Kolokwium 1

 - ODPOWIEDZI 

grupa I

 

Zadanie 1: Zdecydować, czy podane liczby są zapisane w postaci trygonometrycznej (a-c) lub 
kanonicznej (d-f). Jeśli nie są, doprowadzić do tej postaci. 

a)  –     

 

 

       

 

 

    

      

 

 

       

 

 

          

 

 

              

 

 

           

 
 

         

 
 

  , 

b)        

 

 

       

 

 

  - poprawnie, 

c) 

     

 

        , 

d)     

    - poprawnie, 

Zadanie 2: Na płaszczyźnie zespolonej narysować następujące obszary: 

a)      

 

      

 

        , 

Niech            . 

 

 

   

 

   

 

        

   

 

         

 

              

 

 

    

 

      

 

    

      

 

   

 

            

 

 

      

 

   

 

        

   

 

   

 

    

 

 

   

 

    – okrąg o promieniu 2 i środku 

w punkcie        

 

b) 

 

 

                  

 

 

. 

Funkcja        przesunięta o wektor       . 

 

oraz dowieść:      

 

 

 

         

 

         

 

 . 

Niech  

 

    

 

      

 

        

 

  oraz  

 

    

 

      

 

        

 

 . 

 

 

 

 

    

 

      

 

        

 

      

 

      

 

        

 

 

    

 

   

 

      

 

    

 

      

 

    

 

         

 

    

 

      

 

    

 

  

    

 

   

 

       

 

   

 

           

 

   

 

   

Wtedy  
     

 

 

 

          

 

   

 

       

 

   

 

           

 

   

 

       

 

   

 

       

 

         

 

  

Zadanie 3: Rozważmy zbiór dwuelementowy           z dodawaniem              określonym 
równościami: 

         ,                , 
         ,                , 

Wykazać, że        jest grupą. 

Odpowiedź:  element neutralny=0 (dwa lewe równania) 

 

elementy przeciwne:  a=1 -> a

-1

=1 (dolne prawe równanie),  

 

 

a=0 -> a

-1

=0 (górne lewe równanie) 

 

łączność: 

a  b  c  (a+b)  (a+b)+c  (b+c)  a+(b+c) 
0  0  0 

0 

0 

0 

0 

0  0  1 

0 

1 

1 

1 

0  1  0 

1 

1 

1 

1 

0  1  1 

1 

0 

0 

0 

1  0  0 

1 

1 

0 

1 

1  0  1 

1 

0 

1 

0 

1  1  0 

0 

0 

1 

0 

1  1  1 

0 

1 

0 

1 

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V:  

          

 

                                     ,      

 

    

Zadanie 5: Zbadać z definicji liniową niezależność układu wektorów:       

 

,       ,        

 

 w 

przestrzeni  

 

   . 

 

 

       

 

     

 

            

 

        

 

      

 

 

   

 

    

 

        

 

    

 

      

 

   

 

      

Jedyne rozwiązanie: