1
BUDOWNICTWO LĄDOWE
Zadania z fizyki dla 1,4,5 i 8 grupy BL semestr I
Zadania opracowano na podstawie:
1.
Zbiór zadań z fizyki ; pod redakcją I.W. Sawiejlewa
2.
Fizyka w przykładach ; pod kierunkiem prof. dr Wladimir Hajko
3. Zadania
z fizyki ; pod redakcją M.S. Cedrika
Wybrał dr J. Walocha
2
TERMODYNAMIKA
Niektóre oznaczenia:
=C
p
/C
v
1. W zamkniętym naczyniu objętości V
0
znajduje się wodór w temperaturze t
0
pod
ciśnieniem p
0
. Wodór oziębia się do temperatury t
1
. Wyznaczyć:
a) ilość ciepła Q oddanego przez gaz
b) zmianę energii wewnętrznej ΔU
Odpowiedź:
0 0
1
0
0
(
)
2
p v i
Q
T
T
U
T
2. Jeden kilomol gazu ogrzewa się w przemianie izobarycznej od t
1
do t
2
pobierając
przy tym ciepło Q. Znaleźć:
a) liczbę stopni swobody i cząsteczki gazu
b) pracę W wykonaną przez gaz
Odpowiedź:
2
1
2
2
(
)
Q
i
m
R T
T
;
2
1
(
)
2
m i
U
R T
T
; W = Q – Δ U
3. Gaz wieloatomowy rozszerzając się wykonuje pracę W=245J. Jaką ilość ciepła
otrzymał gaz, jeżeli była to przemiana: a) izobaryczna, b) izotermiczna?
Odpowiedź: a) Q = W(1+ ) = 980 J ; b) Q = W = 245 J
4. W cylindrze o średnicy d=40cm znajduje się gaz dwuatomowy o objętości
V=0,08m
3
. Do jakiej wartości należy zwiększać dodatkowe obciążenie tłoka
cylindra podczas dostarczania Q=84J ciepła, aby tłok pozostał nieruchomy?
Uwaga: dodatkową siłę nacisku należy wyrazić poprzez wzrost ciśnienia,
również ciepło pobrane podczas przemiany wyrazić przez wzrost ciśnienia
Odpowiedź: F=
gdzie i jest liczbą stopni swobody cząsteczek gazu.
3
5. Jaka część ciepła otrzymanego przez gaz doskonały podczas przemiany
izobarycznej, wydatkowana jest na wzrost energii wewnętrznej gazu, a jaka na
pracę rozszerzania w przypadku gazów jednoatomowych, dwuatomowych
i wieloatomowych?
Uwaga: Skorzystaj z I zasady termodynamiki oraz ze związków między
ciepłami molowymi.
Odpowiedź:
=
=
;
=
= =
6. Gaz doskonały rozszerza się adiabatycznie przy czym jego temperatura zmienia
się od T
1
do T
2
. Znana jest masa gazu m i jego ciepło właściwe c
v
. Znaleźć pracę
W wykonaną przez gaz podczas rozszerzania.
Odpowiedź: W= m c
v
(T
1
- T
2
)
7. m kilogramów tlenku węgla (CO) sprężamy adiabatycznie w wyniku czego
temperatura gazu wzrasta od T
1
do T
2
. Przedstaw ten proces we współrzędnych
p,V oraz wylicz:
a) zmianę energii wewnętrznej gazu ΔU
b) pracę W wykonaną przy sprężaniu gazu
c) ile razy zmniejszy się objętość gazu ?
Odpowiedź:
8. Dwuatomowy gaz doskonały sprężamy do objętości k razy mniejszej od objętości
początkowej czyli V
1
/V
2
=k. Proces sprężania zachodzi w pierwszym przypadku
izotermicznie, a w drugim adiabatycznie. Podaj:
a) w którym przypadku i ile razy praca potrzebna do sprężenia gazu jest
większa – rozwiązać problem graficznie, a potem przy pomocy wzorów.
b) w którym przypadku i ile razy wzrośnie energia wewnętrzna gazu?
