background image

 

 

 

 

B

a

d

a

n

ie

 z

m

ie

n

n

o

B

a

d

a

n

ie

 z

m

ie

n

n

o

ś

ś

c

p

o

p

y

tu

c

p

o

p

y

tu

 

 

D

in

D

in

Ŝ

Ŝ

Iw

o

n

a

Iw

o

n

a

 S

ta

n

ie

c

 S

ta

n

ie

c

 

 

 

 

L

o

d

e

x

L

o

d

e

x

 p

 p

3

3

3

3

3

3

 

 

Ś

Ś

ro

d

a

 

ro

d

a

 

1

0

1

0

:

:

0

0

0

0

-

-

1

2

1

2

:

:

0

0

0

0

 

 

h

tp

p

h

tp

p

:/

/

:/

/

o

iz

e

t

o

iz

e

t

.

.

p

p

.

.

lo

d

z

lo

d

z

.

.

p

l

p

l

/

/

is

ta

n

is

ta

n

 

 

background image

 

 

T

e

o

re

ty

c

z

n

e

 r

o

z

k

T

e

o

re

ty

c

z

n

e

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

y

 

a

d

y

 

s

k

o

k

o

w

e

 

s

k

o

k

o

w

e

 

 

 





R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 r

a

d

 r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

w

n

o

m

ie

rn

y

 

 





R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 

(

(

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

 

 





 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

 

 

 

 

background image

 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 r

a

d

 r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

w

n

o

m

ie

rn

y

 

 





Z

m

ie

n

n

a

 l

o

s

o

w

a

 m

a

 r

o

z

k

Z

m

ie

n

n

a

 l

o

s

o

w

a

 m

a

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

r

r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

 j

e

w

n

o

m

ie

rn

y

 j

e

Ŝ

Ŝ

e

li 

m

a

 s

k

o

e

li 

m

a

 s

k

o

ń

ń

c

z

o

n

c

z

o

n

ą

ą

 l

ic

z

b

 l

ic

z

b

ę

ę

 

 

s

k

o

k

s

k

o

k

ó

ó

w

 i

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

w

 i

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

 

s

tw

o

 

w

y

s

t

w

y

s

t

ą

ą

p

ie

n

ia

 k

a

p

ie

n

ia

 k

a

Ŝ

Ŝ

d

e

g

o

 z

e

 s

k

o

k

d

e

g

o

 z

e

 s

k

o

k

ó

ó

w

 j

e

s

w

 j

e

s

id

e

n

ty

c

z

n

e

id

e

n

ty

c

z

n

e

.

.

 

 

background image

 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 

 





R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 w

y

s

t

a

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 w

y

s

t

ę

ę

p

u

je

 w

p

u

je

 w

ó

ó

w

c

z

a

s

w

c

z

a

s

g

d

y

 p

rz

e

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

 

g

d

y

 p

rz

e

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

 

n

n

 je

d

n

a

k

o

w

y

c

h

 

 je

d

n

a

k

o

w

y

c

h

 

d

o

d

o

ś

ś

w

ia

d

c

z

e

w

ia

d

c

z

e

ń

ń

z

 k

t

z

 k

t

ó

ó

ry

c

h

 k

a

ry

c

h

 k

a

Ŝ

Ŝ

d

e

 m

o

d

e

 m

o

Ŝ

Ŝ

e

 

e

 

z

a

k

o

z

a

k

o

ń

ń

c

z

y

c

z

y

ć

ć

 s

i

 s

i

ę

ę

 je

d

n

y

m

 z

 je

d

n

y

m

 z

 

 

d

w

d

w

ó

ó

c

h

 w

y

n

ik

c

h

 w

y

n

ik

ó

ó

w

w

s

u

k

c

e

s

e

m

s

u

k

c

e

s

e

m

 z

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

 z

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

 

s

tw

e

m

 

p

p

 l

u

b

 

 l

u

b

 

p

o

ra

p

o

ra

Ŝ

Ŝ

k

k

ą

ą

 z

 z

 

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

 

s

tw

e

m

 

1

1

-

-

p

p

Z

m

ie

n

n

Z

m

ie

n

n

ą

ą

 l

o

s

o

w

 l

o

s

o

w

ą

ą

 

 

X

X

 w

 t

y

m

 e

k

s

p

e

ry

m

e

n

c

ie

 j

e

s

 w

 t

y

m

 e

k

s

p

e

ry

m

e

n

c

ie

 j

e

s

lic

z

b

a

 s

u

k

c

e

s

lic

z

b

a

 s

u

k

c

e

s

ó

ó

w

 w

 

w

 w

 

n

n

 p

r

 p

r

ó

ó

b

a

c

h

b

a

c

h

Ł

Ł

a

tw

o

 

a

tw

o

 

z

a

u

w

a

z

a

u

w

a

Ŝ

Ŝ

y

y

ć

ć

Ŝ

Ŝ

e

 m

o

e

 m

o

Ŝ

Ŝ

e

 o

n

a

 p

rz

y

jm

o

w

a

e

 o

n

a

 p

rz

y

jm

o

w

a

ć

ć

 w

a

rt

o

 w

a

rt

o

ś

ś

c

c

z

 p

rz

e

d

z

ia

z

 p

rz

e

d

z

ia

ł

ł

u

 

u

 

<

<

0

0

,

,

n

n

>

>

.

