Imię, nazwisko i grupa:
7. Dany jest wektor
r
r
r
r
A
=
⋅ +
+ ⋅ +
⋅
ln
(
)
y i
yz
i
xy i
x
y
z
2
1
. Porównać ze sobą strumienie (podając wartości) wektora
r
A
wypływające z dwóch jednakowych walców o promieniu r = 2 i osiach wzdłuż kierunku z,
przechodzących przez punkty (x,y) = (0,0) i (1,0). Wysokość h = 1, podstawa leży na płaszczyźnie xy.
8. Dla wektorów
r
r
r
A
i
ri
r
=
+
sin 2
ϕ
θ
i
r
r
r
B
i
i
=
+
cos
sin
ϕ
θ
θ
ϕ
, korzystając z właściwości operatorów
różniczkowych, obliczyć:
∇ ⋅ ∇ ×
×
− ∇ ⋅
×
(
)
(
)
r r
r r
A B
B A
9. Wyznaczyć całkę pola
θ
ϕ
⋅
−
⋅
=
i
i
A
4
2
2
r
po (a) zamkniętym półokręgu o środku (0,0,0), promieniu R = 2,
położonym w płaszczyźnie z = 0 (
θ = π ⁄ 2 ), dla y = 0, (b) łuku tego półokręgu, (c) cięciwie tego półokręgu.
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
3
1
3
1
1
3
2
3
2
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
1
2
2
2
3
1
1
1
3
2
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
dv
sin
1
1
1
d
d
d
dv
d
d
d
d
d
d
d
d
d
1
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
B
B
B
A
A
A
i
i
i
B
B
r
h
r
h
h
h
h
h
q
q
q
h
h
h
i
q
q
h
h
i
q
q
h
h
i
q
q
h
h
i
q
h
i
q
h
i
q
h
A
h
A
h
A
h
q
q
q
i
h
i
h
i
h
h
h
h
q
A
h
h
q
A
h
h
q
A
h
h
h
h
h
i
q
h
i
q
h
i
q
h
S
C
V
S
r
z
r
r
r
r
r
r
r
r
r
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
×
×
∇
=
∇
=
θ
=
=
=
=
ρ
=
=
=
+
+
=
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
∂
∂ϕ
+
∂
∂ϕ
+
∂
∂ϕ
=
ϕ
∇
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
ϕ
θ
ϕ
ρ
B
A
s
d
H
l
d
H
s
d
s
d
l
d
A
A
Imię, nazwisko i grupa:
10. Wyznaczyć całkę wektora
r
r
r
A
= ⋅ +
⋅
2
4
i
r i
r
θ
po (a) łuku (otwartym) półokręgu o środku (0,0,0), promieniu
R = 1, położonym w płaszczyźnie
x = , dla y <
0
0
, (b) tym samym półokręgu domkniętym cięciwą, (c)
cięciwie tego półokręgu.
11. Porównać ze sobą strumienie wektora
r
r
r
r
A
=
−
⋅ +
+ ⋅ + ⋅
(
)
(
)
4
4
1
4
xz
y i
xz
i
i
x
y
z
(podając wartości)
wypływające z dwóch jednakowych walców o promieniu r = 1 i osiach położonych wzdłuż kierunku z,
przechodzących przez punkty (x,y) = (-1,-1) i (0,0). Wysokość h = 1, podstawa leży na płaszczyźnie xy.
12. Dla wektorów
cos
cos
i
sin
cos
ϕ
ϕ
θ
θ
+
ϕ
=
θ
+
θ
=
i
r
i
r
B
i
i
A
r
r
r
r
r
r
r
obliczyć:
r
r r
r
r
A
A B
A
B
⋅ ∇ ×∇ ⋅
+ ⋅∇
(
(
)
)
,
korzystając z właściwości operatorów różniczkowych
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
3
1
3
1
1
3
2
3
2
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
1
2
2
2
3
1
1
1
3
2
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
dv
sin
1
1
1
d
d
d
dv
d
d
d
d
d
d
d
d
d
1
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
B
B
B
A
A
A
i
i
i
B
B
r
h
r
h
h
h
h
h
q
q
q
h
h
h
i
q
q
h
h
i
q
q
h
h
i
q
q
h
h
i
q
h
i
q
h
i
q
h
A
h
A
h
A
h
q
q
q
i
h
i
h
i
h
h
h
h
q
A
h
h
q
A
h
h
q
A
h
h
h
h
h
i
q
h
i
q
h
i
q
h
S
C
V
S
r
z
r
r
r
r
r
r
r
r
r
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
×
×
∇
=
∇
=
θ
=
=
=
=
ρ
=
=
=
+
+
=
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
∂
∂ϕ
+
∂
∂ϕ
+
∂
∂ϕ
=
ϕ
∇
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
ϕ
θ
ϕ
ρ
B
A
s
d
H
l
d
H
s
d
s
d
l
d
A
A