Odpowiedź:
1
(
1)
2
ln
ad
iz
W
i k
W
k
; ΔU
iz
=0 ; ΔU
ad
= – W
ad
9. W wyniku przemiany politropowej ciśnienie powietrza wzrosło od p
0
=10
5
N/m
2
do p
1
=8x10
5
N/m
2
, a jego objętość zmniejszyła się k=6 razy tzn. p
0
/p
1
=k=6.
Objętość początkowa powietrza była równa V
0
=18 m
3
. Znajdź wykładnik
politropy n oraz pracę sprężania.
Uwaga: Przy obliczaniu pracy określ ciśnienie p w dowolnym momencie
przemiany z równania:
= p
4
natomiast pracę oblicz z zależności: W =
Odpowiedź:
n =
=
W =
10. Azot o masie m=1 kg znajduje się w temperaturze t
0
=700
0
C i pod ciśnieniem
p
0
=25x10
5
N/m
2
. Poddany przemianie politropowej rozszerza się osiągając
ciśnienie końcowe p
1
=10
5
N/m
2
. Wyznacz temperaturę końcową oraz wykonaną
pracę, jeżeli wykładnik politropy n=1,18.
Uwaga: Przy obliczaniu pracy określ ciśnienie p w dowolnym momencie
przemiany z równania:
= p
natomiast pracę oblicz z zależności: W =
Odpowiedź:
W=
T
1
-T
0
)= 623 kJ
11. Pewna masa gazu rozszerza się tak, że proces ten na wykresie we współrzędnych
p,V przedstawiony jest linią prostą, przechodzącą przez początek układu. Znana
jest początkowa objętość gazu V
0
oraz ciśnienie p
0
a także stosunek χ = C
p
/C
v
dla tego gazu. W stanie końcowym objętość gazu wzrosła k-krotnie, czyli
V
1
/V
0
=k. Znaleźć:
a) wykładnik politropy n
b) zmianę energii wewnętrznej ΔU
c) pracę W wykonaną przez gaz
d) ciepło molowe C
x
gazu w tym procesie
Uwaga: Zapisz równanie opisujące omawianą przemianę w postaci: p
1
V
1
n
= p
2
V
2
n
Odpowiedź:
n = –1 ;
2
0 0
(
1)
v
p v
U
c
k
R
gdzie
1
v
R
c
;
2
0 0
(
1)
2
p v
W
k
;
1
1
x
C
R
5
12. W pewnym procesie ciepło molowe gazu zmienia się zgodnie z równaniem C=α/T
gdzie α jest stałą. Znaleźć pracę wykonaną przez kilomol gazu przy zmianie
temperatury od T
1
do T
2
.
Uwaga: Wyznacz najpierw (znając zależność opisującą ciepło molowe) ciepło
pobrane, następnie wyznacz zmianę energii wewnętrznej – wówczas pracę można
wyznaczyć korzystając z I zasady termodynamiki.