.

 

 

 

 

background image

 

 

F

u

n

k

c

ja

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

F

u

n

k

c

ja

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

 

s

tw

a

 

w

 r

o

z

k

w

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

 

a

d

z

ie

 

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

 j

e

s

 j

e

s

o

k

re

o

k

re

ś

ś

lo

n

a

 w

z

o

re

m

lo

n

a

 w

z

o

re

m

:

:

 

 

 

 

 

 

n

k

p

p

k

n
k

n

k

X
P

k
n

k

,...,

2,

1,

0

 
dla
    

)

1(

)!

(!

!

)

(

=

=

=

np

X
E

=

)
(

)

1(

)
(

2

p

np

X

D

=

background image

 

 

P

rz

y

k

P

rz

y

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

 

 





P

e

w

ie

n

 a

k

w

iz

y

to

p

ro

w

a

d

z

P

e

w

ie

n

 a

k

w

iz

y

to

p

ro

w

a

d

z

ą

ą

c

y

 s

p

rz

e

d

a

c

y

 s

p

rz

e

d

a

Ŝ

Ŝ

 

 

k

a

lk

u

la

to

r

k

a

lk

u

la

to

r

ó

ó

w

 k

o

n

ta

k

tu

je

 s

i

w

 k

o

n

ta

k

tu

je

 s

i

ę

ę

 z

 

 z

 

1

0

1

0

 

 

k

lie

n

ta

m

d

z

ie

n

n

ie

k

lie

n

ta

m

d

z

ie

n

n

ie

Z

 d

o

Z

 d

o

ś

ś

w

ia

d

c

z

e

n

ia

 

w

ia

d

c

z

e

n

ia

 

w

ia

d

o

m

o

w

ia

d

o

m

o

Ŝ

Ŝ

e

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

e

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

 

s

tw

o

 

z

a

k

u

p

u

 k

a

lk

u

la

to

ra

 p

rz

e

z

 k

lie

n

ta

 w

y

n

o

s

z

a

k

u

p

u

 k

a

lk

u

la

to

ra

 p

rz

e

z

 k

lie

n

ta

 w

y

n

o

s

0

0

,

,

2

2

J

a

k

je

s

ro

z

k

J

a

k

je

s

ro

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

 l

ic

z

b

y

 

s

tw

a

 l

ic

z

b

y

 

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

 k

a

lk

u

la

to

r

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

 k

a

lk

u

la

to

r

ó

ó

w

w

?

 

?

 

O

b

lic

z

y

O

b

lic

z

y

ć

ć

 

 

je

g

o

 p

a

ra

m

e

tr

y

je

g

o

 p

a

ra

m

e

tr

y

 

 

 

 

background image

 

 

 

 

 

 

0

0

,0

5

0

,1

0

,1

5

0

,2

0

,2

5

0

,3

0

,3

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

L

ic

z

b

a

 s

u

kc

e

s

ó

w

 (

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

 s

z

tu

k)

Pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

background image

 

 





R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

 

je

s

ro

z

k

 

je

s

ro

z

k

ł

ł

a

d

e

m

 

z

m

ie

n

n

e

a

d

e

m

 

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

s

k

o

k

o

w

e

j

lo

s

o

w

e

s

k

o

k

o

w

e

j

z

 

k

t

z

 

k

t

ó

ó

ry

m

 

m

a

m

y

 

d

o

 

ry

m

 

m

a

m

y

 

d

o

 

c

z

y

n

ie

n

ia

 

w

c

z

y

n

ie

n

ia

 

w

 

 

p

rz

y

p

a

d

k

u

 

o

k

re

p

rz

y

p

a

d

k

u

 

o

k

re

ś

ś

la

n

ia

 

la

n

ia

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

 

z

a

j

s

tw

a

 

z

a

j

ś

ś

c

ia

 

z

d

a

rz

e

c

ia

 

z

d

a

rz

e

ń

ń

 

