π

2

T

=

(44.12)

gdzie:  J – moment bezwładności tarczy względem zadanej osi obrotu.

D – stała zwana modułem skręcenia lub momentem kierującym zależna od budowy 
      mechanizmu torsyjnego . W ćwiczeniu wynosi ona 0,0255 Nm 

W   ten   sposób   mierząc   okres   drgań  T  wyznacza   się   moment   bezwładności  J.   Stanowisko 
wyposażone jest w fotokomórkę, za pomocą której można automatycznie zmierzyć połowę okresu 
drgań czyli T/2  .

44.3 Wykonanie pomiarów.

1. Zapoznać się z budową zestawu pomiarowego.
2. Umocować tarczę na centralnym otworze.
3. Włączyć fotokomórkę.
4. Obrócić   tarczę   o   kąt   90

o

,   nacisnąć   na   fotokomórce   przycisk   SET   i   puścić   tarczę.   Po 

wykonaniu   przez   układ   pełnego   drgania,   odczytać   na   wyświetlaczu   czas   T/2.   Czynność 
powtórzyć dziesięciokrotnie, obracając tarczę po 5 razy w prawo i lewo.

5. Umocowywać tarczę na kolejnych otworach i powtarzając punkt 4 mierzyć kolejne okresy 

drgań.

44.4 Opracowanie wyników pomiarów.

1. Obliczyć średnie arytmetyczne wyznaczonych okresów drgań i ich średnie błędy kwadratowe.
2. Na podstawie zależności (44.12) obliczyć momenty bezwładności J dla 5 serii pomiarowych 

oraz błędy pomiarów.

3. Wykonać wykres  

)

(

2

d

f

J

=

. W eksperymencie  d  przyjmuje kolejno wartości: 0, 3, 6, 9, 

12 [cm].   Nanieść  punkty  pomiarowe  wraz   z  błędami  i   poprowadzić  przez  nie   optymalną 
prostą   najlepiej   stosując   metodę   najmniejszych   kwadratów   Gaussa.   Reprezentuje   ona 
twierdzenie Steinera (wzór (44.11)). Wyciągnąć odpowiednie wnioski. 

4. Z   teoretycznego   wzoru  

2

2

1

MR

J

=

  obliczyć   moment   bezwładności   tarczy   (R = 15 cm, 

M = 0,4 kg) i porównać go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem przecięcia prostej 
z punktu 3 z osią rzędnych). Wyciągnąć odpowiednie wnioski.

5. Obliczyć   moment   bezwładności   tarczy   względem   osi   prostopadłej   do   jej   płaszczyzny   i 

przechodzącej przez jej krawędź. Porównać ten wynik z danymi z wykresu z punktu 3. 

44.5. Pytania kontrolne

1. Wyjaśnić pojęcie środka masy ciała.
2. Zdefiniować moment bezwładności bryły. Od czego on zależy?
3. Wyprowadzić wzór na moment bezwładności walca o promieniu R względem osi obrotu. 
4. Wyprowadzić wzór na okres wahadła torsyjnego.

L i t e r a t u r a

[1]  Leyko J.: Mechanika ogólna,  PWN, Warszawa 1995.
[2]  Kittel C., Knight W.D., Ruderman M.A.: Mechanika, PWN, Warszawa 1973.