Odpowiedź:
2
2
1
1
( ln
(
))
2
T
m
iR
W
T
T
T
13. Kilomol jednoatomowego gazu znajdującego się w temperaturze T
1
ochładza się
izochorycznie w wyniku czego jego ciśnienie zmniejsza się k-krotnie, czyli
k=p
1
/p
2
. Następnie gaz rozszerza się izobarycznie przy czym jego temperatura
wzrasta do temperatury początkowej. Przedstaw ten proces we współrzędnych
p,V i wyznacz:
a) ciepło Q pobrane przez gaz
b) pracę W wykonaną przez gaz
c) zmianę energii wewnętrznej gazu ΔU
Odpowiedź:
Q = Q
1
+Q
2
1
2
(
)
m
R T
T
, gdzie
2
1
2
1
1
p
T
T
T
p
k
;
2
1
1
(
1)
m
W
W
RT k
k
14. Azot o masie m rozszerza się adiabatycznie, tak że jego ciśnienie zmniejsza się k
razy czyli p
1
/p
2
=k, a następnie spręża się izotermicznie do ciśnienia
początkowego. Temperatura gazu w stanie początkowym jest T
1
. Przedstaw
wykres tego procesu we współrzędnych p,V i wyznacz:
a) temperaturę końcową T
2
b) ciepło Q oddane przez gaz
c) zmianę energii wewnętrznej ΔU
d) pracę W wykonaną przez gaz
6
Odpowiedzi:
1
1
2
2
1
1
(
)
p
T
T
p
; Q = W
iz
= - m/μ RT
2
ln k ;
ΔU= ΔU
ad
=m/μ c
v
(T
2
– T
1
);
iz
ad
W
W
W
)
(
ln
1
2
1
2
2
T
T
c
p
p
RT
m
U
W
ad
iz
15. Silnik cieplny pracuje na dwutlenku węgla według cyklu Carnota, między
temperaturami 27˚C i 327˚C. Stosunek ciśnienia maksymalnego i minimalnego
w tym cyklu równy jest k=20. Masa gazu m=1 kmol. Obliczyć:
a) sprawność η tego silnika
b) ilość ciepła Q
1
pobranego ze źródła w czasie jednego cyklu
c) ilość ciepła Q
2
oddanego chłodnicy czasie jednego cyklu
d) pracę W wykonaną przez gaz w ciągu jednego cyklu.
Odpowiedzi:
η = 1/2 ;
1
2
1
1
1
ln (
)
T
m
Q
RT
k
T
;
2
1
(1
)
Q
Q
;
1
2
1
W
Q
Q
Q
7
HYDRODYNAMIKA
Niektóre oznaczenia: η współczynnik lepkości
1. Przez poziomą rurę o zmiennym przekroju przepływa woda (rys. poniżej). W miejscach o
przekrojach S
1
i S
2
wstawiono rurki manometryczne. Znaleźć objętość Q wody
przepływającej w jednostce czasu przez rurę, jeżeli różnica poziomów wody w rurkach
manometrycznych jest Δh.
Uwaga: należy uzasadnić, stosując prawo Bernoulliego oraz prawo ciągłości strugi,
w której z rurek manometrycznych jest wyższy poziom wody.
Odpowiedź:
1
2
2
2
2
1
2g h
V
S S
S
S
2. Jaką siłą należy działać na tłok poziomej strzykawki ,aby wypływający z niej strumień
wody miał szybkość v=10m/s? Promień tłoka R =2cm, tarcie zaniedbać.
Uwaga: Porównaj pracę wykonaną przez tłok przy przesunięciu się o odcinek
l z energią kinetyczną uzyskaną przez masę wody m zawartą w strzykawce
w objętości π
l.
Odpowiedź:
3. Jaką siłą oporu działa strumień powietrza na przednią powierzchnię samochodu jadącego
z szybkością v jeżeli pole tej powierzchni jest S.
Odpowiedź:
8
4. Znaleźć moc strumienia powietrza „napływającego” na pociąg jadący z prędkością
v=100km/h, jeżeli efektywna powierzchnia czołowa pociągu jest S=10m
2
.
Uwaga: Skorzystaj ze wzoru na moc P=Fv oraz określ na podstawie równania
Bernoulliego ciśnienie, a następnie siłę z jaką powietrze działa na pociąg.
Odpowiedź: P =
5. Z jaką mocą pracuje silnik motocykla, jeżeli jedzie on z szybkością
,
a szybkość przeciwnego wiatru jest
. Masa motocykla z kierowcą m=200kg,
a efektywny współczynnik tarcia o szosę k=0,2, ogólna powierzchnia czołowa pojazdu
S=1,2 m
2
.
Uwaga: Oblicz pracę na pokonanie siły tarcia o szosę oraz pracę na pokonanie oporu
powietrza (działanie ciśnienia dynamicznego na powierzchnię czołową pojazdu).
Odpowiedź: P=[mgk +
)
= 21,8kW
gdzie ρ – gęstość powietrza.
6. Cylindryczne naczynie o wysokości H i powierzchni podstawy S
2
napełniono wodą.
