$
,
H
=
Ψ
Ψ Ψ Ψ
=
E
(x,y,z)
-
2m
E
2
h
∇
−
= ⋅
2
2
4
Ψ
Ψ
Ψ
e
r
o
πε
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
πε
2
2
2
2
2
2
x
2
2m
E
+
+
+
+ ⋅ =
y
z
o
e
r
h
Ψ
Ψ
Ψ
1
4
2
0
r
x
y
z
=
+
+
2
2
2
Atom wodoru
x
y
z
r
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru
$
,
H
=
Ψ
Ψ Ψ Ψ
=
E
(x,y,z)
-
2m
E
2
h
∇
−
= ⋅
2
2
4
Ψ
Ψ
Ψ
e
r
o
πε
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
πε
2
2
2
2
2
2
x
2
2m
E
+
+
+
+ ⋅ =
y
z
o
e
r
h
Ψ
Ψ
Ψ
1
4
2
0
r
x
y
z
=
+
+
2
2
2
Atom wodoru
x
y
z
r
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru
∂
∂
∂
∂
∂
∂
πε
2
2
2
2
2
2
x
y
z
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
+
+
+
⋅
+
+
+
=
2
0
1
4
2
2
2
2
m
E
e
x
y
z
o
h
2
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (c.d.)
NIE DA SI
Ę
ROZWI
Ą
ZA
Ć
ANALITYCZNIE !!
!!!
Układ współrzędnych
M
x
y
z
W układzie
współrz
ę
dnych
kartezja
ń
skich:
x
M
, y
M
, z
M
r
h
n
W układzie współrz
ę
dnych
biegunowych sferycznych:
r,
h
,
n
r
x
y
z
=
+
+
2
2
2
ϑ
=
arccos
z
r
ϕ
=
+
arccos
x
x
y
2
2
1
1
2
4
0
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r
m
E
e
r
o
⋅
+
+
+
+
+
⋅
=
sin
sin
sin
sin
ϑ
ϑ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ϑ
ϑ ∂
∂ϑ
ϑ
∂
∂ϕ
πε
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
h
Układ współrzędnych (2)
M
x
y
z
r
h
n
x
M
=
r
@
cos
n@
sin
h
y
M
=
r
@
sin
n@
sin
h
z
M
=
r
@
cos
h
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (3)
Po zamianie układu współrzędnych na biegunowe sferyczne:
NIE UCZY
Ć
SI
Ę
NA PAMI
ĘĆ
!!!
Obejrze
ć
i zapomnie
ć
...
Rozwiązanie r. Schrödingera dla atomu
wodoru
*
R(r)
*
2
dr
prawdopodobie
ń
stwo radialne,
elektron pomi
ę
dzy r a r + dr
*
Y(
h
,
n
)
*
2
MhMn
prawdopodobie
ń
stwo k
ą
towe,
elektron w kierunku pomi
ę
dzy
h
a
h
+
Mh
oraz
n
a
n
+
Mn
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru (2)
Q
Q
Q
Q
(x,y,z) =
Q
Q
Q
Q
(r,
h
h
h
h
,
n
n
n
n
)
Q
Q
Q
Q
(r,
h
h
h
h
,
n
n
n
n
) = R(r)
@@@@
Y(
h
h
h
h
,
n
n
n
n
)
Rozdzielenie zmiennych w równaniu
ró
Ŝ
niczkowym =
rozdział na kilka równa
ń
WARUNEK KONIECZNY:
Q
Q
Q
Q
(r,
h
h
h
h
,
n
n
n
n
)
JEST
FUNKCJ
Ą
PORZ
Ą
DN
Ą
R(r)
Y(
h
h
h
h
,
n
n
n
n
) S
Ą
TAK
ś
E KLASY Q
E
m e
const
e
o
= −
=
π
ε
4
2
2 h n
n
2
2
r
r
r
M
m v
r
= × ×
M
l(l
)
=
+
1 h
Warunki dla funkcji klasy Q (1)
Energia całkowita mo
Ŝ
e przybiera
ć
tylko
pewne warto
ś
ci:
gdzie n = 1,2,3, .......
GŁÓWNA LICZBA KWANTOWA
muszą być spełnione, Ŝeby rozwiązanie dla atomu wodoru
składało się z funkcji porządnych
Warunki dla funkcji klasy Q (2)
Moment pędu:
Moment p
ę
du elektronu mo
Ŝ
e przybiera
ć
tylko
pewne warto
ś
ci:
gdzie l = 0,1,2, ..... (n-1)
POBOCZNA LICZBA KWANTOWA
ORBITALNA LICZBA KWANTOWA
M
m
z
= ⋅
h
Warunki dla funkcji klasy Q (3)
Moment p
ę
du mo
Ŝ
e mie
ć
tylko pewne orientacje
w przestrzeni, tj. jego składowa w wybranym
kierunku osi z mo
Ŝ
e przybiera
ć
pewne warto
ś
ci:
gdzie m = -l, -l + 1,....,0, .....l - 1, l
MAGNETYCZNA LICZBA KWANTOWA
Wartości energii całkowitej
Energia
elektronu
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 7
Moment pędu i jego składowa M
z
z
l
=2
m = 0,±1,±2
0
l
=3
£
-
£
2
£
-2
£
z
m = 0,±1,±2,±3
0
£
-
£
2
£
-2
£
3
£
-3
£
Liczby kwantowe
n
l
m
1
0
0
2
0
0
1
-1,0,+1
3
0
0
1
-1,0,+1
2
-2,-1,0,+1,+2
4
0
0
1
-1,0,+1
2
-2,-1,0,+1,+2
3
- 3,-2,-1,0,+1,+2+3
KaŜda kombinacja liczb odpowiada jednej funkcji falowej