 

s

to

s

u

n

k

o

w

o

 

rz

a

d

k

ic

h

s

to

s

u

n

k

o

w

o

 

rz

a

d

k

ic

h

ta

k

ic

h

 

ja

k

 

lic

z

b

a

 

ta

k

ic

h

 

ja

k

 

lic

z

b

a

 

u

s

te

re

k

 

w

 

p

ro

d

u

k

o

w

a

n

e

p

a

rt

ii 

m

a

te

ri

a

u

s

te

re

k

 

w

 

p

ro

d

u

k

o

w

a

n

e

p

a

rt

ii 

m

a

te

ri

a

ł

ł

u

u

lic

z

b

a

 

z

g

lic

z

b

a

 

z

g

ł

ł

o

s

z

e

o

s

z

e

ń

ń

 

s

z

k

 

s

z

k

ó

ó

d

d

lic

z

b

a

 

c

z

lic

z

b

a

 

c

z

ą

ą

s

te

c

z

e

k

 

s

te

c

z

e

k

 

ra

d

io

a

k

ty

w

n

y

c

h

 

e

m

it

o

w

a

n

y

c

h

 

p

rz

e

z

 

ra

d

io

a

k

ty

w

n

y

c

h

 

e

m

it

o

w

a

n

y

c

h

 

p

rz

e

z

 

s

u

b

s

ta

n

c

j

s

u

b

s

ta

n

c

j

ę

ę

 w

 w

 

 

k

r

k

r

ó

ó

tk

im

 o

k

re

s

ie

 i

tp

tk

im

 o

k

re

s

ie

 i

tp

 

 

R

o

z

k

ła

d

 P

o

is

s

o

n

a

 

background image

 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

 

 

 

 

,...

2,

1,

0

 
dla

   

!

)

(

=

=

=

k

e

k

k

X
P

k

λ

λ

λ

=

=

)
(

)
(

2

X

D

X
E

background image

 

 

P

rz

y

k

P

rz

y

k

ł

ł

a

d

a

d

 

 





W

 z

a

k

W

 z

a

k

ł

ł

a

d

z

ie

 w

y

tw

a

rz

a

j

a

d

z

ie

 w

y

tw

a

rz

a

j

ą

ą

c

y

m

 

c

y

m

 

Ŝ

Ŝ

a

r

a

r

ó

ó

w

k

w

k

w

a

d

liw

o

w

a

d

liw

o

ść

ść

 p

ro

d

u

k

c

ji 

w

y

n

o

s

 p

ro

d

u

k

c

ji 

w

y

n

o

s

4

4

%

%

ś

ś

a

r

a

r

ó

ó

w

k

w

k

p

a

k

o

w

a

n

e

 s

p

a

k

o

w

a

n

e

 s

ą

ą

 w

 p

a

c

z

k

p

o

 

 w

 p

a

c

z

k

p

o

 

5

0

5

0

 s

z

tu

k

 s

z

tu

k

W

y

z

n

a

c

z

y

W

y

z

n

a

c

z

y

ć

ć

 r

o

z

k

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 l

ic

z

b

y

 w

a

d

liw

y

c

h

 

a

d

 l

ic

z

b

y

 w

a

d

liw

y

c

h

 

Ŝ

Ŝ

a

r

a

r

ó

ó

w

e

k

 w

w

e

k

 w

 

 

p

a

c

z

c

e

p

a

c

z

c

e

.

.

 

 

 

 

background image

 

 

 

 

 

 

0

0

,0

5

0

,1

0

,1

5

0

,2

0

,2

5

0

,3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

2

0

L

ic

z

b

a

 w

a

d

liw

y

c

h

 Ŝ

a

w

e

w

 p

a

c

z

c

e

Pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

wo

background image

 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

  

w

y

k

a

d

  

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

a

d

n

ic

z

y

 

 

 

 





O

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

O

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

X

X

 m

 m

ó

ó

w

im

y

w

im

y

Ŝ

Ŝ

e

 m

a

 

e

 m

a

 

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

 w

y

k

a

d

 w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

a

d

n

ic

z

y

 z

 p

a

ra

m

e

tr

e

m

 

 z

 p

a

ra

m

e

tr

e

m

 

>

>

0

0

je

je

Ŝ

Ŝ

e

li 

je

fu

n

k

c

j

e

li 

je

fu

n

k

c

j

ę

ę

 g

 g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

m

o

c

m

o

Ŝ

Ŝ

n

a

 

n

a

 

p

rz

e

d

s

ta

w

i

p

rz

e

d

s

ta

w

i

ć

ć

 j

a

k

o

 j

a

k

o

:

:

 

 

λ

)

+

−∞

=

,

0

,

)

0,

(

,

0

)
,

(

x

e

x

x
f

x

λ

λ

λ

background image

 

 

 

 





J

e

s

to

 r

o

z

k

J

e

s

to

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 c

h

a

ra

k

te

ry

z

u

j

a

d

 c

h

a

ra

k

te

ry

z

u

j

ą

ą

c

y

 c

z

c

y

 c

z

ę

ę

s

to

 

s

to

 