W dnie naczynia zrobiono otwór o powierzchni S
1
. Zaniedbując lepkość wody, określ
czas po którym cała woda wypłynie z naczynia, gdy: a) S
1
≈ S
2
; b) S
1
<< S
2
.
Uwaga: korzystając z r-nia Bernoulliego oraz prawa ciągłości strugi oblicz prędkość
V
2
obniżania się powierzchni wody a następnie zakładając, że V
2
=dh/dt oblicz całkę:
dt
S
S
gS
h
dh
t
H
0
2
1
2
2
2
1
0
2
.
Odpowiedź: dla S
1
≈ S
2
g
H
S
S
t
2
1
2
1
2
;
dla S
1
<< S
2
2
1
2
S
H
t
S
g
9
7. Znaleźć maksymalną prędkość wody w rurce o średnicy d
1
=2cm, dla której przepływ
będzie jeszcze laminarny. Krytyczna wartość liczby Reynoldsa dla rury jest 3000.
Jaka będzie ta prędkość dla rurki d
2
=0,1cm jeżeli: η=100,4∙10
-5
kg/m sek., ρ=998 kg/m
3
Odpowiedź: v= η Re/ ρ d ; v
1
= 0,15m/s v
2
= 3,01m/s
8. Metoda wyznaczania lepkości polega na pomiarze prędkości opadania kulki
w walcowatym naczyniu z badaną cieczą i wyznaczeniu η ze wzoru Stokesa. Zakładając,
że dla kuli krytyczna wartość Re= 0,5 znajdź maksymalną wartość promienia r stalowej
kulki, którą można wykorzystać w wyznaczaniu współczynnika lepkości dla gliceryny.
Odpowiedź:
1
2
3
9 Re
4
(
)
c
s
c
r
g
gdzie: ρ
s
- gęstość stali , ρ
c
- gęstość cieczy
9. Oblicz prędkość końcową kropli deszczu o promieniu r=1cm, jeżeli współczynnik
lepkości η =1,8 10
-4
g/cmsek.
Odpowiedź:
2
2
2
(
)
2
9
9
w
p
w
gr
gr
v
=121,1 m/sek.
gdzie: ρ
p
- gęstość powietrza, ρ
w
- gęstość wody
10
GRAWITACJA
Niektóre oznaczenia: γ stała grawitacji
1. Jaką poziomą prędkość należy nadać ciału znajdującemu się na wysokości h nad Ziemią,
aby poruszało się ono jako jej sztuczny satelita jeżeli promień Ziemi jest R?
Odpowiedź:
g
v
R
R
h
2. Na jakiej wysokości przyspieszenie ziemskie jest k = 2 razy mniejsze od jego wartości na
powierzchni Ziemi ?
Odpowiedź: h=R (
= 0,4142 R
3. Znaleźć prędkość postępowego ruchu Ziemi wokół Słońca w perihelium (punkt
przysłoneczny), jeżeli największa i najmniejsza odległość Ziemia–Słońce są odpowiednio
r
1
=147*10
8
km i r
2
=152*10
8
km, a średnia prędkość ruchu Ziemi po orbicie
v
s
=29,8*10
3
m/sek.?
Odpowiedź:
=
=
30,3 km/sek.
4. Wyznaczyć energię kinetyczną E ciała o masie m tuż przy powierzchni Ziemi
spadającego swobodnie z dużej wysokości H, jeżeli promień Ziemi jest R. Jaka będzie ta
energia kiedy H ›› R (opory pomijamy)?
Odpowiedź:
HR
E
mg
R
H
dla H ›› R , E= mgR
5. Z powierzchni Ziemi wyrzucono pionowo do góry ciało o prędkości początkowej v
0
.
Na jaką wysokość wzniesie się to ciało i jaką powinno mieć prędkość początkową v
0
, aby
nie spadło na Ziemię (opory ruchu pomijamy).
