Zadania z Analizy Matematycznej

1

LOGIKA

Zad. 1. Ustal, czy poniższe sformułowanie jest zdaniem i jeśli tak to jaka jest jego wartość logiczna:

a) Czy świeci słońce?
b) 2

n

= n

2

dla pewnych n ∈ N

c) Idź do sklepu
d) x+y=y+x
e) x-y=y-x dla wszystkich x, y ∈ R

Zad. 2. Niech p, q, r bedą zdaniami:

p="pada deszcz"

q="świeci słońce"

r="na niebie są chmury"

Zapisz nastepujące zdania za pomocą symboliki logicznej używając p, q, r i spójników logicznych:

a) Pada deszcz i świeci słońce
b) Jeśli pada deszcz to na niebie są chmury
c) Jeśli nie pada deszcz, to nie świeci słońce i na niebie są chmury
d) Słońce świeci wtedy i tylko wtedy, gdy nie pada deszcz
e) Jeśli nie ma chmur na niebie to świeci słońce

Zad. 3. Niech p, q, r jak w Zad. 2. Przetłumacz na język polski:

a) (p ∧ q) ⇒ r

b) ∼ (p ∨ q) ∧ r

c) (p ⇒ r) ⇒ q

d) ∼ p ⇒ (q ∨ r)

Zad. 4. Określ wartości logiczne następujących zdań złożonych:

a) Jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8
b) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8
c) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6
d) Jeśli świat jest płaski to Nowy Jork jest stolicą Polski
e) Jeśli stolicą Polski jest Warszawa to świat jest płaski

Zad. 5. Wyznacz wartość logiczną następujących zdań przy podstawieniu p = 1, q = 0

a) p∧ ∼ q

b) ∼ (p ∨ q)

c) ∼ p ⇒ q

d) ∼ (p ⇔ q)

d) [(p ∧ q) ⇒ p] ∨ q

Zad. 6. Zbuduj tabelkę logiczną dla poniższych zdań i określ czy są to tautologie

a) p∨ ∼ p

b) ∼ (p ∧ q)

c) ∼ p∧ ∼ q

d) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)

e) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)

f ) [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p

g) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

Zad. 7. Zbadaj prawdziwość zdań:

a)

_

x

x

3

− x = 0 b)

^

x

x

2

+ 1 > 0 c)

^

x

_

y

x = y d)

_

x

^

y

x = y e)

_

x

_

y

(x − y) = x

2

− y

2

Zad. 8. Napisz zaprzeczeie poniższych wyrażeń tak żeby nie było w nich znaku negacji

a)

_

x

x 6 9

b)

^

x

_

a

_

b

(x 6 a ∨ x > b)

c)

^

x

_

y

^

t

[x < y ⇒ (y = t ∧ x > y)]

Zad. 9. Zapisz przy pomocy kwantyfikatorów

a) każda liczba naturalna daje resztę 0 lub 1 przy dzieleniu przez 2
b) x jest liczbą pierwszą

1