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

 i

lo

a

d

 i

lo

ś

ś

c

c

z

a

s

u

 o

c

z

e

k

iw

a

n

ia

 n

a

 

c

c

z

a

s

u

 o

c

z

e

k

iw

a

n

ia

 n

a

 

z

d

a

rz

e

n

ie

z

d

a

rz

e

n

ie

k

t

k

t

ó

ó

re

 t

e

o

re

ty

c

z

n

ie

 m

o

re

 t

e

o

re

ty

c

z

n

ie

 m

o

Ŝ

Ŝ

e

 z

a

j

e

 z

a

j

ś

ć

ś

ć

 w

 

 w

 

d

o

w

o

ln

e

c

h

w

ili

 

d

o

w

o

ln

e

c

h

w

ili

 

(

(

a

le

 r

a

le

 r

ó

ó

w

n

ie

w

n

ie

Ŝ

Ŝ

 c

z

a

s

 t

e

n

 m

o

 c

z

a

s

 t

e

n

 m

o

Ŝ

Ŝ

e

 

e

 

b

y

b

y

ć

ć

 d

o

w

o

ln

ie

 d

 d

o

w

o

ln

ie

 d

ł

ł

u

g

i

u

g

i

lu

b

 r

o

z

k

lu

b

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 c

z

a

s

u

 

a

d

 c

z

a

s

u

 

p

o

m

i

p

o

m

i

ę

ę

d

z

y

 d

w

o

m

a

 k

o

le

jn

y

m

z

a

j

d

z

y

 d

w

o

m

a

 k

o

le

jn

y

m

z

a

j

ś

ś

c

ia

m

c

ia

m

p

e

w

n

e

g

o

 z

d

a

rz

e

n

ia

p

e

w

n

e

g

o

 z

d

a

rz

e

n

ia

n

p

n

p

c

z

a

s

 b

e

z

a

w

a

ry

jn

e

c

z

a

s

 b

e

z

a

w

a

ry

jn

e

p

ra

c

y

 m

i

p

ra

c

y

 m

i

ę

ę

d

z

y

 d

w

o

m

a

 k

o

le

jn

y

m

a

w

a

ri

a

m

i

d

z

y

 d

w

o

m

a

 k

o

le

jn

y

m

a

w

a

ri

a

m

i

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

 c

o

ra

z

 w

i

s

tw

a

 c

o

ra

z

 w

i

ę

ę

k

s

z

y

c

h

 

k

s

z

y

c

h

 

w

a

rt

o

w

a

rt

o

ś

ś

c

c

(

(

p

rz

e

d

z

ia

p

rz

e

d

z

ia

ł

ł

ó

ó

w

w

te

z

m

ie

n

n

e

s

te

z

m

ie

n

n

e

s

ą

ą

 c

o

ra

z

 

 c

o

ra

z

 

m

n

ie

js

z

e

m

n

ie

js

z

e

 

 

background image

 

 

W

y

k

re

s

 f

u

n

k

c

ji 

g

W

y

k

re

s

 f

u

n

k

c

ji 

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

z

m

ie

n

n

e

c

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

o

 r

o

z

k

lo

s

o

w

e

o

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

 

a

d

z

ie

 

w

y

k

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

m

a

d

n

ic

z

y

m

 

 

 

 

λ

background image

 

 

D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ta

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

o

 

D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ta

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

o

 

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

 w

y

k

a

d

z

ie

 w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

m

 w

y

ra

a

d

n

ic

z

y

m

 w

y

ra

Ŝ

Ŝ

a

 

a

 

s

i

s

i

ę

ę

 w

z

o

re

m

 w

z

o

re

m

 

 

 

 

<

=

0

 
dla

e
1

0

 
dla

0

)

(

x

-

x

x

x
F

λ

background image

 

 

W

a

rt

o

W

a

rt

o

ś

ć

ś

ć

 o

c

z

e

k

iw

a

n

a

 i

 w

a

ri

a

n

c

ja

 

 o

c

z

e

k

iw

a

n

a

 i

 w

a

ri

a

n

c

ja

 

z

m

ie

n

n

e

j

z

m

ie

n

n

e

j

 

 

 

 

+∞

=

=

λ

1

)

(

)
(

x

xf

X
E

2

2

1

)
(

λ

=
X

D

background image

 

 

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

 

 

 

 

N

a

jc

z

N

a

jc

z

ęś

ęś

c

ie

s

p

o

ty

k

a

n

y

m

 w

 n

a

tu

rz

e

 

c

ie

s

p

o

ty

k

a

n

y

m

 w

 n

a

tu

rz

e

 

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

e

m

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

a

d

e

m

 z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

je

s

e

je

s

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

z

w

a

n

y

 r

o

z

k

z

w

a

n

y

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

e

m

 

a

d

e

m

 