Odpowiedź: a) h= R∙v
0
2
/(2gR- v
0
2
) , b) v
0
= (2gR)
1/2
11
6. Z jaką minimalną prędkością należy wystrzelić rakietę z Ziemi, aby doleciała do
Księżyca? Jaka będzie jej prędkość tuż przy powierzchni Księżyca? Odległość środków
Ziemi i Księżyca jest d=380000km promień Ziemi R
z
=6370km, promień Księżyca
R
k
=1/4 R
z
zaś masa Księżyca M
k
=1/81M
z
.
Uwaga: Najpierw określ położenie punktu, w którym na odcinku Ziemia – Księżyc
zachodzi równowaga sił a następnie korzystając z pojęcia potencjału grawitacyjnego
napisz zasadę zachowania energii dla pierwszego a następnie drugiego pytania.
Odpowiedź:
1
2
1
1
1
1
2
(
)
2
0,98
0,9
81(
)
81 0,1
z
z
z
z
V
M
gR
R
d
d
R
d
1
2
81
81
1
2
(1
)
0,9
0,1
18
k
k
k
k
k
k
k
M
R
R
R
V
R
d
d
d
R
∙ 2
0,91
z
gR
7. Gwiazda podwójna to układ złożony z dwu gwiazd obracających się wokół swojego
środka masy. Znaleźć odległość między tymi gwiazdami, jeżeli całkowita masa układu
jest M, a okres obiegu wynosi T.
M = M
1
+M
2
d = r
1
+ r
2
Uwaga: Siła grawitacji oraz siła odśrodkowa działająca na każdą masę muszą się
równoważyć.
Odpowiedź:
1
2
3
2
(
)
4
MT
d
12
8. Obiekt kosmiczny A porusza się z prędkością v
0
w kierunku Słońca. Parametr zderzenia
obiektu ze Słońcem jest L (najmniejsza odległość między środkiem Słońca a kierunkiem
ruchu obiektu przed pojawieniem się sił oddziaływania – rysunek). Znaleźć najmniejszą
odległość r
0
na jaką obiekt zbliży się do Słońca?
Uwaga: Skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu oraz z zasady zachowania
energii.
Odpowiedź: r
0
2
2
2
0
2
0
1
1
(
)
M
L
M
v
v
gdzie M jest masą Słońca.
13
DYNAMIKA
1. Jednorodny walec o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu z równi pochyłej
o kącie nachylenia α. Wyznacz:
a) przyspieszenie jego środka ciężkości i porównaj z przyspieszeniem kuli oraz walca
cienkościennego.
b) przyspieszenie ciał zsuwających się z równi (przy braku tarcia)
Odpowiedź: a) a=mgsinα/(m+I/r
2
),
gdzie I moment bezwładności
staczającego się ciała, b) a=gsinα.
2. Przez bloczek o masie M i promieniu r przerzucono nieważką nić na końcach której
zawieszono masy m
1
i m
2
. Zakładając brak oporów ruchu wyznacz przyspieszenia tych
mas.
Uwaga: Niech np. m
1
›m
2
, dla takiego przypadku ułóż korzystając z II zasady
dynamiki Newtona, równania opisujące ruch każdej masy oraz równanie opisujące
ruch bloczka.
Odpowiedź:
1
2
1
2
2
m
m
a
g
I
m
m
r
gdzie
2
1
2
I
Mr
2
1
2
I
Mr
3. Łyżwiarz wykonując piruet obraca się z częstotliwością n
0
= 2 s
-1
przy czym jego moment
bezwładności względem osi obrotu jest I
0
= 2 kg m
2
. Jak zmieni się jego prędkość kątowa,
jeżeli przez rozstawienie rąk zwiększy on swój moment bezwładności do wartości
I
1
=2,1 kg m
2
.
Odpowiedź: zmniejszy się o
0
0
1
2
(1
) ~ 0, 6
/
I
n
rad sek
I
4. Wyznacz średnią siłę działającą na pocisk w lufie podczas wystrzału jeżeli prędkość
wylotowa pocisku jest v, jego masa m a długość lufy L.
Odpowiedź: F = mv
2
/2 L