egzamin z analizy 2.3 - semestr letni 2010

1

grupa a

1.1

zad 1.

znaleźć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:

f (x, y) = (x

2

− 2y)e

−y

1.2

zad 2.

całkę po obszarze ograniczonym krzywymi:

y = 2

x

,

x + y = 1,

y = log

2

x,

y = 2

zamienić na dwa sposoby całki iterowane. wykonać rysunek.

1.3

zad 3.

za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły:

U =

n

(x, y, z) ∈ R

3

: 1 −

p

x

2

+ y

2

¬ z ¬ 2 − 2(x

2

+ y

2

)

o

wykonać rysunek.

1.4

zad 4.

zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

∞

X

1

(2n)

n

(2n + 1)!

1.5

zad 5.

rozwinąć w szereg fouriera funkcję:

f (x) =

(

4,

x ∈ (0, π)

−4,

x ∈ (−π, 0)

narysować wykres sumy szeregu dla dowolnego x ∈ R

1.6

zad 6.

wykorzystując transformatę laplace’a znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

y

00

+ y

0

= t

2

+ 2t,

y(0) = 0,

y

0

(0) = −2

2

grupa b

2.1

zad 1.

znaleźć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:

f (x, y) = ln



x

2

+ e

y

2



1

2.2

zad 2.

przy pomocy całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

x

2

+ y

2

= 2,

y − z + 3 = 0,

z = x

2

+ y

2

− 3

wykonać rysunek.

2.3

zad 3.

obliczyć całkę potrójną po obszarze:

U =

(x, y, z) ∈ R

3

: x ¬ y ¬ 0,

1 < x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4

z funkcji:

f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

wykonać rysunek.

2.4

zad 4.

zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

∞

X

1

n tg

1

n

3

2.5

zad 5.

rozwinąć w szereg fouriera cosinusów funkcję:

f (x) = sin

x

2

dla

x ∈ (0, π)

2.6

zad 6.

wykorzystując transformatę laplace’a znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

y

00

+ y = cos 2t,

y(0) = 0,

y

0

(0) = 0

3

grupa c

3.1

zad 1.

znaleźć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:

f (x, y) = e

√

3x

(x + y

2

)

3.2

zad 2.

zamienić kolejność całkowania w całce potrójnej.

1

Z

0

dx

2−x

2

Z

√

1−x

2

f (x, y)dy

wykonać rysunek.

2

3.3

zad 3.

za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

z = x

2

+ y

2

− 4,

z = 2 −

p

x

2

+ y

2

wykonać rysunek.

3.4

zad 4.

zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

∞

X

1

e

n

e + (2n)!

3.5

zad 5.

rozwinąć w szereg fouriera funkcję:

f (x) =

(

2,

x ∈ (0, π)

−2,

x ∈ (−π, 0)

narysować wykres sumy szeregu na R

3.6

zad 6.

wykorzystując transformatę laplace’a znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

y

00

− y

0

= 1 − e

2t

,

y(0) = 0,

y

0

(0) = −2

4

grupa d

4.1

zad 1.

znaleźć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:

f (x, y) = x

2

+ y − 2 ln(xy)

4.2

zad 2.

przy pomocy całki podwójnej obliczyć objętość bryły:

U =

(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

− 2 ¬ z ¬ 2 − x

2

− y

2

zamienić na dwa sposoby całki iterowane. wykonać rysunek.

4.3

zad 3.

obliczyć całkę potrójną

Z Z Z

U

=

dxdydz

1 + x

2

+ y

2

+ z

2

gdzie:

U =

n

(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 1,

z ­

p

x

2

+ y

2

o

wykonać rysunek

3

4.4

zad 4.

zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

∞

X

1

5

n

− 3

n

8

n

+ 3

n

4.5

zad 5.

rozwinąć w szereg fouriera cosinusów funkcję:

f (x) = sin

x

6

dla

x ∈ (0, π)

4.6

zad 6.

wykorzystując transformatę laplace’a znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

y

00

+ y

0

− 6y = 2,

y(0) = 1,

y

0

(0) = 0

4