G

a

u

s

s

a

G

a

u

s

s

a

-

-

L

a

p

la

c

e

L

a

p

la

c

e

'

'

a

a

C

i

C

i

ą

ą

g

g

ł

ł

a

 z

m

ie

n

n

a

 

a

 z

m

ie

n

n

a

 

lo

s

o

w

a

 

lo

s

o

w

a

 

X

X

 m

a

 r

o

z

k

 m

a

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

 

a

d

 n

o

rm

a

ln

y

 

(

(

c

o

 

c

o

 

o

z

n

a

c

z

a

m

y

 

o

z

n

a

c

z

a

m

y

 

)

)

je

je

ś

ś

li 

je

fu

n

k

c

ja

 g

li 

je

fu

n

k

c

ja

 g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

c

-

-

 :

 :

 

 

(

)

=

2

2

2

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

x

e

x
f

background image

 

 

 

 

 

 

0

0

,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N

(0

,1

)

N

(3

,1

)

N

(0

,2

)

N

(3

,2

)

background image

 

 

F

u

n

k

c

ja

  

m

a

 n

a

s

t

F

u

n

k

c

ja

  

m

a

 n

a

s

t

ę

ę

p

u

j

p

u

j

ą

ą

c

e

 

c

e

 

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ś

ś

c

i

c

i

:

:

 

 

 

 

 

 

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

 s

y

m

e

tr

y

c

z

n

o

 s

y

m

e

tr

y

c

z

n

o

ś

ś

c

c

-

-

 

 

je

s

je

s

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

a

 w

z

g

l

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

a

 w

z

g

l

ę

ę

d

e

m

 p

ro

s

te

d

e

m

 p

ro

s

te

x

x

=

=

µ

µ

c

o

 

c

o

 

o

z

n

a

c

z

a

o

z

n

a

c

z

a

Ŝ

Ŝ

e

 s

p

e

e

 s

p

e

ł

ł

n

io

n

a

 j

e

s

z

a

le

n

io

n

a

 j

e

s

z

a

le

Ŝ

Ŝ

n

o

n

o

ść

ść

 

 

 

 

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

 

 

je

d

n

o

m

o

d

a

ln

o

je

d

n

o

m

o

d

a

ln

o

ś

ś

c

i

c

i

 

 

-

-

 

 

w

 p

u

n

k

c

ie

 

w

 p

u

n

k

c

ie

 

x

x

=

=

µ

µ

 

 

o

s

i

o

s

i

ą

ą

g

a

 w

a

rt

o

g

a

 w

a

rt

o

ść

ść

 m

a

k

s

y

m

a

ln

 m

a

k

s

y

m

a

ln

ą

ą

k

t

k

t

ó

ó

ra

 

ra

 

w

y

n

o

s

i

w

y

n

o

s

i

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)

(

)

5.

0

=

<

=

>

µ

µ

X
P

X
P

(

)

π

σ

2

1

=
x

f

background image

 

 

 

 

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

 z

m

ie

n

n

o

 z

m

ie

n

n

o

ś

ś

c

c

-

-

 

 

ra

m

io

n

a

 

ra

m

io

n

a

 

f

f

(

(

x

x

m

a

j

m

a

j

ą

ą

 

 

p

u

n

k

ty

 p

rz

e

g

i

p

u

n

k

ty

 p

rz

e

g

i

ę

ę

c

ia

 d

la

 

c

ia

 d

la

 

W

W

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

 t

a

 

 t

a

 

w

i

w

i

ąŜ

ąŜ

e

 s

i

e

 s

i

ę

ę

 z

 t

z

w

 z

 t

z

w

re

g

u

re

g

u

łą

łą

 t

rz

e

c

h

 s

ig

m

 t

rz

e

c

h

 s

ig

m

w

g

 

w

g

 

k

t

k

t

ó

ó

re

p

rz

y

jm

u

je

 s

i

re

p

rz

y

jm

u

je

 s

i

ę

ę

Ŝ

Ŝ

e

 r

e

a

liz

a

c

je

 

e

 r

e

a

liz

a

c

je

 

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

e

X

X

 n

ie

 b

 n

ie

 b

ę

ę

d

d

ą

ą

 s

i

 s

i

ę

ę

 

 

r

r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

n

i

n

i

ł

ł

y

 

y

 

(

(

i

i

n

 p

lu

s

n

 p

lu

s

in

in

 m

in

u

s

 m

in

u

s

o

d

 w

a

rt

o

o

d

 w

a

rt

o

ś

ś

c

c

o

c

z

e

k

iw

a

n

e

w

i

o

c

z

e

k

iw

a

n

e

w

i

ę

ę

c

e

n

i

c

e

n

i

Ŝ

Ŝ

 o

 o

 

 

tr

z

y

 o

d

c

h

y

le

n

ia

 

tr

z

y

 o

d

c

h

y

le

n

ia

 

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

 w

y

n

o

s

w

 p

rz

y

b

li

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

 w

y

n

o

s

w

 p

rz

y

b

li

Ŝ

Ŝ

e

n

iu

 

e

n

iu

 

1

1

c

z

y

li

c

z

y

li

:

:

 

 

 

 

{

}

1

9973.

0

3

3

=

+
<

<

σ

µ

σ

µ

X

P

background image

 

 

5

σ

4

σ

3

σ

2

σ

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

y

s.

 1

.1

0

 I

lu

st

ra

cj

g

ra

fi

cz

n

re

g

u

ły

 t

rz

ec

h

 s

ig

m

 

 

6

8

%

 

background image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

y

s.

 1

.1

0

 I

lu

st

ra

cj

g

ra

fi

cz

n

re

g

u

ły

 t

rz

ec

h

 s

ig

m

 

 

5

σ

4

σ

3

σ

2

σ

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

9

5

%

 

background image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

y

s.

 1

.1

0

 I

lu

st

ra

cj

g

ra

fi

cz

n

re

g

u

ły

 t

rz

ec

h

 s

ig

m

 

 

5

σ

4

σ

3

σ

2

σ

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

9

9

%

 

background image

 

 

 

 

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

 o

k

re

 o

k

re

ś

ś

lo

n

o

lo

n

o

ś

ś

c

i

c

i

 

 

-

-

 

 

k

s

z

ta

k

s

z

ta

ł

ł

fu

n

k

c

ji 

fu

n

k

c

ji 

g

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

z

a

le

c

z

a

le

Ŝ

Ŝ

y

 o

d

 w

a

rt

o

y

 o

d

 w

a

rt

o

ś

ś

c

d

w

c

d

w

ó

ó

c

h

 

c

h

 

p

a

ra

m

e

tr

p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

w

µ

µ

 

 

  

  

  

  

P

a

ra

m

e

tr

 

P

a

ra

m

e

tr

 

µ

µ

 

 

d

e

c

y

d

u

je

 o

 p

rz

e

s

u

n

i

d

e

c

y

d

u

je

 o

 p

rz

e

s

u

n

i

ę

ę

c

iu

 k

rz

y

w

e

j

c

iu

 k

rz

y

w

e

j

n

a

to

m

ia

s

p

a

ra

m

e

tr

  

  

 d

e

c

y

d

u

je

 o

 

n

a

to

m

ia

s

p

a

ra

m

e

tr

  

  

 d

e

c

y

d

u

je

 o

 

s

m

u

k

s

m

u

k

ł

ł

o

o

ś

ś

c

i

c

i

 k

rz

y

w

e

j

 k

rz

y

w

e

j

.

.

 

 

 

 

σ

σ

background image

 

 

 

 

P

rz

y

 w

y

k

o

rz

y

s

ta

n

iu

 k

rz

y

w

e

n

o

rm

a

ln

e

w

 

P

rz

y

 w

y

k

o

rz

y

s

ta

n

iu

 k

rz

y

w

e

n

o

rm

a

ln

e

w

 

p

ro

c

e

d

u

rz

e

 w

n

io

s

k

o

w

a

n

ia

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

 

p

ro

c

e

d

u

rz

e

 w

n

io

s

k

o

w

a

n

ia

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

 

c

e

lo

w

e

 j

e

s

ta

k

ie

 p

rz

e

k

s

z

ta

c

e

lo

w

e

 j

e

s

ta

k

ie

 p

rz

e

k

s

z

ta

ł

ł

c

e

n

ie

 je

c

e

n

ie

 je

r

r

ó

ó

w

n

a

n

ia

w

n

a

n

ia

a

b

y

 b

y

a

b

y

 b

y

ł

ł

a

 o

n

a

 n

ie

z

a

le

a

 o

n

a

 n

ie

z

a

le

Ŝ

Ŝ

n

a

 o

d

 

n

a

 o

d

 

p

a

ra

m

e

tr

p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

w

N

a

le

N

a

le

Ŝ

Ŝ

y

 w

i

y

 w

i

ę

ę

c

 p

rz

y

j

c

 p

rz

y

j

ąć

ąć

Ŝ

Ŝ

e

 z

a

m

ia

s

e

 z

a

m

ia

s

o

b

s

e

rw

o

w

a

n

e

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

o

b

s

e

rw

o

w

a

n

e

z

m

ie

n

n

e

lo

s

o

w

e

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

X

 

e

X

 

w

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

 t

z

w

w

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

 t

z

w

z

m

ie

n

n

z

m

ie

n

n

ą

ą

 

 

s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

ą

ą

 

 

 ,

 

 ,

 

k

t

k

t

ó

ó

ra

 j

e

s

z

d

e

fi

n

io

w

a

n

a

 ja

k

o

ra

 j

e

s

z

d

e

fi

n

io

w

a

n

a

 ja

k

o

:

:

 

 

 

 

σ

µ

=

x

u

(

)

1,

0

~

N

U

background image

 

 

W

e

ry

fi

k

a

c

ja

 h

ip

o

te

z

W

e

ry

fi

k

a

c

ja

 h

ip

o

te

z

 

 





W

 p

ro

c

e

s

ie

 w

e

ry

fi

k

a

c

ji 

h

ip

o

te

z

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

y

c

h

 m

o

W

 p

ro

c

e

s

ie

 w

e

ry

fi

k

a

c

ji 

h

ip

o

te

z

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

y

c

h

 m

o

Ŝ

Ŝ

n

a

 

n

a

 

w

y

r

w

y

r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

n

i

n

i

ć

ć

 k

ilk

a

 e

ta

p

 k

ilk

a

 e

ta

p

ó

ó

w

w

:

:

 

 





s

fo

rm

u

s

fo

rm

u

ł

ł

o

w

a

n

ie

 h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

o

w

a

n

ie

 h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

(

(

H

H

0

0

o

ra

z

 h

ip

o

te

z

y

 

o

ra

z

 h

ip

o

te

z

y

 

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

(

(

H

H

1

1

)

)

,

,

 

 





w

y

b

w

y

b

ó

ó

te

s

tu

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

 s

te

s

tu

 s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

 s

ł

ł

u

u

Ŝ

ą

Ŝ

ą

c

e

g

o

 d

o

 w

e

ry

fi

k

a

c

ji 

c

e

g

o

 d

o

 w

e

ry

fi

k

a

c

ji 

h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

j

h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

j

,

,

 

 





w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

 w

a

rt

o

w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

 w

a

rt

o

ś

ś

c

s

p

ra

w

d

z

ia

n

u

 t

e

s

tu

c

s

p

ra

w

d

z

ia

n

u

 t

e

s

tu

,

,

 

 





u

s

ta

le

n

ie

 p

o

z

io

m

u

 i

s

to

tn

o

u

s

ta

le

n

ie

 p

o

z

io

m

u

 i

s

to

tn

o

ś

ś

c

c

(

(

α

α

o

ra

z

 w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

 

o

ra

z

 w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

 

o

b

s

z

a

ru

 o

d

rz

u

c

e

n

ia

 h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

lu

b

 m

in

im

a

ln

e

o

b

s

z

a

ru

 o

d

rz

u

c

e

n

ia

 h

ip

o

te

z

y

 z

e

ro

w

e

lu

b

 m

in

im

a

ln

e

w

a

rt

o

w

a

rt

o

ś

ś

c

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

c

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

 p

s

tw

a

 p

,

,

 

 





p

o

d

j

p

o

d

j

ę

ę

c

ie

 d

e

c

y

z

ji 

c

ie

 d

e

c

y

z

ji 

z

z

 

 

o

k

re

o

k

re

ś

ś

lo

n

y

m

lo

n

y

m

 

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

 b

s

tw

e

m

 b

łę

łę

d

u

d

u

je

je

Ŝ

Ŝ

e

li 

p

e

li 

p

<

 

<

 

α

α

 

 

o

d

rz

u

c

a

m

y

 

o

d

rz

u

c

a

m

y

 

H

H

0

0

.

.

 

 

background image

 

 

T

e

s

z

g

o

d

n

o

T

e

s

z

g

o

d

n

o

ś

ś

c

ro

z

k

c

ro

z

k

ł

ł

a

d

u

 

a

d

u

 

 

 

 

 





H

H

0

0

 

 

F

F

(

(

x

x

)=

)=

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

c

z

y

li 

c

z

y

li 

Ŝ

Ŝ

e

 r

o

z

k

e

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

 b

a

d

a

n

e

p

o

p

u

la

c

ji 

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

 b

a

d

a

n

e

p

o

p

u

la

c

ji 

F

F

(

(

x

x

p

o

k

ry

w

a

 s

i

p

o

k

ry

w

a

 s

i

ę

ę

 

 

z

z

 

 

p

e

w

n

y

m

p

e

w

n

y

m

 r

o

z

k

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

e

m

 

a

d

e

m

 

te

o

re

ty

c

z

n

y

m

 

te

o

re

ty

c

z

n

y

m

 

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

 

 





w

o

b

e

c

 h

ip

o

te

z

y

 a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

w

o

b

e

c

 h

ip

o

te

z

y

 a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

 

 





H

H

1

1

 

 

F

F

(

(

x

x

)

)

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

c

z

y

li 

c

z

y

li 

Ŝ

Ŝ

e

 r

o

z

k

e

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

 

a

d

 

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

 b

a

d

a

n

e

p

o

p

u

la

c

ji 

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

 b

a

d

a

n

e

p

o

p

u

la

c

ji 

F

F

(

(

x

x

je

s

je

s

r

r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

n

y

 o

d

 r

o

z

k

n

y

 o

d

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

u

 t

e

o

re

ty

c

z

n

e

g

o

 

a

d

u

 t

e

o

re

ty

c

z

n

e

g

o

 

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

 

 

χ

2

background image

 

 

C

e

le

m

 s

p

ra

w

d

z

e

n

ia

 h

ip

o

te

z

y

  

C

e

le

m

 s

p

ra

w

d

z

e

n

ia

 h

ip

o

te

z

y

  

z

e

ro

w

e

H

z

e

ro

w

e

H

0

0

 

 

n

a

le

n

a

le

Ŝ

Ŝ

y

y

 

 

 

 





p

o

d

z

ie

li

p

o

d

z

ie

li

ć

ć

 w

y

n

ik

p

r

 w

y

n

ik

p

r

ó

ó

b

y

 n

a

 

b

y

 n

a

 

r

r

 r

o

z

 r

o

z

łą

łą

c

z

n

y

c

h

 k

la

s

 

c

z

n

y

c

h

 k

la

s

 

o

o

 

 

lic

z

e

b

n

o

lic

z

e

b

n

o

ś

ś

c

ia

c

h

c

ia

c

h

 

 

n

i

n

i

 

 

(

(

i

i

=

=

1

1

,

,

2

2

,

,

3

3

,

,

..

..

,

,

r

r

w

w

 

 

k

a

k

a

Ŝ

Ŝ

d

e

j

d

e

j

 k

la

s

ie

 k

la

s

ie

p

rz

y

 c

z

y

m

 

p

rz

y

 c

z

y

m

 

,

,

 

 





o

b

lic

z

y

o

b

lic

z

y

ć

ć

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

 

s

tw

o

 

p

i

p

i

 t

e

g

o

 t

e

g

o

Ŝ

Ŝ

e

 z

m

ie

n

n

a

 l

o

s

o

w

a

 

e

 z

m

ie

n

n

a

 l

o

s

o

w

a

 

o

o

 

 

d

y

s

tr

y

b

u

a

n

c

ie

d

y

s

tr

y

b

u

a

n

c

ie

 

 

F

F

0

0

(

(

x

x

p

rz

y

jm

ie

 w

a

rt

o

p

rz

y

jm

ie

 w

a

rt

o

ś

ś

c

n

a

le

c

n

a

le

Ŝ

ą

Ŝ

ą

c

e

 d

o

 

c

e

 d

o

 

i

i

 

 

-

-

te

j

te

j

 k

la

s

y

 

 k

la

s

y

 

(

(

i

i

 

 

=

=

1

1

,

,

2

2

,

,

..

.

..

.

r

r

)

)

g

d

z

ie

g

d

z

ie

 

 





o

b

lic

z

y

o

b

lic

z

y

ć

ć

 s

ta

ty

s

ty

k

 s

ta

ty

s

ty

k

ę

ę

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





J

e

J

e

Ŝ

Ŝ

e

li 

w

e

ry

fi

k

o

w

a

n

a

 h

ip

o

te

z

a

 j

e

s

p

ra

w

d

z

iw

a

e

li 

w

e

ry

fi

k

o

w

a

n

a

 h

ip

o

te

z

a

 j

e

s

p

ra

w

d

z

iw

a

to

 s

ta

ty

s

ty

k

a

  

  

  

to

 s

ta

ty

s

ty

k

a

  

  

  

m

a

 p

rz

y

 

m

a

 p

rz

y

 

n

n

  

  

 r

o

z

k

  

  

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

  

o

a

d

  

o

 

 

(

(

r

r

-

-

s

s

-

-

1

1

s

to

p

n

ia

c

h

 s

w

o

b

o

d

y

s

to

p

n

ia

c

h

 s

w

o

b

o

d

y

g

d

z

ie

 

g

d

z

ie

 

s

s

 j

e

s

 j

e

s

lic

z

b

lic

z

b

ą

ą

 s

z

a

c

o

w

a

n

y

c

h

 p

a

ra

m

e

tr

 s

z

a

c

o

w

a

n

y

c

h

 p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

 r

o

z

k

w

 r

o

z

k

ł

ł

a

d

u

 

a

d

u

 

z

z

 

 

p

r

p

r

ó

ó

b

y

b

y

 

 

p

p

p

r

1

2

1

+

+

+

=

..

.

(

)

χ

2

2

1

=

=

n

n

p

n

p

i

i

i

i

r

χ

2